試析證明三角形全等的技巧

劉安建

【摘 要】全等三角形是初中平面幾何知識(shí)中最為重要的部分，也是中考的必考內(nèi)容。通常情況下，初中幾何都會(huì)通過(guò)角邊角、邊角邊、邊邊邊、角角邊四種基本判定定理來(lái)求證三角形全等，而本文則分析了利用兩個(gè)關(guān)鍵、三類圖形和兩種方法來(lái)證明三角形全等的技巧，希望可以幫助中學(xué)生豐富解題手段，更深層次了解三角形全等的解題技巧。

【關(guān)鍵詞】三角形全等 證明 兩大關(guān)鍵 三類圖形 兩種方法

一般來(lái)說(shuō)，證明三角形全等就是證明三角形的角和線段相等，這也是初中平面幾何的基礎(chǔ)理論。所以說(shuō)，以多角度學(xué)習(xí)證明三角形全等的方法就是學(xué)好初中平面幾何的關(guān)鍵，對(duì)后續(xù)更復(fù)雜的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)也很有幫助。

一、證明三角形全等的兩大關(guān)鍵

三角形全等的基本理念就是找準(zhǔn)角與角、邊與邊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以本文針對(duì)三角形全等證明歸納兩大關(guān)鍵要點(diǎn)：

第一，全等三角形的公共邊一定要是對(duì)應(yīng)邊，而其公共角即對(duì)頂角也必須全是對(duì)應(yīng)角。

第二，在全等三角形中，相等的邊邊關(guān)系所對(duì)應(yīng)的角也必須為對(duì)應(yīng)角；反之，相等的角其所對(duì)應(yīng)的邊也一定是對(duì)應(yīng)邊，如此才能成立三角形全等這一結(jié)論[1]。

二、證明三角形全等的三類圖形

在初中平面幾何教學(xué)中，通常認(rèn)為的全等三角形圖形形態(tài)應(yīng)該包括三種：

（一）平移型全等三角形

圖1 平移型全等三角形

如圖1中所示的即為平移型全等三角形，兩個(gè)三角形在平移后依然是保持全等關(guān)系不變的，以下舉例來(lái)說(shuō)。

例1：如圖2，在兩個(gè)三角形△DEF與△ABC中，如果邊EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知邊DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么邊EF的長(zhǎng)度為多少？

圖2 平移三角形DEF和ABC

因?yàn)椤鱀EF與△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）對(duì)稱型全等三角形

圖3 對(duì)稱型全等三角形

例2：如圖4，已知∠DBA=∠CAB，邊DB=CA，DA與CB的相交點(diǎn)為O，而E為AB邊的中點(diǎn)，試證明OE與AB的位置關(guān)系.

圖4 對(duì)稱三角形CAB和DBA

首先，根據(jù)ASA判定定理可以得知，因?yàn)椤螪AB=∠DBA，所以△DBA與△CAB應(yīng)該為全等三角形，E為AB邊的中點(diǎn)，所以O(shè)B=OA，∠OBA=∠OAB，所以邊OE與邊AB應(yīng)該呈垂直關(guān)系，即OE⊥AB.

（三）旋轉(zhuǎn)型全等三角形

圖5 旋轉(zhuǎn)型全等三角形

例3：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E、F兩點(diǎn)位于對(duì)角邊AC之上，如果AF=CE，求問(wèn)DF與BE邊的關(guān)系.

圖6 旋轉(zhuǎn)三角形ADF與CBE

該題求解的是DF與BE兩邊的關(guān)系，從經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，兩邊應(yīng)該屬于平行關(guān)系，若想證明DF∥BE，就必須先證明△ADF與△CBE為全等三角形。因?yàn)锳D∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根據(jù)SAS判定定理，可以證明△ADF與△CBE為全等三角形。在證明兩三角形全等后，就可以得出結(jié)論，邊DF=BE，且兩邊也是平行關(guān)系，DF∥BE.

以上三種圖形就是在對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的三種全等三角形，對(duì)它們的判定還是要基于四大判定定理，并通過(guò)變換圖形的角度、位置、垂直平行關(guān)系來(lái)證明它們可能存在的全等關(guān)系。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，它的難點(diǎn)就在于要用角度變換的思維來(lái)看待對(duì)三角形全等的證明，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用三角形全等的四個(gè)判定定理進(jìn)行證明[2]。

三、證明三角形全等的兩種方法

在初中平面幾何學(xué)習(xí)中，對(duì)三角形全等的證明存在順推和逆推兩種方法，本文將做出一一解析。

（一）順推分析法

所謂順推分析自然是從已知條件出發(fā)，利用上述提到的四種判定定理或其他平面幾何知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，再聯(lián)系結(jié)合題目中的已知條件來(lái)發(fā)展推理過(guò)程，最后得出結(jié)論。

例4：如圖7，線段AB中點(diǎn)為C，其中DC邊平分∠ACE，有∠1=∠2，EC邊平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，證明△DAC與△EBC為全等三角形.

圖7

該題目中所給出的已知條件十分充分，因?yàn)镃點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，所以CA=CB。因?yàn)镈C、EC邊平分∠ACE與∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因?yàn)镈C=EC，根據(jù)SAS判定定理，至此可以說(shuō)明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是從結(jié)論入手的解題方法，它所分析的是到達(dá)結(jié)論的可行性路徑，并且根據(jù)結(jié)合所給出的已知條件和結(jié)論來(lái)尋找到正確的證明方法。在三角形全等的求解過(guò)程中，逆推分析法是十分常見(jiàn)的。

例5：如圖8，已知BA=CA，DA=EA，請(qǐng)求證BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根據(jù)SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上為順推分析和逆推分析的例題求證，如果能夠嫻熟掌握上述兩種方法技巧，學(xué)生還可以結(jié)合順推與逆推，用兩種技巧共同解決習(xí)題，求證三角形的全等關(guān)系[3]。

四、總結(jié)

除上述解題方法外，利用公共邊、公共角、對(duì)頂角等方法也能證明三角形的全等關(guān)系。因此可以說(shuō)，初中平面幾何中三角形全等的求解方法是豐富多樣的，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該在扎實(shí)掌握四大判定定理、邊角關(guān)系的基礎(chǔ)理論的基礎(chǔ)上，充分打開(kāi)學(xué)生的思路，開(kāi)闊學(xué)生的視野，從不同角度、不同層面來(lái)啟迪和開(kāi)發(fā)學(xué)生的解題能力。而三角形全等證明問(wèn)題作為初中平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，也應(yīng)該被學(xué)生所熟悉運(yùn)用，這對(duì)他們未來(lái)面對(duì)和解決更復(fù)雜的幾何題型很有幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1]婁菊紅.淺談證明三角形全等的一些技巧[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版），2012（07）：6-7.

[2]錢燕群.三角形全等的證明及應(yīng)用舉例[J].讀寫(xiě)算（教育教學(xué)研究），2011（08）：118-119.

[3]王志玲.八年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形推理與證明的錯(cuò)誤分析[D].漳州：閩南師范大學(xué)，2015.