胸中有術(shù)方能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律

沈陽

機(jī)械能守恒定律是高中力學(xué)一個(gè)非常重要的規(guī)律，在中學(xué)物理解題中有比較廣泛的應(yīng)用.下面就談?wù)剻C(jī)械能守恒定律的有關(guān)問題.

一、機(jī)械能守恒定律的內(nèi)容

在只有重力和彈力（內(nèi)力）做功的情況下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能的總量保持不變.

二、對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解

機(jī)械能守恒定律的研究對(duì)象是包括地球在內(nèi)的物體系.機(jī)械能包括動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能.

（1） 重力的功不改變物體系的總機(jī)械能.如果只有重力做功，重力做多少正功，物體的動(dòng)能就增加多少，或重力勢(shì)能就減少多少；重力做多少負(fù)功，物體的動(dòng)能就減少多少，或重力勢(shì)能就增加多少，而物體系的機(jī)械能總量保持不變.

（2） 彈力（或系統(tǒng)內(nèi)力）的功也不改變物體系的總機(jī)械能.如果只有彈力做功，彈力做多少正功，物體的動(dòng)能就增加多少，或彈性勢(shì)能就減少多少；彈力多少負(fù)功，物體的動(dòng)能就減少多少，或彈性勢(shì)能就增加多少，物體系的機(jī)械能總量保持不變.

所以在只有重力和彈力（內(nèi)力）做功的情況下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能的總量保持不變.

對(duì)于質(zhì)量一定的物理而言，其動(dòng)能由其速度大小決定，其勢(shì)能的大小則由其相對(duì)位置決定，速度和位置又確定了物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).因此物體的機(jī)械能由物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定.

機(jī)械能守恒定律反映了物體的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化過程隱含其中.物體的狀態(tài)量是其在某時(shí)刻（或某些確定位置上）的狀態(tài)量用同一個(gè)方程聯(lián)系起來，為解決力學(xué)問題提供了一條簡(jiǎn)捷的思路.即應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題，完全可以不考慮過程的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)始末狀態(tài)建立方程求解即可，于是問題得到簡(jiǎn)化.

三、機(jī)械能守恒定律的條件

機(jī)械能守恒定律是有條件的，對(duì)隱含的物理過程有一定的限制，這些過程應(yīng)是只有重力和彈力（內(nèi)力）做功的過程.在這樣的過程中發(fā)生的只是動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化.機(jī)械能守恒的條件有以下三種情況：

（1）若物體系內(nèi)只有重力和彈力做功，只有動(dòng)能和勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能保持不變.

（2）若物體系內(nèi)除重力、彈力以外的其他內(nèi)力不做功，或做功的代數(shù)和等于零，則機(jī)械能守恒.

（3）若物體系受到的外力不做功或做功的代數(shù)和等于零，則機(jī)械能守恒.

四、機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式

機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)有以下三種形式：

（1）E1=E2，即物體系在末態(tài)的機(jī)械能等于初態(tài)的機(jī)械能.

（2）ΔEp=-ΔEk，即物體系勢(shì)能的減少（或增加）等于其動(dòng)能的增加（或減少）.

（3）ΔE=0，即物體系機(jī)械能的變化量為零.

五、應(yīng)用舉例

在運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題的過程中，應(yīng)先根據(jù)題設(shè)物理情景、已知條件，合理地選擇系統(tǒng)，分析各力做功情況，確定始末狀態(tài)，判斷系統(tǒng)是否滿足機(jī)械能守恒定律的條件.若能夠滿足，再根據(jù)上述機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式建立方程求解.為了使解題簡(jiǎn)捷，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件靈活選用機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式解題.若用第一種表達(dá)形式解題，應(yīng)設(shè)零勢(shì)能參考平面，若用后兩種數(shù)學(xué)表達(dá)形式解題，則無需設(shè)零勢(shì)能參考平面.

例1如圖1所示，一小球用不可伸長的輕繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)有用固定的釘子，OB=d.初始時(shí)小球處于與O點(diǎn)同在一水平面上的A點(diǎn)，且無初速釋放.設(shè)繩長為l，為使小球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，試求d的取值范圍.

解析設(shè)小球過C點(diǎn)時(shí)的速度為v，要使小球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)滿足條件

mg≤mv2r（1）

在小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉?，繩子的拉力不做功，所以機(jī)械能守恒.取過C點(diǎn)的水平面為零勢(shì)能面，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律E1=E2有

mg（l-2r）=12mv2（2）

聯(lián)立（1）、（2）可求得r≤25l（3）

而l=d+r，把③代入上式可得d=l-r≥35l，故d的取值范圍為35l≤d

例2如圖2所示，質(zhì)量為m的小球A、B、C用兩條長為l的細(xì)繩相連，置于高為h的光滑水平桌面上，l>h，A球剛跨過桌邊.若A球、B球相繼下落著后均不再反跳，則C球剛離開桌邊時(shí)的瞬時(shí)速度多大？

解析在A球下落的過程中，取A、B、C這三個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象.由于只有重力做功（繩子的拉力做功代數(shù)和為零），所以機(jī)械能守恒.取水平桌面為零勢(shì)能面，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律E1=E2有0=-mgh+3×12mv21，則v1=23gh.

在B球下落的過程中（A球已不再與B球發(fā)生作用），取B、C兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，因只有重力做功，滿足機(jī)械能守恒定律，則E1′=E2′，故有

2×12mv21=-mgh+2×12mv22，則v21=53gh.

因此B球落地后，C球?qū)⒁詖2的速度離開桌邊向下運(yùn)動(dòng).例3如圖3所示，質(zhì)量為m的物體被拴在長度為l的細(xì)繩一端，將繩的另一端固定.一質(zhì)量為m0的子彈以一定的水平速度射入木塊并留在其中.不計(jì)空氣阻力，欲使木塊（包括其中子彈）剛好在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，求子彈射入木塊時(shí)的速度是多大？

解析本題所述物理過程可分為兩個(gè)子過程：子彈射入木塊的子過程和木塊（包括其中的子彈）在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的子過程.

在子彈射入木塊的子過程中，由于有滑動(dòng)摩擦力做功，子彈與木塊組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.但子彈與木塊組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒.

設(shè)子彈射入木塊的初速度為v0，射入后的共同速度為v1，則由動(dòng)量守恒定律有

m0v0=（m0+m）v1，

此后木塊（包括其中的子彈）在上擺的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒.設(shè)剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v2.設(shè)圓周最低點(diǎn)所在水平面為參考平面，則有

（m0+m）v21=（m0+m）g·2l+12（m0+m）.

在圓周最高點(diǎn)，重力提供向心力，則有

（m0+m）g=（m0+m）v22l.

聯(lián)立以上三式可解得v0=m0+mm05gL.