二維周期性結(jié)構(gòu)的聲波帶隙研究

1 引 言

近年來(lái)，具有一定周期結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的能帶特性的研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注，這是由于這種復(fù)合材料對(duì)經(jīng)典波(光波、電磁波、超聲波和聲波等)具有良好的帶通和帶阻特性，在聲學(xué)領(lǐng)域，能帶之間出現(xiàn)的帶隙稱為聲子帶隙(phononic band gap)，相應(yīng)的這種復(fù)合材料稱為聲子晶體( phononic crystal)。最近10年，通過(guò)對(duì)大量復(fù)合材料的理論和實(shí)驗(yàn)研究，聲子晶體已經(jīng)取得很大的發(fā)展，根據(jù)聲子晶體的帶隙特性，可以看出該材料在工程中有著很好的應(yīng)用前景。聲子晶體的聲子禁帶，即處于聲波帶隙頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)或聲波被禁止在聲子晶體中傳播。晶體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是影響聲子禁帶的產(chǎn)生和大小的因素之一[1-5]。

2 二維二元無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙

假設(shè)二維二元無(wú)限周期結(jié)構(gòu)是由圓柱體A以正方點(diǎn)陣形式排列于基體B中組成的二維雙組分復(fù)合材料體系，如圖1所示。圖中圓形黑點(diǎn)是圓柱體A，其原子質(zhì)量為M,其它部分是基體材料B，其原子質(zhì)量為m。周期長(zhǎng)度矢的方向?yàn)閄軸和Y軸方向。a為相鄰A原子間距離；b為相鄰B原子與A原子間的距離；c為相鄰B原子間的距離。

圖1 二維二元無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的排列圖

由于該結(jié)構(gòu)原子的振動(dòng)是極其復(fù)雜的，當(dāng)波同時(shí)沿X任一方向傳播時(shí)，相鄰X軸和Y軸方向的原子的振動(dòng)會(huì)受到干涉，也即X軸方向的原子偏離平衡位移時(shí)會(huì)受到Y(jié)軸方向相鄰原子的作用，同時(shí)Y軸方向的原子偏離平衡位移時(shí)也會(huì)受到X軸方向相鄰原子的作用。在X軸方向上同種M原子的力常數(shù)為β1，同種m間的力常數(shù)為β2，而相鄰的M和m間的力常數(shù)為β3；在Y軸方向上同種M原子的力常數(shù)為k1，同種m間的力常數(shù)為k2，而相鄰的M和m間的力常數(shù)為k3。為了便于建立二維二元無(wú)限周期結(jié)構(gòu)模型的振動(dòng)方程，可以把圖1簡(jiǎn)化,二維二元無(wú)限周期質(zhì)點(diǎn)加彈簧的結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖中棱形黑點(diǎn)為基體材料B的原子，圓形黑點(diǎn)為材料A的原子。

圖2 二維二元無(wú)限周期質(zhì)點(diǎn)加彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖

由于該結(jié)構(gòu)是周期性的結(jié)構(gòu)，所以在X軸方向可以理解成圖3(a)所示結(jié)構(gòu)。我們來(lái)分析質(zhì)量為M的第n0號(hào)和第n0+1號(hào)及質(zhì)量為m的第1號(hào)原子和第n1號(hào)原子的振動(dòng)模型。由圖3(a)我們不難得出周期性結(jié)構(gòu)在X軸方向的任意原子的運(yùn)動(dòng)圖，見(jiàn)圖3(b)。

圖3(a) X軸方向結(jié)構(gòu)示意

圖3(b) 任意原子的運(yùn)動(dòng)

所以，可以得出第n0個(gè)材料A原子運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

(2)

同理，可得出X軸方向其它原子運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

(4)

(5)

上述式中，vj表示X軸方向序號(hào)為j的基質(zhì)材料B原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移；ui表示X軸方向序號(hào)為i的材料A原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移。

同理，在Y軸方向我們可以理解成圖4(a)所示結(jié)構(gòu)，主要分析為M的第n0號(hào)和第ny0+1號(hào)及質(zhì)量為m的第1號(hào)原子和第n1號(hào)原子的振動(dòng)模型。由圖4(a)我們不難得出周期性結(jié)構(gòu)在Y軸方向任意填充原子的運(yùn)動(dòng)圖，見(jiàn)圖4(b)。

圖4(a) Y軸方向結(jié)構(gòu)示意

圖4(b) 任意填充B原子的運(yùn)動(dòng)

所以，我們?nèi)菀椎贸龅趎y0個(gè)填充B原子的運(yùn)動(dòng)方程：

(6)

(7)

同理，可以得出Y軸方向其它原子的運(yùn)動(dòng)方程為：

(8)

(9)

(10)

上述式中，vyj表示Y軸方向序號(hào)為j的基質(zhì)材料B原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移；uyi為表示Y軸方向序號(hào)為i的材料A原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移。

根據(jù)一維無(wú)限周期性結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶隙不難得出，在二維結(jié)構(gòu)的兩個(gè)周期矢方向上的彈性波帶隙為：

ωx1max≤ωXD≤ωx4min

ωy1max≤ωYD≤ωy4min

式中

3 二維二元有限周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性

3.1 理論方法

根據(jù)無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，不妨假設(shè)有限周期二元二維結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)加彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖為圖5。由無(wú)限周期二維二元結(jié)構(gòu)的分析可知：在微幅振動(dòng)的前提下，二維周期結(jié)構(gòu)可以近似看成獨(dú)立的兩條一維鏈結(jié)構(gòu)，所以，也把有限周期結(jié)構(gòu)看成X軸方向和Y軸方向上的兩條獨(dú)立的一維有限鏈結(jié)構(gòu)。設(shè)X軸方向上的周期數(shù)為2N1，Y軸方向上的周期數(shù)為2N2。每個(gè)周期內(nèi)有n1個(gè)材料A原子和n2個(gè)材料B原子。圖6是第j周期的原子結(jié)構(gòu)圖。

圖5 有限周期二元二維結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)加彈簧結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 第j周期的原子結(jié)構(gòu)

X軸方向第j周期時(shí)域離散的差分方程為：

(11)

(12)

式中，i=2,3,…,(n1-1)

(13)

(14)

(15)

式中，i=2,3,…,(n2-1)

(16)

同理，Y軸方向的差分方程可以寫(xiě)成：

(17)

(18)

式中，i=2，3，…，(n1-1)

(19)

(20)

(21)

式中i=2,3,…,(n2-1)

(22)

利用上述的式(11)～式(22)遞推差分方程，當(dāng)在已知u1(ux,uy)信號(hào)的激勵(lì)下，可以求出任意時(shí)刻的輸出信號(hào)v(v2N1n2,v2N2n2) 。把u1(ux,uy)和v(v2N1n2,v2N2n2)進(jìn)行Fourier變化，兩者頻域的比即為頻響曲線。

3.2 實(shí)例計(jì)算

下面以彈簧加非常薄質(zhì)量塊組成的二維二元結(jié)構(gòu)為例。設(shè)X軸方向上的周期數(shù)為2，Y軸方向上的周期數(shù)為4。每個(gè)周期內(nèi)有1個(gè)材料薄質(zhì)量塊A和1個(gè)材料薄質(zhì)量塊B，如圖7所示的結(jié)構(gòu)圖。

圖7 非常薄質(zhì)量塊組成的二維二元結(jié)構(gòu)示意圖

圖中方塊為材料薄質(zhì)量塊A，其質(zhì)量為M=2 kg；圖中圓黑點(diǎn)為材料薄質(zhì)量塊B，其質(zhì)量為m=1 kg；假設(shè)X軸方向的彈簧彈性系數(shù)為β=2 000 N/m，而Y軸方向的彈簧彈性系數(shù)為k=3 000 N/m；利用上述有限周期的二元二維周期結(jié)構(gòu)的差分方程，我們可以得出圖7結(jié)構(gòu)的頻響曲線為圖8。

圖8 X、Y軸方向的頻響曲線

無(wú)限周期的二維二元周期結(jié)構(gòu)的理論帶隙X軸方向?yàn)?.1～10.1 Hz；Y軸方向的帶隙為8.7～12.3 Hz；而對(duì)于圖7的有限周期結(jié)構(gòu)，其傳輸特性曲線由圖8知，在X軸方向?yàn)?.9～10.2 Hz；而Y軸方向?yàn)?.5～12.1 Hz上有較大的衰減。所以不難得出：有限周期結(jié)構(gòu)有較大衰減的頻率范圍與無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙相一致，也就是說(shuō)有限周期結(jié)構(gòu)在彈性波帶隙上，彈性波受到了明顯衰減作用。

4 小 結(jié)

本文在一維聲子晶體的基礎(chǔ)上，著重研究了無(wú)限周期二維二元結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙計(jì)算，并從實(shí)際需要出發(fā)，利用時(shí)域差分法計(jì)算了有限周期二維二元周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性曲線即頻響曲線。通過(guò)實(shí)例計(jì)算本文得出如下成果：

1) 在滿足微幅振動(dòng)的條件下，無(wú)限周期二維二元周期結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化成獨(dú)立的兩條無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的一維鏈來(lái)計(jì)算；

2) 時(shí)域差分法能夠很好解決有限周期二維二元周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻響曲線的計(jì)算；

3) 有限周期結(jié)構(gòu)有較大衰減的頻率范圍與無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙相一致;

4) 周期數(shù)越多在無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙頻率內(nèi)，彈性波的衰減越明顯。

[1] 王矜奉. 固體物理教程[M].濟(jì)南:山東大學(xué)出版社，2004.

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