基于彈塑性區(qū)間有限元的邊坡穩(wěn)定性分析

喻和平，袁明明，張　聰，陳熙源，張家德

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

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基于彈塑性區(qū)間有限元的邊坡穩(wěn)定性分析

喻和平，袁明明，張聰，陳熙源，張家德

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

摘要：區(qū)間分析法是工程中對(duì)不確定問題進(jìn)行分析的方法之一?，F(xiàn)有區(qū)間分析法大多采用區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法求解，其存在明顯的局限性，特別對(duì)于彈塑性問題需采用增量法計(jì)算時(shí)，很難得到有效的解答。在邊坡穩(wěn)定性計(jì)算中采用區(qū)間變量來描述工程中的不確定性，將區(qū)間數(shù)學(xué)與彈塑性有限元相結(jié)合，建立了彈塑性區(qū)間有限元，推導(dǎo)了基于彈塑性區(qū)間有限元方法的邊坡穩(wěn)定性區(qū)間安全系數(shù)計(jì)算公式，這一方法能有效的避免區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法的局限性。通過工程實(shí)例，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。在此基礎(chǔ)上探討了巖土體參數(shù)對(duì)區(qū)間安全系數(shù)的影響。結(jié)果表明，內(nèi)摩擦角對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響明顯，重度、黏聚力影響較大，彈性模量和泊松比影響小。

關(guān)鍵詞：區(qū)間分析；彈塑性區(qū)間有限元；邊坡穩(wěn)定；區(qū)間安全系數(shù)

區(qū)間分析法(區(qū)間數(shù)學(xué))是20世紀(jì)60年代后期發(fā)展起來的較活躍的計(jì)算數(shù)學(xué)分支，是一種不確定性分析方法。Moore R E在1966年奠定了區(qū)間數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。我國(guó)王德人和陳塑寰[1-2]等人發(fā)展了其理論。近幾十年來，區(qū)間有限元法已在結(jié)構(gòu)分析和巖土工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用。如：Rao S S和Mullen等[3-6]結(jié)合工程中的諸多不確定性，把區(qū)間方法引入到工程中，建立了區(qū)間有限元；邱志平等[7]針對(duì)區(qū)間數(shù)學(xué)擴(kuò)張問題，把攝動(dòng)方法引入到區(qū)間有限元結(jié)構(gòu)分析中，提出了基于攝動(dòng)法的區(qū)間有限元；邵國(guó)建等[8]基于單元的子區(qū)間攝動(dòng)法求解線彈性區(qū)間有限元，得到了結(jié)構(gòu)抗滑區(qū)間安全系數(shù);黃耀英等[9]采用區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法，推導(dǎo)了彈塑性區(qū)間有限元計(jì)算公式，并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析中；喻和平等[10-11]總結(jié)了區(qū)間有限元控制方程的求解方法，并推導(dǎo)了基于單元的彈性區(qū)間有限元計(jì)算公式和基于應(yīng)力水平的邊坡區(qū)間安全系數(shù)。現(xiàn)階段，相關(guān)學(xué)者雖取得了一定成就，但以上區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法的求解存在較明顯的局限性。自由度較少時(shí)，計(jì)算速度快，能得到有效的解答。而自由度較多，特別是彈塑性問題需采用增量法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不僅計(jì)算效率和精度需進(jìn)一步研究，且很難得到有效的解答，如邊坡等問題。

為解決以上的缺陷，在邊坡計(jì)算中采用區(qū)間變量來描述工程中的不確定性，將區(qū)間數(shù)學(xué)與彈塑性有限元相結(jié)合，建立了彈塑性區(qū)間有限元，推導(dǎo)出基于彈塑性區(qū)間有限元方法的邊坡穩(wěn)定性區(qū)間安全系數(shù)計(jì)算公式。該方法是在假定滑動(dòng)面的基礎(chǔ)上，對(duì)參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)根據(jù)一定步長(zhǎng)進(jìn)行搜索賦值，然后在確定性有限元的基礎(chǔ)上形成彈塑性區(qū)間有限元求解，相比區(qū)間攝動(dòng)法、彈性區(qū)間有限元法，該方法計(jì)算的安全系數(shù)區(qū)間值更為精確。本文以某邊坡為例，驗(yàn)證其效果，以期為工程實(shí)際提供參考。

1彈塑性問題的區(qū)間有限元

采用增量法對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，區(qū)間有限元控制方程如下式(1)：

KIΔUI=ΔRI

(1)

假設(shè)材料滿足D-P屈服準(zhǔn)則，則該屈服函數(shù)如式(2)：

(2)

式中：α、k為材料常數(shù)，與材料的內(nèi)摩擦角和黏聚力有關(guān)；I1、J2為應(yīng)力第一不變量和應(yīng)力偏量的第二不變量。由于材料參數(shù)的獲取存在不確定性因素，這種不確定性通過區(qū)間數(shù)來表示。因此，各材料參數(shù)都被看作區(qū)間變量，則屈服函數(shù)也是區(qū)間函數(shù)，其函數(shù)如下式(3)：

(3)

2邊坡區(qū)間安全系數(shù)

圖1單元體的平面應(yīng)力狀態(tài)

(4)

(5)

根據(jù)邊坡安全系數(shù)定義，邊坡安全系數(shù)為潛在滑動(dòng)面上各段抗剪力之和與其剪切力之和的比值。則邊坡區(qū)間安全系數(shù)計(jì)算公見式(6)～式(8)。

(6)

(7)

(8)

3程序編制

針對(duì)區(qū)間數(shù)學(xué)擴(kuò)張問題，本文利用確定性的有限元程序[12-14]，通過參數(shù)區(qū)間組合法來確定邊坡的區(qū)間安全系數(shù)。主要步驟為：(1) 依次對(duì)巖土體內(nèi)摩擦角，黏聚力，重度按一定步長(zhǎng)進(jìn)行賦值，在各區(qū)間參數(shù)范圍內(nèi)得到盡量多的參數(shù)值，然后對(duì)賦值的內(nèi)摩擦角，黏聚力，重度進(jìn)行隨機(jī)組合形成盡量多的參數(shù)組合；(2) 對(duì)形成的參數(shù)組合進(jìn)行確定性的彈塑性有限元分析，得到安全系數(shù)的確定值；(3) 對(duì)各組計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，尋找安全系數(shù)的最大最小值，作為邊坡區(qū)間安全系數(shù)的上下值。

4實(shí)例分析

4.1工程概況與模型建立

某邊坡為一順層基巖滑坡，經(jīng)局部解體而成。坡區(qū)分布的第四系主要為崩、坡積層及堆積層，物質(zhì)組成復(fù)雜，主要分三層：礫質(zhì)黏土夾少量碎石；黏土夾灰?guī)r大塊石、塊石、碎石等；砂巖碎石、碎屑土層，物質(zhì)成分為灰黃、淺黃色、灰綠色、雜色黏土夾碎石碎屑[15]。邊坡計(jì)算剖面圖和有限元計(jì)算模型見圖2、圖3，從上到下依次為覆蓋層、滑帶層和基巖，各層巖土體材料計(jì)算參數(shù)均值見表1，計(jì)算時(shí)左右兩邊約束水平位移，下端約束水平和垂直位移，上端自由。

圖2　邊坡計(jì)算剖面圖

圖3　邊坡有限元計(jì)算模型

4.2敏感性分析

為研究該邊坡巖土體參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響程度，在假設(shè)其它參數(shù)為均值的基礎(chǔ)上，分別通過滑動(dòng)帶巖土體彈性模量、泊松比、重度、黏聚力及內(nèi)摩擦角的區(qū)間參數(shù)變異系數(shù)(CV=(標(biāo)準(zhǔn)差÷基準(zhǔn)值)×100%)的變化對(duì)安全系數(shù)的影響程度，來反映巖土體參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。初始計(jì)算參數(shù)值為各巖體參數(shù)的平均值，結(jié)果見圖4～圖8。

(υ=[0.31,0.49])

(φ=[12°,21°])

(E=[10,19] MPa)

(c=[15,24] kPa)

圖7黏聚力與安全系數(shù)的變異系數(shù)關(guān)系曲線圖

由圖4～圖8可知，泊松比、內(nèi)摩擦角、彈性模量、黏聚力與重度的變異系數(shù)對(duì)安全系數(shù)的敏感度，依次為0.00780，0.89141，0.00455，0.05002，0.05968。表明內(nèi)摩擦角對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響明顯，重度、黏聚力影響較大，彈性模量和泊松比影響小。因此為減小計(jì)算量，只對(duì)重度、黏聚力和內(nèi)摩擦角采用區(qū)間計(jì)算，對(duì)彈性模量和泊松比采取確定性計(jì)算。

(γ=[16.5,25.5] kN/m3)

圖8重度與安全系數(shù)的變異系數(shù)關(guān)系曲線圖

4.3安全系數(shù)區(qū)間計(jì)算

邊坡采用平面四邊形單元，通過編制的彈塑性區(qū)間有限元程序進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算區(qū)間參數(shù)見表2，計(jì)算結(jié)果見表3、表4。由表3、表4可知，區(qū)間安全系數(shù)為[1.26，1.46]，表明該邊坡是基本穩(wěn)定的。區(qū)間安全系數(shù)端點(diǎn)值分別對(duì)應(yīng)著各區(qū)間參數(shù)的端點(diǎn)值，巖土體的各參數(shù)對(duì)安全系數(shù)的影響是單調(diào)的，說明端點(diǎn)組合法在邊坡區(qū)間穩(wěn)定性計(jì)算中存在一定的合理性。區(qū)間有限元法所得的區(qū)間安全系數(shù)的下限值對(duì)應(yīng)著滑帶及以上巖土體材料內(nèi)摩擦角和黏聚力的下限值、重度的上限值，滑帶以下材料內(nèi)摩擦角和黏聚力的上限值、重度的下限值。區(qū)間安全系數(shù)的上限值對(duì)應(yīng)著滑帶及以上巖土體材料內(nèi)摩擦角和黏聚力的上限值、重度的下限值，滑帶以下材料內(nèi)摩擦角和黏聚力的下限值、重度的上限值。以滑帶為分界線，滑帶以上材料的內(nèi)摩擦角和黏聚力對(duì)安全系數(shù)的影響為單調(diào)增加，重度對(duì)安全系數(shù)的影響單調(diào)減小，滑帶以下材料的內(nèi)摩擦角和黏聚力對(duì)安全系數(shù)的影響為單調(diào)減小，重度對(duì)安全系數(shù)的影響單調(diào)增加。

表2　彈塑性區(qū)間有限元計(jì)算參數(shù)

表3　區(qū)間安全系數(shù)下端值

表4　區(qū)間安全系數(shù)上端值

5結(jié)論

通過分析了區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法求解過程中存在的局限性問題，基于確定性有限元的求解方法，編寫了彈塑性區(qū)間有限元計(jì)算程序，采用有限元計(jì)算結(jié)果求解了邊坡區(qū)間安全系數(shù)，并對(duì)不確定性的邊坡穩(wěn)定性問題進(jìn)行了評(píng)價(jià)。其主要結(jié)論如下：

(1) 基于區(qū)間數(shù)學(xué)分析法，結(jié)合有限元計(jì)算，形成區(qū)間有限元法，不失為一種可行且有效的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算方法。工程實(shí)例驗(yàn)證表明，該方法是合理、可行、有效的。

(2) 針對(duì)區(qū)間分析法分析過程中核心—區(qū)間擴(kuò)張問題，借助于確定性的有限元求解方法求解區(qū)間有限元控制方程，使得求解結(jié)果更精確。

(3) 參數(shù)敏感性分析表明，內(nèi)摩擦角、重度、黏聚力、彈性模量及泊松比對(duì)邊坡穩(wěn)定性均有影響。其中，內(nèi)摩擦角對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響明顯，重度、黏聚力影響較大，彈性模量和泊松比影響小。

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Slope Stability Analysis Based on Elastic-plastic Interval Finite Element

YU Heping, YUAN Mingming, ZHANG Cong, CHEN Xiyuan, ZHANG Jiade

(SchoolofHydraulicEngineering,ChangshaUniversityofScienceandTechnology,Changsha,Hunan410114,China)

Abstract：Interval analysis is one of the methods to analyze the uncertain problem in engineering. The interval parameter perturbation method is used to solve the existing interval analysis method, which has obvious limitations. It is difficult to get effective solutions for the elastic plastic problem using incremental method. Interval variables are used to describe the uncertainty in the slope. In this research the interval mathematics and elastic-plastic finite element method is adopted together to establish the elastic-plastic interval finite element method. The calculation formula of Interval safety factor of slope stability is derived based on the elastic-plastic interval finite element method. This method can effectively avoid the limitation of interval parameter perturbation method. The feasibility and effectiveness of the proposed method were then verified by engineering examples. The influence of the parameters of the rock and soil on the safety factor was discussed. The results show that the inner friction angle has sensitive impact on the safety factor of the slope. The effect of elastic modulus and Poisson's ratio on the safety factor is smaller than that of cohesion and unit weight.

Keywords:interval analysis; elastic-plastic interval finite element method; slope stability; interval safety factor

中圖分類號(hào)：TU352.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672—1144(2016)02—0132—04

作者簡(jiǎn)介：喻和平(1972—)，女，湖南長(zhǎng)沙人，副教授，主要從事數(shù)值計(jì)算與分析方面的教學(xué)與科研工作。E-mail:413702004@qq.com通訊作者:袁明明(1990—)，男，湖南郴州人，碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算與分析。E-mail:634432395@qq.com。

基金項(xiàng)目：湖南省教育廳資助項(xiàng)目“區(qū)間分析理論及其在邊坡工程中的應(yīng)用”(09C086)

收稿日期：2015-11-26修稿日期：2015-12-30

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2016.02.026