例析古典概型題

黃希

不放回地取球問題

例1 盒子里面放有大小形狀相同的[a]個(gè)白球、[b]個(gè)黑球，從中依次不放回地任意取出[k]個(gè)球，求：

（1）第[k]次取出的恰好為白球的概率；

（2）第[r]次取出的為白球且第[k]次取出的為黑球的概率[r

分析 （1）設(shè)想將球編號(hào)，一個(gè)一個(gè)不放回地取出，直到第[k]次取到白球?yàn)橹?，則基本事件總數(shù)就是從[a+b]個(gè)編號(hào)的球中選出[k]個(gè)球進(jìn)行排列，即[Aka+b]. 要使[A]發(fā)生，只需要從[a]個(gè)白球中選出一個(gè)放在第[k]個(gè)位置上. 作為第[k]次取出來的球，前面的[k-1]個(gè)位置可以任意放余下的球，因此[A]事件包含[A1a?Ak-1a+b-1]個(gè)基本事件.

（2）同（1），基本事件總數(shù)就是從[a+b]個(gè)編號(hào)的球中選出[k]個(gè)球進(jìn)行排列. [B]事件要求是：第[r]個(gè)球是白球，有[A1a]種排法；第[k]個(gè)球是黑球，有[A1b]種排法；剩余位置可以從剩余的球中選取[k-2]個(gè)來排列. 因此[B]事件包含[A1a?A1b?Ak-2a+b-2]個(gè)基本事件.

解 （1）設(shè)第[k]次取出白球的事件為[A]，

則所求概率為[P（A）=A1a?Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b].

（2）設(shè)第[r]次取出白球且第[k]次取出黑球的事件為[B]，則所求概率為[P（B）=A1a?A1b?Ak-2a+b-2Aka+b=ab（a+b）（a+b-1）.]

例2 一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的[a]個(gè)白球、[b]個(gè)黑球，從袋子中隨機(jī)取出[n]個(gè)球，求：

（1）取出的球中恰有[k]個(gè)白球的概率；

（2）假設(shè)袋中另有[c]個(gè)紅球，取出的[n]個(gè)球中恰有[t]個(gè)白球，[m]個(gè)黑球的概率，其中[1≤t+m≤a+b].

分析 在這一模型中，摸球的最終結(jié)果，與取出球的數(shù)量有關(guān)，而與球的排列順序無(wú)關(guān).

（1）從[a+b]個(gè)球中不計(jì)順序地取出[n]個(gè)球，所有的可能有[Cna+b]種. 在取出的[n]個(gè)球中恰有[k]個(gè)白球，這[k]個(gè)白球從[a]個(gè)白球中取，剩下的[n-k]個(gè)球只能是從[b]個(gè)黑球中取出的，所以事件[A]有[Cka?Cn-kb]種取法.

（2）從[a+b+c]個(gè)球中取出[n]個(gè)球，則所有可能取法有[Cna+b+c]種. 在[n]個(gè)球中包含[t]個(gè)白球，[m]個(gè)黑球，剩下的是[n-t-m]個(gè)紅球，則[B]事件有[Cta?Cmb?Cn-t-mc]種取法.

解 （1）設(shè)取出的球中恰有[k]個(gè)白球?yàn)槭录A]，

則所求的概率為[P（A）=Cka?Cn-kbCna+b.]

（2）設(shè)取出的[n]個(gè)球中恰有[t]個(gè)白球，[m]個(gè)黑球?yàn)槭录B]，

則所求的概率為[P（B）=Cta?Cmb?Cn-t-mcCna+b+c.]

有放回地取球問題

例3 某袋中裝有大小形狀完全相同的[a]個(gè)紅球、[b]個(gè)藍(lán)球，用有放回地抽取方式從中依次抽取出[n]個(gè)球，求：

（1）第[k]次取出的是紅球的概率；

（2）第[k]次才取到紅球的概率；

（3）前[k]次中能取到紅球的概率，其中[k≤n≤a+b.]

分析 （1）第[k]次取到的是紅球，就意味著前[k-1]次就是在[a+b]中取出一個(gè)球就可以了，無(wú)論是紅球還是藍(lán)球；然后第[k]次在[a]個(gè)紅球中取出一個(gè)紅球就可以了，故第[k]次取出的是紅球有[a+bk-1?C1a]種取法.

（2）第[k]次才取到紅球，則前面的[k-1]次都不是紅球而是藍(lán)球，故第[k]次才取到紅球有[bk-1?C1a]種取法.

（3）前[k]次能取到紅球的對(duì)立事件是前[k]次取到的都是藍(lán)球，有[bk]種取法，因此前[k]次取到的都是藍(lán)球的概率為[bka+bk].

解 （1）設(shè)第[k]次取出紅球的事件為[A]，

所求概率為[P（A）=a+bk-1?C1aa+bk=aa+b.]

（2）設(shè)第[k]次才取到紅球?yàn)槭录B]，

則所求的概率為[P（B）=bk-1?C1aa+bk=bk-1?aa+bk.]

（3）設(shè)前[k]次中能取到紅球?yàn)槭录C]，

則所求的概率為[P（C）=1-bka+bk.]

分球入盒問題

例4 將[n]個(gè)球隨機(jī)放入[N]個(gè)箱子中（[N≥n]），求下列事件的概率.

（1）指定[n]個(gè)箱子各放一球；

（2）每個(gè)箱子中最多放入一個(gè)球；

（3）第[i]個(gè)箱子不是空的；

（4）第[i]個(gè)箱子恰好放入[k][k≤n]個(gè)球.

分析 根據(jù)題目條件知，每個(gè)球都可以放入[N]個(gè)箱子中的任意一個(gè)箱子中，有[N]種放法.可以得到[n]個(gè)球隨意放入[N]個(gè)箱子中有[Nn]種放法.

（1）指定的[n]個(gè)箱子中各放一球就相當(dāng)于[n]個(gè)球的全排列，有[n！]種不同的放法.

（2）從[N]個(gè)箱子中任意選出[n]個(gè)箱子，有[CnN]種選法；然后在選出的[n]個(gè)箱子中每個(gè)箱子里放一個(gè)球，有[n！]種放法. 事件[B]就有[CnN?n！]種放法.

（3）題目要求第[i]個(gè)箱子不空，即第[i]個(gè)箱子至少要放入一個(gè)球，直接計(jì)算時(shí)分類較多，因此考慮求其對(duì)立事件第[i]個(gè)箱子為空的概率.由于第[i]個(gè)箱子是空的，于是要把[n]個(gè)球隨機(jī)放入其余的[N-1]個(gè)箱子中，有[N-1n]種放法，所以第[i]個(gè)箱子為空的概率為[P=N-1nNn].

（4）先從[n]個(gè)球中選出[k]個(gè)球放入第[i]個(gè)箱子中，有[Ckn]種不同的選法；再把余下的[n-k]個(gè)球任意放入其余的[N-1]個(gè)箱子中，有[N-1n-k]種放法. 因此第[i]個(gè)箱子恰好放入[k]個(gè)球有[Ckn?N-1n-k]種放法.

解 （1）設(shè)指定的[n]個(gè)箱子中各放一球?yàn)槭录A]，

所求的概率為[P（A）=n！Nn.]

（2）設(shè)每個(gè)箱子中最多放一個(gè)球?yàn)槭录B]，

所求概率為[P（B）=CnN?n！Nn.]

（3）設(shè)第[i]個(gè)箱子不空為事件[C]，

所求概率為[P（C）=1-P=1-N-1nNn.]

（4）設(shè)第[i]個(gè)箱子恰好放入[k][k≤n]個(gè)球?yàn)槭录D]，

所求概率為[P（D）=Ckn?N-1n-kNn.]

有放回地隨機(jī)取數(shù)

例5 從2，3，4，5，6，7，8這7個(gè)數(shù)字中依次有放回地抽取4個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率.

（1）[A=取出的4個(gè)數(shù)字完全不同]；

（2）[B=取出的4個(gè)數(shù)字不含3和7]；

（3）[C={取出的4個(gè)數(shù)字中至少出現(xiàn)一次4}].

分析 從7個(gè)數(shù)字中依次有放回地抽取4個(gè)數(shù)字，所有可能的結(jié)果有[74]種.

（1）抽取的4個(gè)數(shù)字都不相同，所以[A]事件包含的結(jié)果個(gè)數(shù)可以看成是從7個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)的排列[A47].

（2）若抽取的數(shù)字不含3和7，相當(dāng)于從剩余的5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取4個(gè)數(shù)字. 因?yàn)槭怯蟹呕氐爻槿?，所以事件[B]有[54]種結(jié)果.

（3）若4個(gè)數(shù)字中至少出現(xiàn)一次4，直接計(jì)算情況較多，因此考慮求其對(duì)立事件，即[C=]{[4]個(gè)數(shù)字中沒有出現(xiàn)4}. 也就是說要從沒有4的6個(gè)數(shù)字中有放回地任意選出4個(gè)數(shù)字，有[64]種. 因此，[4]個(gè)數(shù)字中沒有出現(xiàn)4的概率為[6474].

解 （1）[PA=A4774≈0.3499.]

（2）[PB=5474≈0.2603.]

（3）[PC=1-6474≈0.4602.]

無(wú)放回地隨機(jī)取數(shù)

例6 用數(shù)字1，2，3，4，5任意組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求下列事件的概率.

（1）[A=它是一個(gè)奇數(shù)]；

（2）[B=它大于34000].

分析 由5個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以看作是5個(gè)數(shù)字的全排列，那么其總的事件個(gè)數(shù)為[A55].

（1）事件[A]要求組合出來的數(shù)字是一個(gè)奇數(shù)，個(gè)位數(shù)就只能是1，3，5中的一個(gè)，剩下的4個(gè)數(shù)字全排列，那[A]事件的總數(shù)就有[3×A44].

（2）事件[B]要保證五位數(shù)大于34000，若首位數(shù)字是4，5，這個(gè)五位數(shù)大于34000，有[2×A44]種取法；若首位數(shù)字是3，此時(shí)千位數(shù)字是4或5也是滿足要求的，有[2×A33]種取法.

解 （1）[PA=3×A44A55=0.6.]

（2）[PB=60A55=0.5.]

例7 從2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)不同的數(shù)字，求下列事件的概率.

（1）[A=3個(gè)數(shù)字中不含有2和5]；

（2）[B=3個(gè)數(shù)字中不含有2或5].

分析 從5個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)字的基本事件總數(shù)為[C35]個(gè).

（1）[A]事件要求3個(gè)數(shù)字中不含有2和5，則只能是3，4，6，所以只有一種取法.

（2）[B]事件要求3個(gè)數(shù)字中不含有2或5，不含有2有[C34]種，不含有5有[C34]種，前面兩種情況中都包含了既不含有2也不含有5的情況，因此要減去重復(fù)的，所以[B]事件的個(gè)數(shù)為[2×C34-1].

解 （1）[PA=C33C35=0.1.]

（2）[PB=2×C34-1C35=0.7.]

例8 從整數(shù)0，1，2，…，9中任取4個(gè)不重復(fù)的數(shù)字排成一排，求取出的數(shù)能排成一個(gè)四位數(shù)的奇數(shù)的概率是多少？

分析 從10個(gè)數(shù)字中任取4個(gè)不重復(fù)的數(shù)字排成一排有[A410]種結(jié)果. 要組成一個(gè)四位數(shù)，首位上的數(shù)字不能是0；要滿足是奇數(shù)，最后一位數(shù)字應(yīng)從1，3，5，7，9中選取. 首先考慮個(gè)位數(shù)的選取共有5種可能，則可能組成[C15?A39]個(gè)數(shù)；再剔除其中0在首位上的數(shù)，因此事件[A]有[C15?A39-C15?A28]種結(jié)果.

解 設(shè)[A=排成一個(gè)四位數(shù)的奇數(shù)]，則所求概率為[PA=C15?A39-C15?A28A410=22405040=2863.]