從三個視角解一道高考向量模長題

劉瓊玉

本題源自于2013年重慶高考卷理科數(shù)學第10題，屬中等偏難檔次題，考查了平面向量模長的運算，由于該題技巧性較強，大部分考生很難找到解題的突破口，所以得分率不是很高.為此，筆者從三個視角對此題進行了深入探究，總結出了多種解法.

題目（2013年重慶）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP1|<12，則|OA|的取值范圍是

A.（0，52]B.（52，72]C.（52，2]D.（72，2]

視角1根據(jù)所給條件的垂直關系，不妨建立平面直角坐標系，通過向量的坐標運算解決問題.

解法1（坐標法）

因為AB1⊥AB2，所以可以以A為原點，并分別以AB1，AB2所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

設B1（a，0），B2（0，b），O（x，y），

則AP=AB1+AB2=（a，b），即P（a，b）.

由|OB1|=|OB2|，得（x-a）2+y2=x2+（y-b）2=1，

所以（x-a）2=1-y2≥0，（y-b）2=1-x2≥0.

由|OP|<12，得（x-a）2+（y-b）2<14，

即0≤1-x2+1-y2<14，

所以74

所以|OA|的取值范圍是（72，2]，故選D.

視角2根據(jù)題意，不妨將題目所給條件全部轉化為以O點作為起點的基向量表示，再利用所給關系列出不等式求解.

解法2（基向量法）

因為AB1⊥AB2，所以AB1·AB2 =0，

所以（OB1-OA）·（OB2-OA）=0，

所以OB1·OB2=OA·（OB1+OB2-OA）.

因為AP=AB1+AB2，

所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA，

所以OP=OB1+OB2-OA.

又|OB1|=|OB2|=1，

所以OP2=OB21+OB22+OA2+2OB1·OB2-2（OB1+OB2）·OA=12+12+OA2+2OA·（OB1+OB2-OA）-2（OB1+OB2）·OA=2-OA2.

又因為|OP|<12，所以0≤2-OA2<14，

所以74

故選D.

視角3根據(jù)題中所給的條件，挖掘向量問題的幾何背景，將數(shù)量關系轉化為幾何關系，不妨嘗試構造幾何模型來解決向量問題.

解法3（構造圓）

由題意得點B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心半徑為12的圓內(nèi)，又AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P點與O點重合時，|OA|最大，最大值為2，當P點在半徑為12的圓周上時，|OA|最小，最小值為72，故選D.

解法4（構造矩形）

由AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，

可知四邊形AB1PB2為矩形，如圖1所示.

由|OB1|=|OB2|知點O在線段B1B2的垂直平分線上.在矩形AB1PB2中，易證|OA|2+|OP|2=|OB1|2+|OB2|2，從而0≤|OP|2=2-|OA|2<14，

所以72<|OA|≤2，故選D.