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    二項式定理常見題型剖析

    2016-05-14 14:03:16陳靜
    高中生學習·高二版 2016年6期
    關(guān)鍵詞:冪指數(shù)展開式二項式

    陳靜

    二項式定理研究的是一種特殊的多項式——二項式乘方的展開式,是培養(yǎng)觀察、歸納能力的好題材. 二項式定理是以公式形式表現(xiàn)二項式的正整數(shù)冪的展開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面內(nèi)在聯(lián)系的重要定理,集中體現(xiàn)了二項式展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化. 它是求展開式的某些項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)以及系數(shù)的重要公式.

    二項式定理在高考中每年一道題,試題難度不大,與教材習題相當. 因此,學習時要重視基礎,熟練掌握二項式定理的展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)等原理,不必追求難解題.

    系數(shù)問題

    例1 [(xy-yx)4]的展開式中的[x3y3]的系數(shù)為________.

    解析 方法1:[(xy-yx)4=xy(x-y)4]

    [=x2y2(x-y)4,]

    故只需求出[x-y4]的展開式中含[xy]的項的系數(shù).

    易知所求為[C24?(-1)2=6].

    方法2:[Tr+1=Cr4?(xy)4-r?(-yx)r]

    [=(-1)r?x4-r?y4-r2?yr?xr2=(-1)r?Cr4?x4-r2?y2+r2.]

    依題意得,令[4-r2=3]且[2+r2=3],解得,[r=2].

    所以展開式中的[x3y3]的系數(shù)為[C24?(-1)2=6].

    點撥 先化簡后計算是解答某些數(shù)學問題的基本策略,方法1通過對底式進行因式分解化簡使得問題簡單化,方法2則是直接套用展開式的通項公式. 若對二項式展開式的性質(zhì)有更深入的理解,結(jié)合有關(guān)字母次數(shù)的對稱性也可直接得出展開式中[x3y3]的系數(shù)為[C24(-1)2=6].

    例2 二項式[(3x3+1x)n]的展開式的各項系數(shù)的和為[p],所有二項式系數(shù)的和為[s],若[p+s=272],則[n]等于多少?

    解析 若[(3x3+1x)n=a0+a1x+a2x2+???+anxn],

    則[p=a0+a1+???+an],[s=C0n+…+Cnn=2n].

    令[x=1]得,[p=4n].

    又[p+s=272],

    即[4n+2n=272?(2n+17)(2n-16)=0],

    解得,[2n=16或2n=-17(舍去)].

    [∴n=4].

    點撥 要正確區(qū)分各項系數(shù)與各二項式系數(shù)的概念,并知道如何求解. 二項式系數(shù)的和為[C0n+C1n+C2n][+…+Crn+…+Cnn=2n],各項系數(shù)和只需令各個字母的值為1即可.

    例3 對于任意實數(shù)[x]有[x3=a0+a1(x-2)][+a2(x-2)2][+a3(x-2)3],則[a2=____].

    解析 方法1:換元法.

    設[x-2=t],則[x=t+2].

    代入已知等式得,[(t+2)3=a0+a1t+a2t2+a3t3].

    所以[a2]為[(t+2)3]的展開式中含[t2]的項的系數(shù),即[a2=C13?2=6].

    方法2:左右兩邊[x2,x3]項的系數(shù)對應相等得,

    [0=a2+a3?C13?(-2)1,a3=1],故[a2]=6.

    方法3:[x3=2+(x-2)3]. 由二項式定理知,展開式中[(x-2)2]的系數(shù)為[C23?2=6].

    點撥 兩多項式恒等,就是同次冪項系數(shù)對應相等,據(jù)此有多種渠道求解. 方法1、方法3就思路而言本質(zhì)相同,兩種方法均體現(xiàn)了整體思想.

    常數(shù)項問題

    例4 如果[(3x2-2x3)n]的展開式中含有非零常數(shù)項,則正整數(shù)[n]的最小值為 .

    解析 [Tr+1=Crn(3x2)n-r(-2x3)r=Crn3n-r(-2)rx2n-5r],

    依題意知,[2n-5r=0]有解.

    因為[n]為正整數(shù),[r]為小于[n]的自然數(shù),且[r=25n],

    所以[n]的最小值為5.

    點撥 對展開式中項的特征進行考查是??碱}型. 本題涉及整除問題,要使[n]與[r]滿足范圍,[n]一定是5的倍數(shù),所以[n]的最小值為5.

    例5 求[(1+x3)6?(1+1x4)10]展開式中的常數(shù)項.

    解析 [(1+x3)6?(1+1x4)10]的展開式的通項為[Cm6?xm3?Cn10?x-n4][=Cm6?Cn10?x4m-3n12],其中[m]=0,1,2,…,6,[n]=0,1,2,…,10,

    當且僅當[4m=3n],即[m=0,n=0,]或[m=3,n=4,]或[m=6,n=8,]時,

    故展開式中的常數(shù)項為[C06?C010+C36?C410][+C66?C810][=4246].

    例6 [(1+x+x2)(x+1x3)n]的展開式中沒有常數(shù)項,[n∈N*],[2≤n≤8],則[n]= .

    解析 [(x+1x3)n]的展開式的通項為

    [Tr+1=Crn?xn-r?1x3r=Crn?xn-4r].

    要使[(1+x+x2)(x+1x3)n]的展開式中沒有常數(shù)項,只需[(x+1x3)n]展開式中沒有[x0,x-1,x-2]項即可.

    故[n-4r≠0,-1,-2],

    所以[n≠4r,n≠4r-1,n≠4r-2, 2≤n≤8].

    由數(shù)的分類知,[n=4r-3],所以[2≤4r-3≤8]且[r]為整數(shù),解得[r=2,n=5].

    點撥 在處理這類題目的時候,要用到一些整數(shù)的知識,如互質(zhì)概念、整除問題、整數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)、余數(shù)問題等.

    賦值求值問題

    例7 若[(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016][(x∈R)],

    則[a12+a222+…+a201622016]=______.

    解析 取[x=12]得,

    [a12+a222+…+a201622016=][(1-2×12)2016-a0].

    取[x=0]得,[a0=1].

    故所求式子的值為[-1].

    點撥 本題涉及展開式中的系數(shù)問題,除了通項公式外,可以從系數(shù)的特征出發(fā)采用行之有效的手段. 本題看上去很復雜,但將已知式的右端和所求式進行比對,容易想到對[x]進行賦值求解.

    [練習]

    1. [(1+x)n=a0+a1x+…+anxn],若[a1+a2+…+an]=63,則展開式中系數(shù)最大的項是 .

    2. 在[(x3+1x)20]的展開式中,[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 項.

    3.若[(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4],則[a0]+[a2][+a4]的值為 .

    [參考答案]

    1. 令[x=1]得,[2n=a0+a1+a2+…+an].

    ∵[a0=C0n=1],且[a1+a2+…+an=63],

    ∴[2n=64],即[n=6].

    則[(1+x)n]的展開式有7項,展開式中系數(shù)最大的項是第4項,[T4=C46x3=20x3].

    2. 展開式的通項是[Tr+1=Cr20?x20-r3?x-r2=Cr20?x40-5r6.]

    因為[x]的冪指數(shù)是整數(shù),則[40-5r]必須是6的倍數(shù).

    所以[r]=2,8,14,20,即[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項共4項.

    3. 令[x=1],則[a0+a1+a2+a3+a4=0];

    令[x=-1],則[a0-a1+a2-a3+a4=16].

    則[a0+a2+a4=8].

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