例談圓錐曲線中的典型問題

陳靜 王書爽

離心率問題

例1 已知[F1，F(xiàn)2]是雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)[P]與點(diǎn)[F2]關(guān)于直線[y=bax]對稱，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. [52] B. [5]

C. [2] D. [2]

解析 由條件及圖形分析得，

在[△PF1F2中，F(xiàn)1F2=2c，PF2=2b，PF1=2a].

由雙曲線定義得，[2b-2a=2a]，

則[b=2a]. 故[e=1+（ba）2=5].

答案 B

點(diǎn)撥 此類題中有一些幾何條件直接代數(shù)化比較復(fù)雜，故要數(shù)形結(jié)合，優(yōu)先從幾何角度分析轉(zhuǎn)化條件. 比如例1中，點(diǎn)[P]與[F2]關(guān)于直線[y=bax]對稱，可轉(zhuǎn)化為直線[y=bax]的垂直平分線段[PF2]，進(jìn)而得到[PF2=2b，][PF1=2a].

例2 [A1，A2，B1，B2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的四個(gè)頂點(diǎn)，[F]為其右焦點(diǎn)，直線[A1B2]與直線[B1F]相交于點(diǎn)[T]，線段[OT]與橢圓的交點(diǎn)[M]恰好為線段[OT]的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .

解析 由題意知，直線[A1B2]的方程為[y=bax+b]，直線[B1F]的方程為[y=bcx+b.]

聯(lián)立[y=bax+b，y=bcx+b]解得，[T]的坐標(biāo)為[（2aca-c，b（a+c）a-c）].

則[M]的坐標(biāo)為[（aca-c，b（a+c）2（a-c））].

則[（aca-c）2a2+[b（a+c）2（a-c）]2b2=1].

化簡得，[c2+10ac-3a2=0]，即[e2+10e-3=0]，

解得，[e=-5+27].

點(diǎn)撥 此類求離心率問題中，若不能從幾何角度轉(zhuǎn)化和運(yùn)用條件，則適合從坐標(biāo)的角度直接轉(zhuǎn)化為參數(shù)[a，b，c]的關(guān)系求解.

例3 已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若橢圓上存在點(diǎn)[P]使得[asin∠PF1F2=csin∠PF2F1]，則離心率的范圍為 .

解析 由條件有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=ca].

又由正弦定理有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=PF1PF2]，

則[PF1PF2=ca].

由橢圓定義有，[PF1+PF2=2a].

聯(lián)立得，[PF1=2aca+c].

由橢圓的性質(zhì)得，[a-c

即[a-c<2aca+c

變形得，[e>2-1.]

又[e<1]，故[2-1

點(diǎn)撥 此類題所給條件與所求聯(lián)系不明顯，要善于挖掘隱含條件，學(xué)會整合轉(zhuǎn)化條件，逐漸將條件和所研究的問題聯(lián)系起來. 如本題中，先用正弦定理將角化為邊，得到焦半徑與[a，c]的關(guān)系；再利用橢圓的定義及性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化為只含[a，c]的關(guān)系式，從而得到離心率的范圍.

軌跡問題

例4 已知圓的方程[x2+y2=4]，若拋物線過點(diǎn)[A（0，-1），B（0，1）]，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)[F]的軌跡方程是（ ）

A. [x23+y24=1（y≠0）] B. [x24+y23=1（y≠0）]

C. [x23+y24=1（x≠0）] D. [x24+y23=1（x≠0）]

解析 由拋物線的定義有，[AF=d1，BF=d2（d1，d2]分別為[A，B]到準(zhǔn)線的距離）.

由圖形及性質(zhì)可得， [d1+d2=2r=4].

則[AF+BF=4>AB=2]，

則[F]的軌跡是以[A（0，-1），B（0，1）]為焦點(diǎn)的橢圓.

答案 C

點(diǎn)撥 遇到條件不夠直觀的題目，應(yīng)冷靜分析條件如何用. 如本題中的拋物線頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、位置都不明確，故與其圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)關(guān)系不大；而條件中透露了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、拋物線上的點(diǎn)，顯然可以從定義入手.

例5 已知圓[M：（x+5）2+y2=36]，定點(diǎn)[N（5，0）]，點(diǎn)[P]為圓[M]上的動點(diǎn)，點(diǎn)[Q]在[NP]上，點(diǎn)[G]在線段[MP]上，且滿足[NP=2NQ，GQ?NP=0]，則點(diǎn)[G]的軌跡方程是 .

解析 [∵NP=2NQ]，[∴Q]為線段[NP]的中點(diǎn).

又[∵GQ?NP=0]，[∴GQ]垂直平分線段[PN].

則[GP=GN].

又[GM+GP=r=6]，

則[GM+GN=6>MN=25].

故點(diǎn)[G]的軌跡是以[M，N]為焦點(diǎn)的橢圓.

故點(diǎn)[G]的軌跡方程是[x29+y24=1].

點(diǎn)撥 此類題的條件很多，且都可以直觀表達(dá)，故一定要數(shù)形結(jié)合，盡量從幾何角度分析整合條件，將條件向主動點(diǎn)及定點(diǎn)、定值轉(zhuǎn)化. 如本題中，將條件整合轉(zhuǎn)化為主動點(diǎn)[G]和定點(diǎn)[M，N]，定值半徑6之間的關(guān)系.

例6 [P]是橢圓[x2a2+y2b2=1]上的任意一點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[OQ=PF1+PF2]，則動點(diǎn)[Q]的軌跡方程是 .

解析 設(shè)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)為[（x，y）]，點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[（x0，y0）].

由[OQ=PF1+PF2，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）]得，

[x=-c-x0+c-x0，y=-y0-y0，]

則[x0=-x2，y0=-y2.]

又[∵P（x0，y0）]是橢圓[x2a2+y2b2=1]上任意一點(diǎn)，

[∴x24a2+y24b2=1]，即[x24a2+y24b2=1].

答案 [x24a2+y24b2=1]

點(diǎn)撥 此類題的條件明顯符合相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，即題目中除主動點(diǎn)外還有一相關(guān)動點(diǎn)，它們之間的坐標(biāo)關(guān)系清楚簡單，且該相關(guān)動點(diǎn)的軌跡方程已知.

最值范圍、定值問題

例7 已知點(diǎn)[A，B]是拋物線[y2=4x]上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)，若[AB]的垂直平分線與[x]軸的交點(diǎn)是[C（4，0）]，則[AB]的最大值為 .

解析 由條件得，[CA=CB].

可設(shè)以[C]為圓心，[CA]為半徑的圓的方程為[（x-4）2+y2=r2]，

則點(diǎn)[A，B]為圓[（x-4）2+y2=r2]與拋物線[y2=4x]的交點(diǎn).

聯(lián)立[y2=4x，（x-4）2+y2=r2]得，

[x2-4x+16-r2=0].

設(shè)[A（x1，y1）， B（x2，y2）]，則[x1+x2=4].

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為[F]，則[AB≤FA+FB]（當(dāng)[AB]過[F]時(shí)取“=”）.

[∵FA+BA=x1+1+（x2+1）=x1+x2+2=6]，

[∴AB≤6]（當(dāng)[AB]過[F]時(shí)取“=”）.

故[ABmax=6].

點(diǎn)撥 此類題的條件與結(jié)論的關(guān)系不明顯，又是最值問題，求解有一定難度. 關(guān)鍵在于從條件、所求兩方面入手分析，一方面合理分析條件，整合條件；另一方面分析所求，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化. 注意：求最值范圍問題可以從不等式知識、函數(shù)知識、幾何意義三個(gè)角度考慮. 如本例中將條件整合轉(zhuǎn)化為[x1+x2=4]，將所求轉(zhuǎn)化為[AB≤FA+FB]=[x1+x2+2]，從而使條件和結(jié)論恰當(dāng)?shù)芈?lián)系起來，這是本題的最簡解法. 也可以直接求[AB]的表達(dá)式，利用函數(shù)思想求解，條件也還有別的整合方式.

例8 [P]為雙曲線[x2-y215=1]右支上一點(diǎn)，[M，N]分別是圓[C1：（x+4）2+y2=4]和[C2：（x-4）2+y2=1]上的點(diǎn)，則[PM-PN]的最大值為 .

解析 可以先固定[P]點(diǎn)，當(dāng)[M]在圓[C1]上運(yùn)動時(shí)，

由圓的性質(zhì)得，[PM≤PC1+2].①

同理，當(dāng)[N]在圓[C2]上運(yùn)動時(shí)，[PN≥PC2-1]，即[-PN≤1-PC2].②

由①②得，[PM-PN≤PC1-PC2+3].

當(dāng)且僅當(dāng)[M]在線段[PC1]的延長線上，[N]在線段[PC2]上時(shí)取“=”.

由雙曲線定義得，[PC1-PC2=2].

故[（PM-PN）max=5].

點(diǎn)撥 此類題目的目標(biāo)式中都是動點(diǎn)，但條件中有一些定點(diǎn)、定值，應(yīng)先利用幾何性質(zhì)盡量將問題向定點(diǎn)、定值轉(zhuǎn)化后再計(jì)算，從而使問題迎刃而解. 如例題中，利用圓的性質(zhì)將[PM]，[PN]向[PC1]和[PC2]轉(zhuǎn)化.

例9 已知橢圓[C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點(diǎn)[F（1，0）]，且點(diǎn)[（-1，22）]在橢圓[C1]上.

（1）求橢圓[C1]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知?jiǎng)又本€[l]過點(diǎn)[F]且與橢圓交于[A，B]兩點(diǎn)，試問[x]軸上是否存在定點(diǎn)[Q]，使得[QA?QB=-716]恒成立，若存在，求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析 （1）[x22+y2=1]（過程略）.

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)[Q（m，0）]，使得[QA?QB=-716].

①若[l]的斜率存在，

設(shè)[l]方程為[y=k（x-1），A（x1，y1）B（x2，y2）]，

聯(lián)立[x2+2y2=2，y=k（x-1）] 得，

[（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0].

則[Δ=16k4-4（2k2+1）（2k2-2）>0，x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.]

又[y1y2=k2x1x2-（x1+x2）+1=-k22k2+1]，

[∵QA?QB=（x1-m）（x2-m）+y1y2]

[=（1+k2）x1x2-（m+k2）（x1+x2）+m2+k2]，

[∴QA?QB=（1+k2）?2k2-22k2+1-（m+k2）?4k22k2+1+m2+k2]

[=-716].

整理得，[k2（32m2-64m+30）+16m2-25=0].

由題意知，無論[k]取何值，上式恒成立，

則[32m2-64m+30=0，16m2-25=0，]

則[m=54].

②若[l]的斜率不存在，易得[m=54].

綜上所述，存在定點(diǎn)[Q][（54，0）]，使得[QA?QB=-716].

點(diǎn)撥 此類定性問題一般要借助適當(dāng)變量來表達(dá)要研究的量，再根據(jù)條件分析. 如本例中，是先設(shè)定點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，再借用[x1，x2，k]表達(dá)[QA?QB]，最后利用條件得到只有變量[k]和[Q]橫坐標(biāo)[m]的恒等式，從而求出[m]的值. 也可以先由特殊情況求出[m]的值，再證明它對一般情況都成立.