三種Multiquadric擬插值多項式的再生性

王斯雯,陳榮華

(湖南科技大學 數學與計算科學學院,湖南 湘潭411201)

?

三種Multiquadric擬插值多項式的再生性

王斯雯,陳榮華

(湖南科技大學 數學與計算科學學院,湖南 湘潭411201)

摘 要:先研究了三種已知的Multiquadric擬插值的再生性,然后對三種已知的Multiquadric擬插值進行了推廣,進一步討論推廣后的擬插值多項式的再生性,得到了如下結果: LA不是常數再生的; 當a + b = 1時,LD是常數再生的,但非線性再生的; 當a =,b =時,LD是線性再生的,但非二次多項式再生的.

關鍵詞:擬插值; 多項式再生; 常數再生; 線性再生.

引言

擬插值方法[3,5]常被用于數值逼近中,有關Multiquadric(簡稱MQ)擬插值的研究大約始于上世紀80年代[2],Hardy在1971年最先提出了Multiquadric[4].影響力比較大的的是Powell和Beatson[1]構造的LA、LB、 LC以及Schaback與吳宗敏[7]得到的LD.Liu Jian-pin與吳宗敏[8]給出了無窮等距結點的MQ擬插值保形的充分條件.Ling[6]通過對LD進行多級處理得到了更好的結果.得益于文[7]的啟迪,陳榮華與吳宗敏[3]通過構造一種與LD類似的擬插值后用于求解偏微分方程,得到了不錯的結果.文[9]研究了某種特定形式的擬插值滿足多項式再生性的充分必要條件,給出了幾個結論,分別描述了常數再生、線性再生、二次多項式再生乃至一般的k次多項式再生的充分必要條件,并通過這些結論推出: LA不是常數再生的; LB是常數再生的,但非線性再生的; LD是線性再生的,但非二次多項式再生的.

本文先就三種Multiquadric擬插值LA、LB和LD進行研究,討論其再生性.并對這三種Multiquadric擬插值稍作修改,討論其保持相應的再生性需滿足怎樣的條件.

1　三種已知的Multiquadric擬插值及其推廣

1.1 三種已知的Multiquadric擬插值

為了便于研究,先將三種已知的Multiquadric擬插值[1,7]羅列如下:

對于(1.1)及(1.2)式,有

對于(1.3)式,有

1.2 推廣后的擬插值多項式

現在,將三種已知的Multiquadric擬插值[1,7]作如下修改:

2　擬插值保持多項式再生性的條件

2.1 多項式再生性

其中,零次多項式再生性也稱為常數再生性,一次多項式再生性也稱為線性再生性.

2.2 三種已知的Multiquadric擬插值多項式的再生性

因此得到,LB是常數再生的.

由(1.2)式知,LA不是常數再生的.

現在討論LD.首先注意到,如果令

則(LDf)(x)可以改寫為

令fj=a0(j=0,1,…,n),代入(2.2)式中,得(LDf)(x)= a0.因此,LD是常數再生的.

故有(LDf)(x)= a1x .因此,LD是線性再生的.

此時,(LDf)(x)= a2x2不是恒等式,因此,LD非二次多項式再生.

2.3 推廣后的擬插值多項式的再生性

先討論LB.令fj=a0(j=0,1,…,n),代入(1.4),得

因此,當a+ b =1時,LB是常數再生的.

若fj=a1xj(j=0,1,…,n),代入(1.4),得

由(1.5)式知,LA不是常數再生的.

最后討論LD.首先,在(2.1)的假定下,有與(2.2)式類似的結果,即

令fj=a0(j=0,1,…,n),代入(2.4),得

因此,當a+ b =1時,LD是常數再生的.

若fj=a1xj(j=0,1,…,n),代入(2.4),得

D

3　結論

本文首先研究了三種已知的Multiquadric擬插值的多項式再生性: LA不是常數再生的; LB是常數再生的但不是線性再生的; LD是線性再生的,但不是二次多項式再生的.其次對三種Multiquadric擬插值進行了推廣,進一步討論推廣后的擬插值多項式的再生性: LA不是常數再生的; 當a+ b =1時,LB是常數再生的,但不是線性再生的; 當a= b =時,是線性再生的,但不是二次多項式再生的.也就是說,如(1.4)式那樣定義的Multiquadric擬插值連常數再生都做不到;(1.5)式那樣定義的Multiquadric擬插值雖然有無窮多個,只要滿足條件a+ b =1即可,但它們都只能是線性再生的;(1.6)式定義的Multiquadric擬插值也有無窮多個,也只要滿足條件a+ b =1即可,但要線性再生就只有一個,這就是吳宗敏及Schaback所定義的LD了,而且這樣的Multiquadric擬插值只能是線性再生的.

當然,我們也可以仿照文[9]那樣討論形如(1.1)式那樣的一般的擬插值保持多項式再生性所應該滿足的條件,限于篇幅,這里不再贅述.

參考文獻

[1] R.K.Beatson and M.J.D.Powell.Univariate multiquadric approximation: quasi-interpolation to scattered data [J].Constr.approx.,1992,8: 275～288

[2] M.D.Buhmann.Convergence of univariate quasi-interpolation using multiquadric [J].IMA J.Numer.Anal.,1988,8: 365～383

[3] R.H.Chen and Z.M.Wu.Solving hyperbolic conservation laws using multiquadric quasi-interpolation [J].Numerical Methods for Partial Differential Equations,2006,22: 776-796

[4] R.L.Hardy.Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces [J].J.Geophysical Res.,1971,76: 1905～1915

[5] P.Lamberti and C.Manni.Tensioned quasi-interpolation via geometric continuity [J].Advances in Computational Mathematics,2004,20: 105～127

[6] L.Ling.A univariate multiquadric quasi-interpolation with better smoothness [J].Computers and Mathematics with Applications,2004,48: 897～912

[7] Z.M.Wu and R.Schaback.Shape preserving properties and convergence of Univariate multi-quadric quasi-interpolation [J].ACTA.Math.Appl.Sinica,1994,10: 441～446

[8] Z.M.Wu and J.P.Liu.The shape preserving and high accuracy approximation with multiquadric [J].Appl.Math.JCU,1996,11B: 217～224

[9] 陳榮華,韓旭里,吳宗敏.某型擬插值的多項式再生性[J].計算機工程與應用,2010,46(1): 1～3

Property of Polynomial Reproducing for Three Kinds of Multiquadric Quasi-interpolation

WANG Si-Wen,CHEN Rong-Hua
(College of Mathematics and Computational Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan 411201,China)

Abstract:In this paper,we study the property of polynomial reproducing for three kinds of known MQ quasi-interpolation firstly,and deduce that LAisn't constant reproducing,LBis constant reproducing but not linear reproducing.LDis linear reproducing but not quadratic polynomial reproducing.Next to modifying the three kinds of MQ quasi- interpolation,further discussion property reproducing of the modified quasi-interpolation polynomial,and deduce that LAisn't constant reproducing; LBis constant reproducing but not linear reproducing when a + b = 1; LDis linear reproducing but not quadratic polynomial reproducing

Key words:quasi-interpolation,polynomial reproducing,constant reproducing,linear reproducing

作者簡介:王斯雯(1989?),女,湖南邵東人,湖南科技大學數學與計算科學學院碩士研究生.主要研究方向: 數值逼近,微分方程數值解

收稿日期:2015-10-28

中圖分類號:O174.42

文獻標識碼:A

文章編號:1672-5298(2016)01-0009-03