采用結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略的Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)

張春偉，崔國民，陳上，陶佳男（上海理工大學(xué)新能源科學(xué)與工程研究所，上海 200093）

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采用結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略的Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)

張春偉，崔國民，陳上，陶佳男
（上海理工大學(xué)新能源科學(xué)與工程研究所，上海 200093）

摘要：針對罰函數(shù)法處理有約束問題時存在的不足，采用Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)。為求解Lagrange函數(shù)方程組，根據(jù)確定性方法，提出最速下降法求解策略以及Powell法求解策略。通過極小值判斷機(jī)制，保證Lagrange函數(shù)方程組的解是原換熱網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)函數(shù)值的極小值。根據(jù)實際工況，提出結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略，與Lagrange乘子法相結(jié)合，實現(xiàn)了換熱網(wǎng)絡(luò)全局最優(yōu)化。通過經(jīng)典算例驗證了兩種求解策略的有效性、準(zhǔn)確性以及結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略的通用性。與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明本算法具有較強(qiáng)的局部搜索能力以及全局搜索能力，能夠找到更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有利于在工業(yè)生產(chǎn)中節(jié)約成本。

關(guān)鍵詞：換熱網(wǎng)絡(luò)；Lagrange乘子法；最速下降法；Powell法；結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略

第一作者：張春偉（1992—），男，碩士研究生，從事過程系統(tǒng)優(yōu)化研究。聯(lián)系人：崔國民，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail cgm1226@163.com。

換熱網(wǎng)絡(luò)綜合（heat exchanger network synthesis，HENS）是系統(tǒng)工程中的一個重要組成部分，其目的在于提升系統(tǒng)的回收能力和經(jīng)濟(jì)性。換熱網(wǎng)絡(luò)中存在表示換熱器有無的0-1整型變量以及表示熱負(fù)荷分布的連續(xù)變量，所以換熱網(wǎng)絡(luò)綜合屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃（mixed integer nonlinearprogramming，MINLP）范疇[1]。此外，F(xiàn)URMAN 等[2]證明其為NP-難問題，因此即使小規(guī)模的換熱網(wǎng)絡(luò)問題也不能證實找到全局最優(yōu)解[3]。

換熱網(wǎng)絡(luò)綜合方法主要可分為以Linnhoff為代表的夾點(diǎn)設(shè)計法[4]和以Grossmann為代表的數(shù)學(xué)規(guī)劃法[5]兩大類。夾點(diǎn)設(shè)計法將換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題分解為兩個子問題，分別對其優(yōu)化后，能夠得到一個較好的換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計。數(shù)學(xué)規(guī)劃法首先將換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題轉(zhuǎn)化為有約束的多變量數(shù)學(xué)模型，然后采用優(yōu)化算法對該模型進(jìn)行求解以得到最優(yōu)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在換熱網(wǎng)絡(luò)研究中，為處理有約束問題，常借助罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為無約束問題，進(jìn)而用無約束最優(yōu)化方法求解[6]。

罰函數(shù)法操作簡單，使用方便，并能求解導(dǎo)數(shù)不存在的問題。但其存在著一個固有的缺點(diǎn)，即當(dāng)罰因子趨向極限時，罰函數(shù)的Hessian矩陣條件數(shù)無限增大，呈病態(tài)現(xiàn)象，直接影響算法的精度與收斂性，給罰函數(shù)的極小化增加困難；但當(dāng)罰因子取值很小時，罰函數(shù)的極小點(diǎn)會遠(yuǎn)離約束問題的最優(yōu)解，計算效率很差，所以罰因子的取值問題采用是罰函數(shù)法時存在的實質(zhì)性困難[7]。

Lagrange乘子法通過求解一系列無約束優(yōu)化問題，間接得到原問題的最優(yōu)解，是另一種常用的處理有約束問題的方法[8-9]。Lagrange乘子將約束條件與原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合構(gòu)造Lagrange函數(shù)，令其各個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，得到與變量個數(shù)相等的等式方程組。通過求解該方程組，得到原目標(biāo)函數(shù)極值。由于不含罰因子，所以在處理有約束問題時，Lagrange乘子法能夠克服罰函數(shù)法的不足。且計算經(jīng)驗表明，相比罰函數(shù)法，Lagrange乘子法的性能更加優(yōu)越，收斂速度也相對較快[8]。所以Lagrange乘子法引起了人們廣泛的研究和關(guān)注，在系統(tǒng)優(yōu)化[10-11]、參數(shù)辨識[12]、實際工程[13-14]中均得到了應(yīng)用。

鑒于此，本文采用Lagrange乘子法處理有約束的換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題。為求解方程組，提出最速下降法（steepest descent method，SD）求解策略以及Powell法（Powell method，Powell）求解策略，并通過極小值判斷機(jī)制剔除非函數(shù)極小值的解。對于換熱網(wǎng)絡(luò)MINLP問題，Lagrange乘子法只能收斂于局部極值，所以結(jié)合實際工況，提出結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略（structure evolution，SE），使原有的結(jié)構(gòu)不斷進(jìn)化，獲得更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，跳出局部最優(yōu)解，進(jìn)而實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)化。最后通過經(jīng)典算例對兩種求解策略以及結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略進(jìn)行驗證。

1　換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型及其Lagrange函數(shù)

1.1換熱網(wǎng)絡(luò)問題數(shù)學(xué)描述

換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題可表述如下：現(xiàn)有NH股熱流體、NC股冷流體，分別需要冷卻、加熱到目標(biāo)溫度。在冷、熱流體之間設(shè)置多個換熱器，實現(xiàn)能量回收，進(jìn)而形成換熱網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)某一股流體未達(dá)到目標(biāo)溫度時，為其匹配冷或熱公用工程。過程流體和公用工程的熱容流率、進(jìn)出口溫度以及換熱器換熱系數(shù)均已知。以年綜合費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，包括運(yùn)行費(fèi)用和投資費(fèi)用兩部分，運(yùn)行費(fèi)用為消耗冷、熱公用工程時產(chǎn)生的費(fèi)用，投資費(fèi)用為設(shè)置換熱器時產(chǎn)生的費(fèi)用，可分為面積費(fèi)用和固定投資費(fèi)用。本文采用GROSSMANN等[5]提出的無分流分級超結(jié)構(gòu)模型，其中，換熱網(wǎng)絡(luò)的級數(shù)為換熱器的最大個數(shù)為?，F(xiàn)以2股熱流體和2股冷流體為例表述分級超結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。

1.2優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)

針對上述換熱網(wǎng)絡(luò)模型，以年最小年綜合費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，其數(shù)學(xué)函數(shù)為式(1)。

圖1　換熱網(wǎng)絡(luò)無分流的分級超結(jié)構(gòu)

式中，B為0-1整型變量，表示換熱器有無，當(dāng)換熱器存在時B=1，反之則B=0；CCU、CHU分別為冷、熱公用工程的費(fèi)用系數(shù)；CF為設(shè)置換熱器時的固定投資費(fèi)用；CE為面積費(fèi)用系數(shù)；Z為面積費(fèi)用指數(shù)；QHU,j、QCU,i分別為熱公用工程與冷流體之間的換熱量和冷公用工程與熱流體之間的換熱量；AHU,j、ACU,i分別為其相應(yīng)換熱器的面積；Ai,j,k為冷熱流體之間換熱器面積。本文以單個換熱器的換熱量Qi,j,k為優(yōu)化變量，各換熱器均采用逆流傳熱方式，見式(2)～式(4)。

式中，Ki, j、KCU,i、KHU, j為熱流股與冷流股匹配的總傳熱系數(shù)，Ki, j計算公式如式(5)。

1.3主要約束條件

根據(jù)換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)描述以及文獻(xiàn)[15]可知，目標(biāo)函數(shù)的主要約束條件如式(8)～式(29)所示。

（1）流體目標(biāo)溫度約束

（2）單股流體熱平衡

（3）冷熱公用工程熱平衡

（4）換熱器熱平衡

（5）可行溫度約束

（6）非負(fù)約束

（7）邏輯約束

1.4換熱網(wǎng)絡(luò)的Lagrange函數(shù)

由換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)描述可知，模型中的主要約束條件為溫度約束，即當(dāng)流體出口溫度等于目標(biāo)溫度時，其他約束條件也能夠滿足。所以本文通過Lagrange乘子將溫度約束與原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合，構(gòu)造Lagrange函數(shù)，函數(shù)無任何約束。其形式如式(30)。

對Lagrange函數(shù)的各個變量求導(dǎo)，令其為零，可以得到Lagrange函數(shù)方程組，其形式如式(31)。

式中，NK為當(dāng)前換熱器個數(shù)，最大值為。Lagrange乘子將一個具有NK個變量與個約束的問題轉(zhuǎn)化為更容易求解的個方程組，而目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)也對應(yīng)著此方程組的一組解。

2　兩種基于確定性方法的求解策略

采用Lagrange乘子法解決換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題，首先將有約束的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束Lagrange函數(shù)，并通過求解方程組來獲得原函數(shù)的極小值[16]。但在數(shù)值計算過程中，Lagrange函數(shù)對某一變量的偏導(dǎo)數(shù)為具體的數(shù)值，而非方程組形式，所以在計算時不能直接采用數(shù)值解法求解方程組。鑒于此，本文結(jié)合確定性方法提出了兩種求解策略，達(dá)到間接求解方程組的目的，并通過極小值判斷機(jī)制對方程組的解進(jìn)行驗證。

2.1極小值判斷機(jī)制

滿足極值點(diǎn)的一階必要條件的Lagrange乘子雖然必定存在，但考慮到目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)重的非線性和非凸特性，滿足方程組即一階必要條件的解可能為鞍點(diǎn)或拐點(diǎn)，而非極值點(diǎn)，所以引入極值點(diǎn)的二階必要條件作為函數(shù)收斂的判斷機(jī)制。

對方程組求解后，繼續(xù)計算此解所對應(yīng)位置的Lagrange函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，判斷其Hessian矩陣是否正定。如果Hessian矩陣正定，則此解為Lagrange函數(shù)的極小值。反之，則不為Lagrange函數(shù)的極小值，此時隨機(jī)產(chǎn)生新的初始解，使算法繼續(xù)搜索，直到找到函數(shù)的極小值。

2.2最速下降法求解策略

根據(jù)公式(31)可知，每一個變量所對應(yīng)的一階偏導(dǎo)數(shù)值為零時，方程組得解。據(jù)此，可根據(jù)最速下降法思想，在迭代計算中，以每次求得的偏導(dǎo)數(shù)值為基礎(chǔ)，沿其負(fù)梯度方向進(jìn)行一維搜索，從而確定其搜索方向以及最佳搜索步長，直到各個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)值近似為零。

算法的終止條件為變量的對應(yīng)梯度Dk的范數(shù)小于等于設(shè)定的常數(shù)閾值，即。滿足此終止條件時，各個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)值近似為零，方程組也得到了相應(yīng)的解。算法求解步驟如下。

Step1設(shè)置初始參數(shù)，常數(shù)閾值e1。

Step2計算目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并確定Lagrange函數(shù)最速下降方向Step3計算最速下降方向Dk的范數(shù)，如果，轉(zhuǎn)Step 6，否則轉(zhuǎn)Step 4。

Step4沿最速下降方向Dk進(jìn)行一維搜索，確定搜索步長αk。

Step5通過式(32)、式(33)更新?lián)Q熱量以及拉格朗日乘子。

變量更新后，轉(zhuǎn)Step 2。

Step6通過極小值判斷機(jī)制驗證當(dāng)前解，如果為極小值，則迭代結(jié)束；否則隨機(jī)產(chǎn)生新初始解，轉(zhuǎn)Step 2。

2.3Powell法求解策略

Powell法是一種求解無約束最優(yōu)化問題的直接搜索法[17]，其本質(zhì)是共軛方向法。由于對方程組求解的最終結(jié)果是各個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，所以可以構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)間接求解方程組。函數(shù)形式如式(34)。

Step1確定變量維數(shù)N，設(shè)置初始點(diǎn)X0（包含換熱量Q以及Lagrange乘子），收斂精度，一組線性無關(guān)的方向，Di取N個坐標(biāo)軸的方向，即N階單位矩陣，其中N的最大取值為

Step2從初始點(diǎn)X0依次沿方向進(jìn)行一維搜索，確定每次迭代的步長，得到X1，X2，??，XN，即式(35)、式(36)。

Step3判斷迭代計算是否結(jié)束：若滿足下式，則得到解XN，轉(zhuǎn)Step 8，否則轉(zhuǎn)Step 4，如式(37)。

Step5引進(jìn)第(N+ 1)個搜索方向和新的點(diǎn)Xt，如式(39)、式(40)。

方向替換判斷，如式(41)、式(42)。

①若滿足

則將XN作為新的初始點(diǎn)，沿原方向搜索，即轉(zhuǎn)Step 2。

②若滿足

則將XN作為新的初始點(diǎn)，沿原方向搜索，即轉(zhuǎn)Step 2。

③若以上兩條件均不滿足，則轉(zhuǎn)Step 7。

Step7以XN作為起始點(diǎn)，沿方向DN1+進(jìn)行一維搜索，并得到此方向上的極小值點(diǎn)XN1+。將方向用新的方向DN1+替換，產(chǎn)生一組新的方向，以XN1+作為新的初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)Step2。

Step8通過極小值判斷機(jī)制驗證解XN，如果為極小值，則迭代結(jié)束；否則隨機(jī)產(chǎn)生新的初始解，轉(zhuǎn)Step2。

3　結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略

換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題嚴(yán)重的非凸、非線性，導(dǎo)致Lagrange乘子法只能收斂于求解域內(nèi)的局部最優(yōu)解。所以為實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)化，本文結(jié)合換熱網(wǎng)絡(luò)實際工況，提出了一種優(yōu)化整型變量的結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略?？紤]到換熱網(wǎng)絡(luò)問題均存在全局最優(yōu)解，其對應(yīng)結(jié)構(gòu)的換熱器個數(shù)也為定值，但對現(xiàn)在的研究成果而言，最優(yōu)結(jié)構(gòu)和最優(yōu)換熱器個數(shù)均無法確定。此外，換熱器之間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，同一股流體中的上游換熱器的位置和換熱量直接影響下游換熱器。所以如果在原結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上僅僅增加或減少一個換熱器，并以此新結(jié)構(gòu)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值變化作為此操作是否成功的標(biāo)準(zhǔn)，則很有可能使換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的生成方向偏離最優(yōu)結(jié)構(gòu)。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)中算例的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和實際工況設(shè)定換熱器個數(shù)范圍，減小換熱器相互組合的可能性，調(diào)控結(jié)構(gòu)的進(jìn)化方向，增強(qiáng)算法的局部最優(yōu)解跳出能力，提高搜索效率。結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略主要包括結(jié)構(gòu)進(jìn)化、結(jié)構(gòu)判斷、結(jié)構(gòu)選擇等部分，各部分操作如下所示。

（2）結(jié)構(gòu)進(jìn)化 為增加隨機(jī)性，通過構(gòu)造進(jìn)化概率函數(shù)決定對當(dāng)前結(jié)構(gòu)采取何種操作。其具體形式如式（43）。

其中常數(shù)c用來調(diào)整當(dāng)前結(jié)構(gòu)換熱器生成或消去的概率。確定結(jié)構(gòu)中的換熱器個數(shù)N后，調(diào)用隨機(jī)數(shù)rand，若，則對其執(zhí)行換熱器生成操作，否則執(zhí)行換熱器消去操作。

①換熱器生成操作。在整個分級超結(jié)構(gòu)中隨機(jī)選擇Ng個位置作為換熱器生成位置，分別將其與原結(jié)構(gòu)中的換熱器進(jìn)行對比，如果發(fā)生位置重合，則在此位置保留原結(jié)構(gòu)中的換熱器及其換熱量；反之，則在原結(jié)構(gòu)該位置上添加換熱器，并賦值換熱量，令其，生成新的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后。使用Lagrange乘子法對其優(yōu)化。其中

②換熱器消去操作。在整個分級超結(jié)構(gòu)中隨機(jī)選擇Ne個位置作為換熱器消去位置，分別將其與原結(jié)構(gòu)中的換熱器位置進(jìn)行對比，如果發(fā)生位置重合，則將原結(jié)構(gòu)中的此位置換熱器消去，否則保留原結(jié)構(gòu)中的換熱器，生成新結(jié)構(gòu)后，使用Lagrange乘子法對新結(jié)構(gòu)優(yōu)化。其中

其中，Ng、Ne的定義方式可以保證進(jìn)化后得到的新結(jié)構(gòu)換熱器個數(shù)均在設(shè)定的范圍內(nèi)。

（3）結(jié)構(gòu)判斷 由于結(jié)構(gòu)進(jìn)化操作具有隨機(jī)性，所以為提高進(jìn)化效率，排除不合理結(jié)構(gòu)，本文提出兩條結(jié)構(gòu)判斷公式，即對流體上的換熱器個數(shù)進(jìn)行限制和判斷。執(zhí)行進(jìn)化操作后，分別計算冷、熱流體上的換熱器個數(shù)，當(dāng)滿足判斷公式時，使用Lagrange乘子法對新結(jié)構(gòu)優(yōu)化；否則認(rèn)為結(jié)構(gòu)進(jìn)化操作無效，重新執(zhí)行。結(jié)構(gòu)判斷公式如式(44)、式(45)所示。

（4）結(jié)構(gòu)選擇 新結(jié)構(gòu)產(chǎn)生后，若其費(fèi)用值較原結(jié)構(gòu)下降，則將原結(jié)構(gòu)更新，否則以一定的概率接受新結(jié)構(gòu)。選擇概率函數(shù)形式如式(46)所示。

4　算例分析

引用文獻(xiàn)[18-19]的算例對算法進(jìn)行驗證，構(gòu)造Lagrange函數(shù)方程組后，分別采用兩種求解策略對其求解，并對結(jié)果進(jìn)行分析。然后對兩結(jié)果對應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略，驗證其有效性及準(zhǔn)確性。過程流體由4股熱流體和5股冷流體組成，相關(guān)參數(shù)如表1所示。換熱器費(fèi)用計算公式，熱公用工程為熱油，費(fèi)用為6$/(kW× a)，冷公用工程為冷水，費(fèi)用為6$/(kW× a)。

在迭代步數(shù)等參數(shù)設(shè)置相同的情況下分別采用兩種求解策略對算例進(jìn)行優(yōu)化，圖2為最速下降法求解策略優(yōu)化結(jié)果的流股匹配圖，其對應(yīng)的年綜合費(fèi)用為2941949$/ a。圖3為Powell法求解策略優(yōu)化結(jié)果的流股匹配圖，其對應(yīng)的年綜合費(fèi)用為2942153$/ a。

表1　算例流股參數(shù)

通過對比兩結(jié)構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，圖2所示的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較圖3在第二級多出一個換熱器，但此換熱器可與第一級相同位置的換熱器疊加，而且不會引起其他變量的變化。疊加后的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與圖3相同，而連續(xù)變量的差別可認(rèn)為由精度差異或極小值判斷機(jī)制造成?？梢宰C明Lagrange乘子法能夠有效處理多約束的換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題，并在初始條件相同的情況下，兩種求解策略能夠得到近似相同的結(jié)果。對比兩者的年綜合費(fèi)用值可知，最速下降法求解策略的結(jié)果相對較優(yōu)，這是因為Powell法求解策略構(gòu)造的函數(shù)光滑性要比Lagrange函數(shù)差，進(jìn)而影響了優(yōu)化結(jié)果。

圖2　最速下降法求解策略優(yōu)化結(jié)果

由于換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題的嚴(yán)重非線性，Lagrange乘子法只能收斂于局部最優(yōu)解。所以本文分別對圖2、圖3所示的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略。并在與原Lagrange乘子法參數(shù)設(shè)置相同的情況下，得到執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略前后的費(fèi)用變化曲線。由于兩種求解策略的確定性方法本質(zhì)，所以收斂較快，在前期每200步記錄一個費(fèi)用值，而結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略具有隨機(jī)性，得到更優(yōu)結(jié)果所需的計算步驟相對較多，后期每500步記錄一個費(fèi)用值。

圖3　Powell法求解策略優(yōu)化結(jié)果

圖4　執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化后的最速下降法求解策略優(yōu)化結(jié)果

對圖2所示的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，得到圖4所示結(jié)果，其所對應(yīng)的年綜合費(fèi)用為2927432$/a，相比原結(jié)構(gòu)對應(yīng)的費(fèi)用值下降14517$/a。兩者的費(fèi)用變化曲線如圖5所示，由其可知，執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，費(fèi)用曲線出現(xiàn)了4次明顯的下降，而兩者對應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也有很大的差異，表明結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略使算法多次跳出了局部最優(yōu)解，優(yōu)化后的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)趨近于最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

對圖3所示的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，得到圖6所示結(jié)構(gòu)，其所對應(yīng)的年綜合費(fèi)用為2930189$/a，相比原結(jié)構(gòu)對應(yīng)的費(fèi)用值下降11964$/a。兩者的費(fèi)用對比曲線如圖7所示，由其可知，執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，費(fèi)用曲線出現(xiàn)明顯的下降，即對當(dāng)前結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，擴(kuò)大了Lagrange乘子法的搜索范圍，獲得了比以往更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計。表明結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略加強(qiáng)了算法的全局搜索能力，提高了搜索效率。

圖5　最速下降法求解策略執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化前后的年綜合費(fèi)用對比曲線

優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)對比如表2所示，由其可知，本文采用的Lagrange乘子法得到了相對于文獻(xiàn)更優(yōu)的結(jié)果。對圖2、圖3所示結(jié)構(gòu)執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，分別得到圖4、圖6所示結(jié)構(gòu)，年綜合費(fèi)用均再次出現(xiàn)明顯的下降，表明執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略后，當(dāng)前換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷向最優(yōu)結(jié)構(gòu)進(jìn)化，在原有結(jié)果的基礎(chǔ)上，提升優(yōu)化質(zhì)量。各圖所示結(jié)構(gòu)的計算相關(guān)參數(shù)如表3所示。

圖6　執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化后的Powell法求解策略優(yōu)化結(jié)果

圖7　Powell法求解策略執(zhí)行結(jié)構(gòu)進(jìn)化前后的年綜合費(fèi)用對比曲線

表2　算例結(jié)果比較

表3　計算相關(guān)參數(shù)

此外，雖然基于最速下降法求解策略的結(jié)果均好于基于Powell法，但Powell法求解策略仍具有了一個所有極小值均為0的新函數(shù)，通過優(yōu)化新函數(shù)可以求解方程組。其次，由前述可知，圖2、圖3的結(jié)構(gòu)可認(rèn)為近似相同，且費(fèi)用差值為204$/ a，相對本算例的費(fèi)用數(shù)量級可忽略，即對同一個Lagrange方程組而言，兩種求解策略能夠得到近似相同的解。圖4、圖6結(jié)構(gòu)對應(yīng)的費(fèi)用值雖然相差2527$/ a，但造成此差異主要是因為兩者初始結(jié)構(gòu)的換熱器個數(shù)不同，對結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略而言，相當(dāng)于從不同起點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)化，最終導(dǎo)致結(jié)果存在差異。且兩費(fèi)用值均明顯優(yōu)于原結(jié)構(gòu)以及文獻(xiàn)結(jié)果，進(jìn)一步表明了結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略在解決換熱網(wǎng)絡(luò)綜合問題時的有效性及通用性。

5　結(jié)論

本文采用Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)，克服了罰函數(shù)法處理有約束問題時存在的不足。結(jié)合確定性方法提出的兩種求解策略能有效求解Lagrange函數(shù)方程組，并使用極小值判斷機(jī)制對方程組的解進(jìn)行了檢驗。根據(jù)實際工況提出的結(jié)構(gòu)進(jìn)化策略與Lagrange乘子法結(jié)合，擴(kuò)大了搜索范圍，跳出局部最優(yōu)解，實現(xiàn)了換熱網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)化。通過經(jīng)典算例對算法的精度及收斂性等方面進(jìn)行驗證，均取得了不錯的結(jié)果。

符 號 說 明

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Lagrange multiplier method combined with structure evolution strategy for heat exchanger network synthesis

ZHANG Chunwei，CUI Guomin，CHEN Shang，TAO Jianan
（Research Institute of New Energy Science and Technology，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：In allusion to the deficiency of penalty functions for constrained problems，a Lagrange multiplier method was adopted to optimize the heat exchanger network. To solve the Lagrange function equations，the steepest-descent method and the Powell method solving strategy according to the deterministic approach were proposed. The minimum value judgment mechanism ensures that the Lagrange function equation solution equals the minimum objective function value of the original network. According to the actual working conditions，a structure evolution strategy combined with a Lagrange multiplier method was proposed to reach the aim of global optimization. The validity and accuracy of these two methods，as well as the universality of the structure evolution strategy were verified by two benchmark problems. Compared with literature results，the proposed approaches have both strong local and global search abilities to find better heat exchanger network structures，which is conducive to cost saving in industrial production.

Key words：heat exchanger network；Lagrange multiplier method；steepest-descent method；Powell method；structure evolution strategy

中圖分類號：TK 124

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000–6613（2016）04–1047–09

DOI：10.16085/j.issn.1000-6613.2016.04.013

收稿日期：2015-09-25；修改稿日期：2015-10-26。

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51176125）及滬江基金研究基地專項（D14001）項目。