例說“1”在解三角函數(shù)問題中的妙用

段會(huì)

“1”在高中數(shù)學(xué)解題中往往扮演很重要的角色，若能適時(shí)巧妙地用上“1”的一些代換，將“1”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不但能讓學(xué)生簡(jiǎn)化解題步驟，得到事半功倍的效果，還能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文就“1” 在解三角函數(shù)問題中的運(yùn)用舉例說明.

妙用一巧妙運(yùn)用邊長(zhǎng)為“1”的直角三角形，幫助記憶特殊角的三角函數(shù)值

特殊角的三角函數(shù)值在解三角函數(shù)問題中應(yīng)用非常廣泛，而學(xué)生們往往容易記錯(cuò)，巧妙地運(yùn)用邊長(zhǎng)為“1”的直角三角形，可以幫助我們記憶特殊角的三角函數(shù)值.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，則BC=1，AB=2，可得45°的各三角函數(shù)值.同理，如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，則∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函數(shù)值.

妙用二巧妙運(yùn)用sin2α+cos2α=1解題

例1（2011年重慶）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），則cos2αsin（α-π4）的值為.

解法1由sin2α+cos2α=1，

sinα=12+cosα， α∈（0，π2），

得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.

所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）

=-74，

sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4

=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-cosα）=24，

所以cos2αsin（α-π4）=-142.

解法2由sinα=12+cosα，得sinα-cosα=12.

兩邊同時(shí)平方，得（sinα-cosα）2=14，

即sin2α-2sinαcosα+cos2α=14，

整理得2sinαcosα=34，

所以（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α

=1+34=74.

又因?yàn)棣痢剩?，π2），所以sinα+cosα=72.

所以cos2αsin（α-π4）=cos2α-sin2α22（sinα-cosα）

=-2（sinα+cosα）=-142.

點(diǎn)評(píng)此類題目通常有多種解法，本文選擇其中的兩種解法.解法1為常規(guī)解法，根據(jù)已知條件，利用方程思想分別求出sinα和cosα的值，然后代入所求的式子求解.解法2是巧妙運(yùn)用sin2α+cos2α=1，將“1”進(jìn)行代換，避免了解二次方程組的復(fù)雜過程.

例2（2012年遼寧）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），則tanα=

A. -1B.-22C.22D. 1

解法1由sinα-cosα=2，

得（sinα-cosα）2=2，

所以2sinαcosα=-1，即sin2α=-1.

由α∈（0，π），得2α∈（0，2π），

所以2α=3π2，即α=3π4，所以tanα=-1.故選A.

解法2由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，

所以2sinαcosα=-1，所以2sinαcosαsin2α+cos2α=-1.

由已知得cosα≠0，分子分母同時(shí)除以cos2α，

得2tanαtan2α+1=-1，解得tanα=-1.故選A.

點(diǎn)評(píng)解法1根據(jù)已知條件，解三角方程求出角α的值，然后代入所求的式子求解，但是此法易漏根或增根.解法2是巧妙運(yùn)用sin2α+cos2α=1，將分母“1”進(jìn)行代換，化弦為切，避免了解三角方程.

妙用三巧妙運(yùn)用tan45°=1解題

例3求1+tan75°1-tan75°的值.

解法1因?yàn)閠an75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°

=2+3，

所以1+tan75°1-tan75°=1+（2+3）1-（2+3）=-3.

解法21+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-3.

點(diǎn)評(píng)解法1利用兩角和與差的正切公式求出tan15°，然后代入所求的式子求解，但是此法運(yùn)算量較大.解法2是巧妙運(yùn)用tan45°=1，將 “1”進(jìn)行代換，逆用公式，快捷方便.