流體中彈性板聲輻射阻尼研究

1 引 言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射是航空航天、艦船等國(guó)防領(lǐng)域的重要研究課題[1]。現(xiàn)代艦船多是由鋼質(zhì)加筋結(jié)構(gòu)組合成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[2],船上各種動(dòng)力設(shè)備在艦船航行時(shí),不可避免地發(fā)生振動(dòng)和噪聲。噪聲通過(guò)艦船結(jié)構(gòu)傳遞的現(xiàn)象常稱(chēng)作“結(jié)構(gòu)噪聲”。結(jié)構(gòu)噪聲輻射到空氣中轉(zhuǎn)化為空氣噪聲；輻射到水中就形成水下噪聲[3]。這些噪聲不僅使艦船適居性變壞，而且還影響艦船的隱蔽性。

阻尼是振動(dòng)系統(tǒng)主要特征，對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射有重要的影響。很多學(xué)者試圖通過(guò)對(duì)阻尼的研究與探索來(lái)改良工程中的振動(dòng)與噪聲問(wèn)題。徐雪英[4]介紹了振動(dòng)阻尼機(jī)理、阻尼結(jié)構(gòu)以及阻尼應(yīng)用設(shè)計(jì)，對(duì)振動(dòng)阻尼技術(shù)及其應(yīng)用作了較為詳細(xì)的論述。許士桐研究了艦船阻尼措施以及結(jié)構(gòu)中阻尼處理的特點(diǎn)，概述阻尼技術(shù)在國(guó)內(nèi)外艦船上的應(yīng)用。伏同先探討了阻尼技術(shù)以及在艦船減振降噪中的應(yīng)用。

早期的聲輻射主要是從板架結(jié)構(gòu)在超音速與亞音速流動(dòng)環(huán)境中發(fā)展起來(lái)的。Muhlstein[5]對(duì)超音速流動(dòng)中面板聲輻射阻尼提出了實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。Lyle和Dowell[6-7]對(duì)亞音速流動(dòng)中矩形板的聲輻射阻尼與結(jié)構(gòu)阻尼進(jìn)行了比較研究。隨后聲輻射阻尼研究擴(kuò)展到無(wú)流動(dòng)狀態(tài)下，Wallace[8]給出了有限形狀矩形板模型的聲輻射阻尼，并研究了激勵(lì)頻率在低于、高于和等于板的臨界頻率等不同條件下的聲輻射阻尼情況。Kriegsmann和Scandrett[9]從結(jié)構(gòu)與聲耦合的角度對(duì)聲輻射阻尼進(jìn)行了估算。板式結(jié)構(gòu)聲輻射阻尼在國(guó)內(nèi)的研究還比較少，郭新毅[10,11]對(duì)含損傷結(jié)構(gòu)振動(dòng)的聲輻射阻尼問(wèn)題進(jìn)行了探討。

針對(duì)無(wú)限障板中彈性板，本文從能量角度，定義聲輻射阻尼為振動(dòng)一周內(nèi)系統(tǒng)以聲波輻射的形式,耗散能量與系統(tǒng)總能量之比值，并推導(dǎo)出聲輻射阻尼的計(jì)算表達(dá)式。首先，計(jì)算在流體中彈性板流固耦合面上的法向振動(dòng)響應(yīng)，基于Reyleigh積分關(guān)系得到相應(yīng)的輻射面的聲壓，繼而依據(jù)本文提出的方法對(duì)聲輻射阻尼進(jìn)行了數(shù)值模擬，比較了空氣中與水中彈性板的聲輻射阻尼、不同板厚以及不同板邊長(zhǎng)尺寸下，彈性板聲輻射阻尼隨頻率變化情況。

2 結(jié)構(gòu)聲系統(tǒng)的有限元/邊界元分析

2.1 聲振耦合的FEM/BEM方法

彈性結(jié)構(gòu)在流體介質(zhì)中受激振力作用引起的聲輻射，為彈性體與流體耦合的問(wèn)題。在結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程中，除了結(jié)構(gòu)所受的已知載荷外，還需要考慮聲場(chǎng)對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力，從而形成一個(gè)耦合方程[12]。對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲場(chǎng)耦合的數(shù)值求解方法，存在有限元法(FEM)[13]、邊界元法(BEM)以及有限元與邊界元結(jié)合的方法(FEM/BEM)[14，15]。本文結(jié)構(gòu)采用有限元法近似，聲場(chǎng)采用邊界元法近似。

首先，利用有限元法建立結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程，同時(shí)利用邊界元法得到流體對(duì)結(jié)構(gòu)表面的作用力，將兩者組合即建立了結(jié)構(gòu)流體耦合方程。通過(guò)對(duì)耦合方程的求解，即可得到結(jié)構(gòu)表面振速，進(jìn)而根據(jù)Reyleigh積分關(guān)系利用邊界元法得到聲壓以及其它聲輻射特性。

考慮小振幅聲波，進(jìn)行線(xiàn)性化處理后，根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和物態(tài)方程，三維聲場(chǎng)波動(dòng)Helmholtz方程為：

2P+k2P=0

(1)

式中，P為介質(zhì)中聲壓力；k為波數(shù)，k=ω/c；ω為聲波頻率；c為介質(zhì)中聲速。

流固交界面上邊界條件滿(mǎn)足：

(2)

考慮理想流體介質(zhì)，其Helmholtz波動(dòng)方程可以轉(zhuǎn)化為Rayleigh積分形式：

(3)

由式(3)可得流體動(dòng)壓力為：

(4)

對(duì)流固耦合交界面進(jìn)行離散，將流體面力轉(zhuǎn)換到節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力，有：

(5)

再將式(5)代入結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程：

(6)

可以得到流體固體耦合運(yùn)動(dòng)方程[16]：

(7)

式中，[MA(ω)]為流體附加質(zhì)量矩陣：

式中，[A]為流固交界面面積對(duì)角矩陣。

對(duì)耦合方程式(7)進(jìn)行求解，得到結(jié)構(gòu)表面振速，利用邊界數(shù)值積分得到聲壓以及其他聲輻射特性。

2.2 結(jié)構(gòu)與流體數(shù)值模擬單元

在耦合系統(tǒng)數(shù)值模擬中，本文結(jié)構(gòu)采用4節(jié)點(diǎn)四邊形板殼單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮5個(gè)自由度(u,v,w,θx,θy)，單元坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖1所示。

圖1 單元坐標(biāo)及節(jié)點(diǎn)編號(hào)圖

根據(jù)Mindlin假設(shè)的板一階剪切理論，采用雙線(xiàn)性L(fǎng)agrange插值。板內(nèi)任意點(diǎn)的位移場(chǎng)和等參單元插值函數(shù)可分別表示為：

(8)

(9)

式中，u0、v0和w0分別表示所在板中面X、Y和Z軸方向位移；θx和θy分別表示所在板中面繞X和Y軸方向轉(zhuǎn)角。

在利用式(3)計(jì)算流固耦合邊界流體動(dòng)壓力時(shí)，需要對(duì)整個(gè)流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，經(jīng)過(guò)變換處理，使用邊界元法可以使積分空間降低一維，由三維轉(zhuǎn)換為二維。在進(jìn)行流固耦合邊界劃分時(shí)，也采用4節(jié)點(diǎn)四邊形單元。利用式(4)可以進(jìn)行流固耦合交界面的數(shù)值模擬。

采用邊界元方法,在利用式(4)計(jì)算結(jié)構(gòu)表面聲壓時(shí)，式(4)中含有格林函數(shù)：

(10)

式中，r為場(chǎng)點(diǎn)S與源點(diǎn)Q之間的距離。

進(jìn)行流體數(shù)值模擬時(shí)，為了和交界面上結(jié)構(gòu)離散相一致，流體單元也是采用4節(jié)點(diǎn)二維線(xiàn)性單元。在單元循環(huán)計(jì)算的過(guò)程中，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)S與源點(diǎn)Q重合時(shí)，即r=0處，積分存在奇異性，本文所采用的是蛻化單元法處理的奇異單元。近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)采用不同的積分階數(shù)，保證計(jì)算精度的同時(shí)減少計(jì)算量。

3 聲輻射阻尼

3.1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)阻尼

結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性受影響于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度及阻尼。系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程就是顯現(xiàn)為系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能的連續(xù)不斷轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，部分能量以熱能或其他形式耗散掉。動(dòng)能含量與慣性有關(guān)，勢(shì)能含量與剛度有關(guān)，而耗散能的大小取決于阻尼。所謂結(jié)構(gòu)阻尼就是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，以熱能方式耗散機(jī)械能的屬性。阻尼描述方法常見(jiàn)的包括：

1) 阻尼的對(duì)數(shù)衰減率法，即自由振動(dòng)系統(tǒng)中，采用對(duì)數(shù)衰減率，第n次波振幅Xn對(duì)第n+1次波振幅Xn+1比值的對(duì)數(shù)，作為結(jié)構(gòu)阻尼值的一種度量；

2) 頻響函數(shù)中阻尼描述方法也叫半功率法，適于描述受迫粘性阻尼系統(tǒng)或滯遲阻尼系統(tǒng)的阻尼；

3) 振動(dòng)系統(tǒng)能量與耗散能量的阻尼表示方法，采用阻尼因子，即結(jié)構(gòu)在振動(dòng)一個(gè)周期中，能量的損耗與系統(tǒng)總能量之比，來(lái)衡量阻尼的大小與振動(dòng)能損耗的多少[17]。

3.2 聲輻射阻尼

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)周?chē)牧黧w介質(zhì)進(jìn)行壓縮產(chǎn)生聲波，聲波通過(guò)流體介質(zhì)向遠(yuǎn)場(chǎng)輻射，即形成了聲輻射。與此同時(shí)，結(jié)構(gòu)的一部分能量可以聲能的形式傳遞到遠(yuǎn)場(chǎng)，這樣結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量就發(fā)生了耗散現(xiàn)象，聲輻射阻尼就產(chǎn)生了。聲輻射阻尼往往大于結(jié)構(gòu)振動(dòng)阻尼。

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)總是與它周?chē)牧鲃?dòng)介質(zhì)有關(guān)。這些介質(zhì)會(huì)改變結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性，在一定情況下，這個(gè)改變是值得考慮的，它能導(dǎo)致噪聲向流體介質(zhì)輻射，有時(shí)也會(huì)使結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型產(chǎn)生明顯的變化。

本文采用能量法，將聲輻射阻尼定義為振動(dòng)一周內(nèi)系統(tǒng)以聲波輻射的形式耗散的能量與結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的比值。

3.3 聲輻射阻尼的數(shù)學(xué)描述

按照本文上節(jié)對(duì)聲輻射阻尼的定義，聲輻射阻尼可以寫(xiě)為：

(11)

式中，ER為周期內(nèi)輻射能量；ES為周期內(nèi)結(jié)構(gòu)最大動(dòng)能；W為輻射聲功率；T為結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期；ω為結(jié)構(gòu)振動(dòng)源頻率。

將振動(dòng)的彈性板表面分割成有限個(gè)振動(dòng)面元，面元的最大幾何尺寸應(yīng)遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，若每個(gè)振動(dòng)面元可以看成獨(dú)立聲源的假設(shè)成立，根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，設(shè)第i個(gè)面元上的復(fù)聲壓和復(fù)振速分別為pi和vi，則第i個(gè)面元的凈輻射聲功率為：

(12)

式中，ΔSi為第i個(gè)面元的面積。

將彈性板剖分成N個(gè)面元，如果每個(gè)面元是均勻的，且聲壓和法向振速組成的N階列矢量分別為P和V，則板總的聲功率為：

W=(ΔS/2)Re(VHP)

(13)

式(13)中上角標(biāo)H表示對(duì)矢量實(shí)行共軛轉(zhuǎn)置。聲壓和結(jié)構(gòu)表面振速存在如下關(guān)系：

P=ZV

(14)

式中，Z為N×N階傳輸阻抗矩陣。

對(duì)于無(wú)限大障板上的矩形平板，傳輸阻抗矩陣的第(i,j)元素為第j個(gè)面元上的聲壓比上第i個(gè)面元上的法向振速為：

zij=(jωρ0ΔS/2πrij)e-jkrij

(15)

整理之后有：

W=(ΔS/2)Re(VHZV)=VHRV

(16)

式中，R=(ΔS/2)Re(Z)。

這種計(jì)算聲功率的方法表達(dá)式簡(jiǎn)潔，適合用于數(shù)值計(jì)算，而且便于求解不規(guī)則結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射功率。本文的算例就是依據(jù)這種方法來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)的輻射聲功率，結(jié)構(gòu)振動(dòng)最大動(dòng)能可由下式計(jì)算得到：

(17)

式中，ρS為板結(jié)構(gòu)密度；h為板厚；ui為i單元形心處振動(dòng)速度。

將式(16)與式(17)代入式(11)，即可得到聲輻射阻尼的計(jì)算表達(dá)式：

(18)

4 聲輻射阻尼數(shù)值算例

根據(jù)上述結(jié)構(gòu)和流體的物理模型，編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，并且對(duì)典型算例進(jìn)行了聲輻射阻尼數(shù)值分析。

取一嵌于無(wú)限障板中的四邊簡(jiǎn)支彈性板，分別考慮空氣和水介質(zhì)的影響。彈性板長(zhǎng)度為0.8 m，板寬度為0.6 m，板厚度為4 mm，結(jié)構(gòu)的材料密度為7 850 kg/m3，結(jié)構(gòu)材料的彈性模量為210 GPa，泊松比0.3；水密度取1 000 kg/m3，水中聲速為1 500 m/s；空氣密度取1.29 kg/m3，空氣中聲速340 m/s。結(jié)構(gòu)有限元單元和流體邊界單元取同樣的網(wǎng)格，如圖2所示，分別對(duì)板處在半無(wú)限輕流體與重流體環(huán)境中的聲輻射阻尼進(jìn)行計(jì)算。

圖2 彈性板有限元?jiǎng)澐志W(wǎng)格圖

4.1 輕流體/重流體中板聲輻射阻尼比較

彈性板分別處于輕流體與重流體中，選取激勵(lì)大小為1 N，方向?yàn)榇怪卑迕娣较颍饔梦恢脼榘宓男涡?0.4,0.3)處。通過(guò)對(duì)例板進(jìn)行聲輻射阻尼計(jì)算，得出重流體與輕流體中彈性板聲輻射阻尼隨頻率變化,如圖3所示。

圖3 水中與空氣中彈性板聲輻射阻尼曲線(xiàn)

通過(guò)上圖可以看出，隨著激勵(lì)頻率的逐漸增大，板在水中與空氣中振動(dòng)的聲輻射阻尼均為先增大然后趨于平穩(wěn)。在外界激勵(lì)相同的情況下，板在水中振動(dòng)的聲輻射阻尼遠(yuǎn)大于板在空氣中振動(dòng)的聲輻射阻尼大小，這說(shuō)明在相同激勵(lì)作用下，彈性板在水中振動(dòng)時(shí)的能量耗散能力遠(yuǎn)強(qiáng)于板在空氣中時(shí)的能量耗散能力。

4.2 板厚對(duì)聲輻射阻尼的影響

為了探討彈性板板厚對(duì)聲輻射阻尼的影響，本文選取與上節(jié)相同的激勵(lì)，在板的其他參數(shù)不變的前提下，取板厚為3 mm、4 mm與5 mm，分別計(jì)算得出水中與空氣中不同板厚下板的聲輻射阻尼結(jié)果如圖4與圖5所示。

圖4 空氣中不同板厚下板的聲輻射阻尼曲線(xiàn)

圖5 水中不同板厚下板的聲輻射阻尼曲線(xiàn)

通過(guò)圖4與圖5對(duì)空氣中與水中彈性薄板在取不同厚度時(shí)的聲輻射阻尼曲線(xiàn)的比較看出，在激勵(lì)頻率較小時(shí)，板厚對(duì)聲輻射阻尼幾乎沒(méi)有影響；當(dāng)激勵(lì)頻率較大時(shí)，板的聲輻射阻尼隨板厚的不同而稍有差異?？偟膩?lái)說(shuō)，相同尺寸的彈性薄板的板厚對(duì)相應(yīng)聲輻射阻尼幾乎沒(méi)有影響。

4.3 板的尺寸對(duì)聲輻射阻尼的影響

接下來(lái)探討彈性板的尺寸對(duì)聲輻射阻尼的影響，并選取與上節(jié)大小與方向相同的激勵(lì)。在取板厚為4 mm，板的其他參數(shù)不變的前提下，取相同長(zhǎng)寬比的3塊彈性板，1號(hào)板長(zhǎng)為0.8 m，寬為0.6 m；2號(hào)板長(zhǎng)為1.2 m，寬為0.9 m；3號(hào)板長(zhǎng)為1.6 m，寬為1.2 m。激勵(lì)位置均為板的形心處，分別計(jì)算3塊板在水中和空氣中振動(dòng)的聲輻射阻尼，得出水中與空氣中不同尺寸板的聲輻射阻尼結(jié)果如圖6與圖7所示。

圖7 水中不同尺寸板的聲輻射阻尼曲線(xiàn)

通過(guò)圖6與圖7對(duì)空氣中與水中彈性板在取不同尺寸時(shí)的聲輻射阻尼曲線(xiàn)的比較看出，其他參數(shù)相同的彈性板取不同尺寸時(shí)，對(duì)相應(yīng)聲輻射阻尼是不同的。在相同激勵(lì)頻率下，彈性板的聲輻射阻尼具有隨板尺寸的增大而增大的變化趨勢(shì)。

4.4 激勵(lì)位置對(duì)聲輻射阻尼的影響

上文討論的均為激勵(lì)位置一定時(shí)，彈性板不同厚度與不同尺寸時(shí)，聲輻射阻尼隨頻率變化的情況。本節(jié)探討聲輻射阻尼因激勵(lì)位置的變化而改變的規(guī)律。選取如圖1所示的彈性板，激勵(lì)大小為1 N，方向?yàn)榇怪卑迕娣较颍恢梅謩e選為點(diǎn)(0.1,0.1)、點(diǎn)(0.2,0.2)、點(diǎn)(0.3,0.2)與板的形心(0.4,0.3)處，對(duì)相應(yīng)激勵(lì)點(diǎn)下空氣中與水中彈性板的聲輻射阻尼進(jìn)行計(jì)算，得出不同激勵(lì)位置情況彈性板聲輻射阻尼比較圖，如圖8與圖9所示。

圖9 水中不同激勵(lì)位置時(shí)板聲輻射阻尼比較圖

相同的彈性板在激勵(lì)位置不同時(shí)，其輻射能量不同，同時(shí)板結(jié)構(gòu)所具有的最大動(dòng)能也不同，然而，其兩者相比得到的聲輻射阻尼大小基本相同。通過(guò)圖8與圖9對(duì)空氣中與水中彈性板在取不同激勵(lì)位置時(shí)的聲輻射阻尼曲線(xiàn)的比較看出，在激勵(lì)頻率較小時(shí)，激勵(lì)的位置對(duì)彈性板的聲輻射阻尼影響甚微；當(dāng)激勵(lì)頻率較大時(shí)，不同激勵(lì)位置彈性板相應(yīng)的聲輻射阻尼差異也是很小的。通過(guò)上述實(shí)踐，說(shuō)明激勵(lì)的位置對(duì)彈性板聲輻射阻尼幾乎沒(méi)有影響。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)相應(yīng)算例的計(jì)算分析，得出了彈性板聲輻射阻尼隨板的不同厚度、板的不同尺寸以及不同激勵(lì)位置的變化規(guī)律：

1) 彈性板在水中的聲輻射阻尼遠(yuǎn)大于在空氣中的聲輻射阻尼；

2) 相同尺寸的彈性薄板的板厚對(duì)相應(yīng)聲輻射阻尼幾乎沒(méi)有影響；

3) 在相同激勵(lì)頻率下，彈性板的聲輻射阻尼具有隨板尺寸的增大而增大的變化趨勢(shì)；

4) 彈性板的聲輻射阻尼不隨激勵(lì)的位置變化而變化。

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