解三角形問題的利器

趙虎　藺興旺

數(shù)學(xué)題不計其數(shù)，但是蘊含在問題中的數(shù)學(xué)思想方法卻是永恒不變的.它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解決問題的有效手段，也是考試制勝的法寶.近幾年的高考一次又一次向我們證明了數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)中的重要性，本文重點談?wù)劮匠趟枷朐诟呖紨?shù)學(xué)解題中的價值，希望對同仁、同學(xué)起到拋磚引玉的作用.

所謂方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程（或方程組），然后通過解方程（或方程組）來使問題獲解.具體講利用方程思想，是指設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程（或方程組），將問題進行算式化，從而簡捷明快，完成未知向已知的轉(zhuǎn)化.

有些高考數(shù)學(xué)題，從幾何問題、三角問題、解析幾何等表面上看，似乎與代數(shù)問題無關(guān)，但如果善于利用等量關(guān)系，具有方程的思想意識，許多數(shù)學(xué)綜合問題，用方程思想解決很容易.現(xiàn)具體談?wù)劮匠趟枷朐诮鉀Q高考數(shù)學(xué)解答題的應(yīng)用.

高考解三角形問題，繞來繞去，就是利用正弦定理與余弦定理解題，即利用解方程或解方程組解決.如果我們把三角形的正弦定理與余弦定理作為解決三角形問題的利劍，那么解決三角形問題的利器，豪不猶豫就是方程思想.所以重視方程思想，具有方程的思想意識，善于利用方程思想解題，是數(shù)學(xué)解題的重中之重.

例1如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC=90°.

（1）若PB=12，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解（1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

在△PBA中，由余弦定理得

PA2=3+14-2×3×12cos30°=74，

故PA=72.

此小題實際上是利用方程思想解決.因正弦定理與余弦定理都是等式，只要已知未知都參與，實質(zhì)轉(zhuǎn)化為解方程.

（2）設(shè)∠PBA=α，由已知得PB=sinα.

在△PBA中，由正弦定理得3sin150°=sinαsin（30°-α），

化簡得3cosα=4sinα.

所以tanα=34，即tan∠PBA=34.

此小題實際上也是先設(shè)元，利用正弦定理這一等式，已知未知都參與，化簡，統(tǒng)一，最終實質(zhì)轉(zhuǎn)化為解方程，這里方程思想很明顯.

例2四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2.（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積.

解（Ⅰ）由題設(shè)及余弦定理得

①BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC.

②BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.

由①②得cosC=12，故C=60°，BD=7.

評析此實際上是利用方程組思想解決.先利用余弦定理列兩個方程（含有兩個未知量BD與cosC），然后解方程組.這里利用方程組思想解題，思路清晰，形式優(yōu)美.

例3設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，AF=2FB.（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求橢圓C的方程.

解（Ⅰ）令|F1B|=m，則|AF1|=2m，|AF2|=2a-2m，|BF2|=2a-m，

在△AF1F2中由余弦定理得

（2a-2m）2=（2m）2+（2c）2-2·2m·2c·cosπ3，

所以a2-c2=2am-mc.（1）

在△BF1F2中由余弦定理得

（2a-m）2=m2+（2c）2-2·m·2c·cos2π3，

所以a2-c2=am+12mc.（2）

由（1）、（2）可得2am-mc=am+12mc，

所以a=32c，即e=ca=23.

（Ⅱ）解答略.

評析這里利用方程組思想解題，思路清晰，消元明確，算式簡潔，可迅速解題.

由此可見，利用方程思想來解決數(shù)學(xué)問題，要求靈活地運用、巧妙地結(jié)合，既發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性，又可迅速解題.