例題教學(xué)應(yīng)從“解題”走向“思想”
——從考生對兩道高考壓軸題的不嚴(yán)密解答談起

張海強(qiáng) 孟 盛

例題教學(xué)應(yīng)從“解題”走向“思想”
——從考生對兩道高考壓軸題的不嚴(yán)密解答談起

張海強(qiáng)1孟 盛2

微積分是繼歐幾里得幾何之后，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的一個創(chuàng)造，極限思想則是微積分的基礎(chǔ)。從歷史發(fā)展來看，極限思想的建立是一個漸進(jìn)的過程，因此新課程教科書為幫助學(xué)生建立極限思想作了諸多嘗試。從高考對極限思想的考查來看，結(jié)果不盡如人意，因此宜加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)的研究，使習(xí)題教學(xué)從數(shù)學(xué)知識的教學(xué)走向數(shù)學(xué)思想（方法）的教學(xué)，甚至數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)。

極限思想；漸近線；下確界；數(shù)學(xué)閱讀；習(xí)題教學(xué)

極限思想是一種重要的思想方法，是微積分的基礎(chǔ)，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁。隨著高中對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的深入，極限思想不可避免地從幕后走向臺前，以“正統(tǒng)”的姿態(tài)進(jìn)入了高中教材，極限思想已然成為高中數(shù)學(xué)思想方法的重要內(nèi)容。但從2010年和2013年江蘇高考對極限思想的考查來看結(jié)果不盡如人意，學(xué)生尚缺乏運(yùn)用極限思想解決問題的意識和能力，極限思想并沒有在學(xué)生的頭腦中“扎根”。本文以2010年和2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題中的壓軸題為例，呈現(xiàn)考生的不嚴(yán)密解答，并做出相關(guān)分析，基于此給出對極限思想教學(xué)的一點思考。

一、試題與不嚴(yán)密解答

試題1：（2010年江蘇高考第19題）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式（用n，d表示）；

（2）設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立。求證：c的最大值為

不嚴(yán)密的解答：（1）略；

（2）Sm+Sn＞cSk?m2d2+n2d2＞c·k2d2?m2+n2＞c·k2，即恒成立。

試題2：（2013年江蘇高考第20題）設(shè)函數(shù)f（x） =lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

不嚴(yán)密的解答：（1）略；

當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞e時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減。

二、解法分析

上述不嚴(yán)密的解答來源于考生的高考解答，且具有普遍性。試題1是極限思想在數(shù)的角度運(yùn)用的例子。從閱卷情況看，幾乎所有考生在得到后，便認(rèn)為c的最大值為事實上，由于m≠n，故不是c的最小值，正因為如此可得出但為什么能取到？這關(guān)乎數(shù)集的下確界的證明，涉及極限的理論知識 （“ε-δ”定義），雖然高中學(xué)生并不具備這樣的知識，但筆者認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該具有用樸素的極限思想思考這一問題的能力。試題2是極限思想在形的角度運(yùn)用的例子?？v觀整個解答過程，試問兩條漸近線方程是如何確定的呢？

當(dāng)x→0+時，h（x）→-∞，表明直線x=0為函數(shù)h（x）的一條漸近線（垂直漸近線）。如果說這可以從定性的角度加以理解的話，那么當(dāng)x→+∞時的情形則是一個沒有學(xué)過極限理論知識（“ε-δ”定義）的高中生無法逾越的鴻溝。

三、高中知識框架下的嚴(yán)格證明

試題1的證明可以采取“歸謬法”，古希臘人的“窮竭法”蘊(yùn)含了極限思想，但由于對“無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于歸謬法來完成有關(guān)的證明，本題的證明思路正源于此，其完整過程如下：

于是，對滿足題設(shè)的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn=

于是，只要9k2+4＜2ak2，即當(dāng)

試題2的求解工具是“零點存在定理”，但其本質(zhì)是以極限理論知識（“ε-δ”定義）為基礎(chǔ)的，不過高中階段只需會用該定理解決有關(guān)問題，因此，運(yùn)用“零點存在定理”解此題可以擺脫學(xué)生對極限理論知識的依賴，其求解過程如下：

g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤ex，故為所求。

②當(dāng)a＜0時，由于f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，f（1）=-a＞0，且函數(shù)f（x）在［ea，1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點。

③當(dāng)0＜a≤e-1時，令解得x=a-1。當(dāng)0＜x≤a-1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞a-1時，f′（x）＜0，所以x= a-1是f（x）的最大值點，且最大值為f（a-1）=-lna-1

（?。┊?dāng)-lna-1=0，即a=e-1時，f（x）有一個零點x=e。

（ⅱ）當(dāng)-lna-1＞0，即0＜a＜e-1時，f（x）有兩個零點。

實際上，對于 0＜a＜e-1，由于f（e-1）=-1-ae-1＞0，f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在［e-1，a-1］上的圖象不間斷，所以f（x）在（e-1，a-1）上存在零點。

另外，當(dāng)x∈（0，a-1）時故f（x）在（0，a-1）上是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）在（0，a-1）上只有一個零點。

下面考慮 f（x）在（a-1，+∞）上的情況。考察的符號。

當(dāng)0＜a＜e-1，即a-1＞e時＜0，又f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在上的圖象不間斷，所以f（x）在（a-1，ea-1）上存在零點。

又當(dāng)x＞a-1時-a＜0，故 f（x）在（a-1， +∞）上是單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）在（a-1，+∞）上只有一個零點。

綜合①②③，當(dāng)a≤0或a=e-1時，f（x）的零點個數(shù)為1，當(dāng)0＜a＜e-1時，f（x）的零點個數(shù)為2。

四、兩點思考

首先，極限思想的建立是一個漸進(jìn)的過程。就歷史發(fā)展的角度而言，極限思想的萌芽可以追溯到古代。在古希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏樸素的極限思想。如《莊子·天下篇》中的名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽的割圓術(shù)和古希臘的窮竭法等。17世紀(jì)英國物理學(xué)家牛頓與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲以無窮小概念為基礎(chǔ)創(chuàng)立了微積分，極限思想得到了進(jìn)一步的發(fā)展。到18世紀(jì)極限思想得到初步的完善，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾等人先后對極限作出了各自的定義。19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論。由認(rèn)知的歷史發(fā)生原理可知，學(xué)生頭腦中極限思想的建立應(yīng)符合極限思想的歷史發(fā)展過程。

教科書在內(nèi)容的編排上也充分考慮了這一漸進(jìn)過程，以蘇教版高中教材為例，必修一“閱讀”欄目中的含義”、必修二“問題與建?！睓谀恐小绑w積的近似計算”、“閱讀”欄目中的“祖暅原理”以及選修2-1正文中“雙曲線的漸近線的證明”等內(nèi)容均為學(xué)生極限思想的建立提供了良好的素材和合理的時機(jī)。

因此，筆者以為應(yīng)切實加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)，而且首先從閱讀教科書開始，蘇教版高中教材中設(shè)置了“閱讀”“鏈接”“思考”“數(shù)學(xué)探究”等欄目，這些欄目的內(nèi)容或有利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識的結(jié)構(gòu)，或有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、豐富學(xué)生的“智力背景”，或有利于參悟某種數(shù)學(xué)觀念。

其次，應(yīng)當(dāng)改進(jìn)習(xí)題教學(xué)，立足于優(yōu)化學(xué)生思維。蘇霍姆林斯基說：學(xué)生在課堂上的腦力勞動修養(yǎng)乃是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子。以此類推，學(xué)生在答卷上的腦力勞動修養(yǎng)何嘗不是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子？

試題1和試題2的不嚴(yán)密解答大多選擇 “分離參數(shù)法”，這正是平時教學(xué)和練習(xí)中濫用“分離參數(shù)法”形成的思維定勢。因此，習(xí)題教學(xué)應(yīng)著力提升學(xué)生分析問題的能力，注重通性通法，淡化技巧。

試題1和試題2的不嚴(yán)密解答說明學(xué)生對極限思想渾然不知，究其原因是教師在平時教學(xué)中缺乏高觀點的指導(dǎo)，缺乏極限思想的滲透，因此，習(xí)題教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)知識的教學(xué)走向數(shù)學(xué)思想 （方法）的教學(xué)，甚至數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)。

試題1和試題2的不嚴(yán)密解答表現(xiàn)出了 “千人一面”的現(xiàn)狀，究其原因是教師滿堂灌的結(jié)果，扼殺了學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性，學(xué)生學(xué)會的僅僅是“依樣畫葫蘆”，臣服于教師的權(quán)威，缺乏質(zhì)疑的品質(zhì)。因此，習(xí)題教學(xué)需要留白，以提供學(xué)生“悟”的時間和空間，彰顯個人的特色與風(fēng)采。

［1］華志遠(yuǎn).透視高考熱點，漫話極限思想［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（17）.

［2］張海強(qiáng)，史豪峰.圖像固直觀，推理更精采［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2014（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）28-0039-03

1.張海強(qiáng)，江蘇省宜興中學(xué)（江蘇無錫，214200）教師，高級教師，江蘇省特級教師；2.孟盛，江蘇省宜興中學(xué)（江蘇無錫，214200）教師。