認(rèn)知心理學(xué)思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

郭巧 楊兵 李艷 潘莉

摘 要：數(shù)學(xué)建模即為解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題而建立的數(shù)學(xué)模型，它是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶。結(jié)合教學(xué)案例，利用認(rèn)知心理學(xué)知識(shí)，提出促進(jìn)學(xué)生建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的原則和方法，幫助學(xué)生由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)變，推進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)展。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知心理學(xué)；思想；數(shù)學(xué)建模；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；學(xué)習(xí)觀

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1002-2589（2016）04-0234-02

認(rèn)知心理學(xué)（Cognitive Psychology）興起于20世紀(jì)60年代，是以信息加工理論為核心，研究人的心智活動(dòng)為機(jī)制的心理學(xué)，又被稱為信息加工心理學(xué)。它是認(rèn)知科學(xué)和心理學(xué)的一個(gè)重要分支，它對一切認(rèn)知或認(rèn)知過程進(jìn)行研究，包括感知覺、注意、記憶、思維和言語等[1]。當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)主要用來探究新知識(shí)的識(shí)記、保持、再認(rèn)或再現(xiàn)的信息加工過程中關(guān)于學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)觀。而這一認(rèn)識(shí)觀在學(xué)習(xí)中體現(xiàn)較突出的即為數(shù)學(xué)建模，它是通過信息加工理論對現(xiàn)實(shí)問題運(yùn)用數(shù)學(xué)思想加以簡化和假設(shè)而得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。本文通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型將“認(rèn)知心理學(xué)”的思想融入現(xiàn)實(shí)問題的處理，結(jié)合教學(xué)案例，并提出建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的原則和方法，進(jìn)一步證實(shí)認(rèn)知心理學(xué)思想在數(shù)學(xué)建模中的重要性。

一、案例分析

2011年微軟公司在招聘畢業(yè)大學(xué)生時(shí)，給面試人員出了這樣一道題：假如有800個(gè)形狀、大小相同的球，其中有一個(gè)球比其他球重，給你一個(gè)天平，請問你可以至少用幾次就可以保證找出這個(gè)較重的球？面試者中不乏名牌大學(xué)的本科、碩士甚至博士，可竟無一人能在有限的時(shí)間內(nèi)回答上來。其實(shí)，后來他們知道這只是一道小學(xué)六年級(jí)“找次品”題目的變形。

（一）問題轉(zhuǎn)化，認(rèn)知策略

我們知道，要從800個(gè)球中找到較重的一個(gè)球這一問題如果直接運(yùn)用推理思想應(yīng)該會(huì)很困難，如果我們運(yùn)用“使復(fù)雜問題簡單化”這一認(rèn)知策略，問題就會(huì)變得具體可行。于是，提出如下分解問題。

問題1.對3個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作[2]。問題2.對5個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題3.對9個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題4.對4、6、7、8個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題5.如何得到最佳分配方法。

（二）模型分析，優(yōu)化策略

通過問題1和問題2，我們知道從3個(gè)球和5個(gè)球中找次品，最少并且保證找到次品的分配方法是將球分成3份。但這一結(jié)論只是我們對實(shí)驗(yàn)操作的感知策略。為了尋找策略，我們設(shè)計(jì)了問題3，對于9個(gè)球的最佳分配方法也是分為3份。因此我們得到結(jié)論：在“找次品”過程中，結(jié)合天平每次只能比較2份這一特點(diǎn)，重球只可能在天平一端或者第3份中，同時(shí)，為了保證最少找到，9個(gè)球均分3份是最好的方法。

能被3除盡的球我們得到均分這一優(yōu)化策略，對于不能均分的球怎么分配？于是我們設(shè)計(jì)了問題4，通過問題4我們得到結(jié)論：找次品時(shí)，盡量均分為3份，若不能均分要求每份盡量一樣，可以多1個(gè)或少1個(gè)。

通過問題解決，我們建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：2～3個(gè)球，1次；3+1～32個(gè)球，2次；32+1～33個(gè)球，3次；……

（三）模型轉(zhuǎn)化，歸納策略

通過將新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)運(yùn)用到生活實(shí)踐，我們知道800在36～37之間，所以我們得到800個(gè)球若要保證最少分配次數(shù)是7次。

在認(rèn)知心理學(xué)中，信息的具體表征和加工過程即為編碼。編碼并不被人們所覺察，它往往以“刺激”的形式表現(xiàn)為知覺以及思想。在信息加工過程中，固有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、嚴(yán)密的邏輯思維能力以及抽象概況能力將為數(shù)學(xué)建模中能力的提高產(chǎn)生重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模中認(rèn)知心理學(xué)思想融入

知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)是認(rèn)知心理學(xué)的兩個(gè)基本概念[3]。數(shù)學(xué)是人類在認(rèn)識(shí)社會(huì)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)成果，它起源于現(xiàn)實(shí)生活，以數(shù)字化的形式呈現(xiàn)并用來解決現(xiàn)實(shí)問題。它要求人們具有嚴(yán)密的邏輯思維以及空間思維能力，并通過感知、記憶、理解數(shù)形關(guān)系的過程中形成一種認(rèn)知模型或者思維模式。這種認(rèn)知模型通常以“圖式”的形式存在于客體的頭腦，并且可以根據(jù)需要隨時(shí)提取支配。

（一）我國數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將模型思想這一核心概念的引入成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方向。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模方面的文章最早出自1982年張景中教授論文“洗衣服的數(shù)學(xué)”以及“壘磚問題”。雖然數(shù)學(xué)建模思想遍布國內(nèi)外，但是真正將數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)，從生活事件中抽取數(shù)學(xué)素材卻很難。數(shù)學(xué)建模思想注重知識(shí)應(yīng)用，通過提取已有“圖式”→加工信息→形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式內(nèi)化形成客體自身的“事物結(jié)構(gòu)”，其不僅具有解釋、判斷、預(yù)見功能，而且能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)[4]。

（二）結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)思想，如何形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

知識(shí)結(jié)構(gòu)與智力活動(dòng)相結(jié)合，形成有效認(rèn)知結(jié)構(gòu)。我們知道，數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是前人在總結(jié)的基礎(chǔ)上，通過教學(xué)大綱、教材的形式呈現(xiàn)，并通過語言、數(shù)字、符號(hào)等形式詳細(xì)記述的。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，通過將教材中的知識(shí)簡約化為特定的語言文字符號(hào)的過程叫作客體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這一過程中，智力活動(dòng)起了重要作用。復(fù)雜的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)心體驗(yàn)以及有限的信息加工容量讓我們不得不針對內(nèi)外部的有效信息進(jìn)行篩選。這一過程中，“注意”起到重要作用，我們在進(jìn)行信息加工時(shí)，只有將知識(shí)結(jié)構(gòu)與智力活動(dòng)相結(jié)合，增加“有意注意”和“有意后注意”，才能夠形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

根據(jù)不同構(gòu)造方式，形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)遵循循序漸進(jìn)規(guī)律，并具有嚴(yán)密的邏輯性和準(zhǔn)確性，它是形成不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是通過積累和加工而來，即使數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)一樣，不同的人仍然會(huì)形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這一特點(diǎn)取決于客體的智力水平、學(xué)習(xí)能力。因此若要形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須遵循知識(shí)發(fā)展一般規(guī)律，注重知識(shí)的連貫性和順序性，考慮知識(shí)的積累，注重邏輯思維能力的提高。

三、認(rèn)知心理學(xué)思想下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者已知的、所碰到的信息和他們在學(xué)習(xí)時(shí)所做的之間相互作用的結(jié)果[5]。如何將數(shù)學(xué)知識(shí)變?yōu)閭€(gè)體的知識(shí)，從認(rèn)知心理學(xué)角度分析，即如何將數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收為個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即建立良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，這一課題成為許多研究者關(guān)注的對象。那么怎樣學(xué)習(xí)才能夠提高解決數(shù)學(xué)問題的能力？或者怎樣才能構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型，接下來我們將根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)知識(shí)，提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的構(gòu)建原則和方法。

（一）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息加工過程

學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)相互作用的結(jié)果，是人們在信息加工過程中，通過提取已有“圖式”將新輸入的信息與頭腦中已存儲(chǔ)的信息進(jìn)行有效聯(lián)系而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程[6]?？墒?，當(dāng)客體對于已有“圖式”不知如何使用，或者當(dāng)遇到可以利用“圖式”去解決的問題時(shí)不知道去提取相應(yīng)的知識(shí)，學(xué)習(xí)過程便變得僵化、不知變通。譬如，案例中，即使大部分學(xué)生都學(xué)習(xí)了“找次品”這部分內(nèi)容，卻只能用來解決比較明確的教材性問題，對于實(shí)際生活問題卻很難解決。

學(xué)習(xí)應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息加工過程，數(shù)學(xué)的靈活性在這方面得到了較好的體現(xiàn)。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)遵循有效記憶策略，將所學(xué)知識(shí)與該知識(shí)有聯(lián)系的其他知識(shí)結(jié)合記憶，形成“流動(dòng)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)。例如在案例中，求800個(gè)球中較重球的最少次數(shù)，可以先從簡單問題出發(fā)，對3個(gè)球和5個(gè)球進(jìn)行分析，猜測并驗(yàn)證出一般分配方法。這一過程需要有效提取已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過擬合構(gòu)造，不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而且能夠增強(qiáng)知識(shí)認(rèn)識(shí)水平和思維能力。

（二）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有層次化、條理化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

如果頭腦中僅有“雙向產(chǎn)生式”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，當(dāng)遇到問題時(shí)，很難快速找到解決問題的有效條件。頭腦中數(shù)以萬計(jì)“知識(shí)組塊”必須形成一個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)可以大大提高檢索、提取效率的層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。如案例，在尋找最佳分配方案時(shí)，我們可以把8個(gè)球中找次品的所有分配情況都羅列出來。這樣做，打破了“定勢”的限制，而以最少稱量次數(shù)為線索來重新構(gòu)造知識(shí)，有助于提高學(xué)生發(fā)散思維水平，使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加具有層次化、條理化。

在學(xué)習(xí)過程中，隨著頭腦中信息量的增多，層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)也會(huì)越來越復(fù)雜。因此，必須加強(qiáng)記憶的有效保持，鞏固抽象知識(shí)與具體知識(shí)之間的聯(lián)系，能夠使思維在抽象和現(xiàn)實(shí)之間靈活轉(zhuǎn)化。而這一過程的優(yōu)化策略是有效練習(xí)。

（三）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有有效的思維策略

要想形成有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，提高解決實(shí)際問題的能力，頭腦中還必須要形成有層次的思維策略，以便大腦在學(xué)習(xí)和信息加工過程中，策略性思維能夠有效加以引導(dǎo)和把控。通過調(diào)節(jié)高層策略知識(shí)與底層描述性及程序性知識(shí)之間的轉(zhuǎn)換，不斷反思頭腦思維策略是否恰當(dāng)進(jìn)而做出調(diào)整和優(yōu)化。譬如，在案例中，思維經(jīng)過轉(zhuǎn)化策略、尋找策略、優(yōu)化策略、歸納總結(jié)四個(gè)過程，由一般→特殊→一般問題的求解也是思維由高層向底層再向高層轉(zhuǎn)換的層次性的體現(xiàn)。

在思維策略訓(xùn)練時(shí)，我們應(yīng)重視與學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系度。底層思維策略主要以學(xué)科知識(shí)的形式存在于頭腦，它的遷移性較強(qiáng)，能夠與各種同學(xué)科問題緊密結(jié)合。因此可以通過訓(xùn)練學(xué)生如何審題，如何利用已有條件和問題明確思維方向，提取并調(diào)用相關(guān)知識(shí)來解決現(xiàn)實(shí)問題。

另外，有效思維訓(xùn)練還必須做到“熟練”，對于課堂需要識(shí)記的東西要提前預(yù)習(xí)并及時(shí)復(fù)習(xí)，對于同類型題目，找出知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性組建知識(shí)層次結(jié)構(gòu)，有效練習(xí)同類型題目，提高解難題能力，做到“熟能生巧”。

總之，認(rèn)知心理學(xué)思想融入數(shù)學(xué)建模是非常有必要和有意義的。數(shù)學(xué)建模的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題的能力[4]。數(shù)學(xué)建模的過程即為已有信息經(jīng)過智力加工→編碼而形成心理產(chǎn)物，這一過程需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和思維操作系統(tǒng)。因此，要想提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力、搭建理論與實(shí)踐的橋梁、促進(jìn)學(xué)生由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)變、推進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)展，除了教師的引導(dǎo)、學(xué)校的重視外，學(xué)生自身在認(rèn)知結(jié)構(gòu)、信息構(gòu)建、思維策略、訓(xùn)練方式等方面也應(yīng)提出新的思考。

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