提煉數(shù)學(xué)“核心問(wèn)題”的四個(gè)步驟

張衛(wèi)星

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。”問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是一種任務(wù)，它可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)去學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“核心問(wèn)題”是直指數(shù)學(xué)本質(zhì)，涵蓋教學(xué)重點(diǎn)，需要學(xué)生深入思考，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的一個(gè)或兩個(gè)問(wèn)題?！爸敝笖?shù)學(xué)本質(zhì)”表明它具有濃郁的數(shù)學(xué)味，“需要學(xué)生深入思考”表明它具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，“便于學(xué)生探究學(xué)習(xí)”表明它具有恰當(dāng)?shù)拈_放度。數(shù)學(xué)“核心問(wèn)題”還是一節(jié)課的“課眼”、一節(jié)課的“主線”、教材的重難點(diǎn)、學(xué)習(xí)的困惑點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法的聚焦點(diǎn)、教師鉆研教材的著力點(diǎn)，對(duì)課堂教學(xué)起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用。因此，提煉每節(jié)數(shù)學(xué)課的“核心問(wèn)題”，并圍繞“核心問(wèn)題”的解決展開教學(xué)，在當(dāng)下顯得尤為重要。那么，如何提煉數(shù)學(xué)教學(xué)中的“核心問(wèn)題”呢？筆者認(rèn)為，一般可以按以下四個(gè)步驟去提煉。下面，筆者以“平行與垂直”一課為例，談?wù)剶?shù)學(xué)“核心問(wèn)題”的提煉過(guò)程。

一、 研讀教材，羅列問(wèn)題

問(wèn)題是為教學(xué)服務(wù)的，要想提煉“核心問(wèn)題”，必須要深入研讀教材。只有把教材的縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系、公開信息和背后秘密都研讀透了，才有可能設(shè)計(jì)并提煉出有價(jià)值的“核心問(wèn)題”。因此，筆者認(rèn)為提煉“核心問(wèn)題”的第一步就是研讀教材，在研讀的基礎(chǔ)上從教材導(dǎo)語(yǔ)和教材知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)層面羅列或設(shè)計(jì)出課堂教學(xué)需要解決的一系列問(wèn)題。

例如，“平行與垂直”是人教版四年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第五單元第一課時(shí)的內(nèi)容，是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了直線、線段、射線的性質(zhì)，以及學(xué)習(xí)了角及角的度量等知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的?！捌叫信c垂直”在生活中有著很大的應(yīng)用。在“空間與圖形”的領(lǐng)域中，“平行與垂直”是學(xué)生以后認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形及長(zhǎng)方體、正方體等幾何形體的基礎(chǔ)，同時(shí)也為培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念提供了一個(gè)很好的載體。教材編排如圖1。

教材編寫者用較為豐富的版面展示了學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，其中的學(xué)習(xí)導(dǎo)語(yǔ)主要由以下5個(gè)問(wèn)題組成：

1.在紙上任意畫兩條直線，會(huì)有哪幾種情況？

2.把沒有相交的兩條直線再畫長(zhǎng)一些會(huì)怎樣？

3.你能舉出生活中一些有關(guān)平行的例子嗎？

4.量一量，所畫的兩條相交直線組成的角分別是多少度？

5.你能舉出一些有關(guān)垂直的例子嗎？

同時(shí)，“平行與垂直”的概念非常重要，能否掌握直接影響到后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。為此，筆者設(shè)計(jì)出如下13個(gè)有助于學(xué)生掌握概念的有效問(wèn)題：

1.兩條怎樣的直線互相平行？

2.什么是平行線？

3.互相平行用什么符號(hào)表示？

4.什么是“同一平面”？

5.什么是“不相交”？

6.什么是“互相”？

7.互相平行有幾種情況？

8.兩條怎樣的直線互相垂直？

9.什么是垂線？

10.什么是垂足？

11.互相垂直用什么符號(hào)表示？

12.互相垂直有幾種情況？

13.互相垂直和相交有什么區(qū)別？

可見，當(dāng)教師把教材研讀透了，數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)與羅列就會(huì)水到渠成。

二、 分析問(wèn)題，明晰教法

問(wèn)題羅列好了，教師就必須分析這些問(wèn)題，通過(guò)分析就能明白教材的編排意圖及概念的內(nèi)涵及外延。當(dāng)我們把問(wèn)題分析透了，教學(xué)思路也就會(huì)自然而然地清晰起來(lái)。當(dāng)然，分析問(wèn)題需要教育智慧的投入，沒有智慧的投入，問(wèn)題分析就會(huì)淺嘗輒止。因此，教師在分析問(wèn)題時(shí)要靜下心來(lái)，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈。

例如，教材提供的第1個(gè)問(wèn)題：“在紙上任意畫兩條直線，會(huì)有哪幾種情況？”既是讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又是讓學(xué)生體驗(yàn)分類思想；第2個(gè)問(wèn)題：“把沒有相交的兩條直線再畫長(zhǎng)一些會(huì)怎樣？”其目的就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)驗(yàn)證；第3個(gè)問(wèn)題：“你能舉出生活中一些有關(guān)平行的例子嗎？”其目的是拓展“平行”這一概念的外延；第4個(gè)問(wèn)題：“量一量，所畫的兩條相交直線組成的角分別是多少度？”其目的也是讓學(xué)生學(xué)會(huì)驗(yàn)證；第5個(gè)問(wèn)題：“你能舉出一些有關(guān)垂直的例子嗎？”其目的也是讓學(xué)生拓展“垂直”這一概念的外延。教材提供的這5個(gè)問(wèn)題不僅有序——按知識(shí)發(fā)生的過(guò)程設(shè)計(jì)，而且有關(guān)聯(lián)——前一個(gè)問(wèn)題是后一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)。同時(shí)，這5個(gè)問(wèn)題還給我們提供了一種教學(xué)思路，即“平行與垂直”的教學(xué)要分兩個(gè)階段進(jìn)行。第一階段，先讓學(xué)生在一張紙上隨意畫兩條直線，然后對(duì)部分學(xué)生作品進(jìn)行展示和分類，接著對(duì)不相交的幾種情況進(jìn)行延長(zhǎng)式驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上得出互相平行的相關(guān)概念及表示方法，最后讓學(xué)生舉出生活中一些平行的例子，以舉例來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念外延的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平行的情況有很多種。第二階段，先定位于相交成直角的兩條直線，然后用量角器或三角尺進(jìn)行驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上得出互相垂直的相關(guān)概念及表示方法，最后讓學(xué)生舉出生活中有關(guān)垂直的例子，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的消化，同時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到垂直的情況多種多樣。由此可見，教材中展示的5個(gè)問(wèn)題，內(nèi)涵真的很豐富。

而筆者根據(jù)教材知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的13個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，比較全面、專業(yè)，可以讓學(xué)生對(duì)“平行與垂直”這兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)更規(guī)范、更準(zhǔn)確。但這13個(gè)問(wèn)題比較瑣碎，需要教師智慧地整合。事實(shí)上，只有解決了這13個(gè)問(wèn)題，才能讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)“平行與垂直”的內(nèi)涵和外延，從而讓后續(xù)的練習(xí)與教學(xué)更為有效。因此，這13個(gè)問(wèn)題必須逐一落實(shí)，不能打折扣。

綜上所述，當(dāng)我們把羅列的問(wèn)題分析清了，教路和學(xué)路就會(huì)清晰地展示在我們眼前。

三、 梳理問(wèn)題，確定權(quán)重

梳理問(wèn)題，即對(duì)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行溝通，理清它們的前后聯(lián)系、價(jià)值大小等。一般來(lái)說(shuō)，決定核心知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程的問(wèn)題往往權(quán)重最大。因此，教師要關(guān)注每個(gè)問(wèn)題是否都具有這個(gè)特性。當(dāng)然，在梳理時(shí)要融入自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，只有經(jīng)驗(yàn)的參與，問(wèn)題梳理才更有成效。

例如，教材直觀展示的5個(gè)問(wèn)題中，筆者認(rèn)為第一個(gè)問(wèn)題最重要。因?yàn)閷W(xué)生畫的兩條直線會(huì)有各種情況，“會(huì)有哪幾種情況？”——意思是讓學(xué)生將兩條直線的位置情況分類。如果學(xué)生能將兩條直線的位置情況準(zhǔn)確分類，那就表明學(xué)生對(duì)兩條直線的位置特征有了比較清楚的認(rèn)識(shí)，那么后續(xù)的概念教學(xué)就變得比較順利?？梢?，第一個(gè)問(wèn)題“會(huì)有哪幾種情況？”決定“平行與垂直”這兩個(gè)核心概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，最有價(jià)值，權(quán)重最大。

再如，筆者根據(jù)教材知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的13個(gè)問(wèn)題都是圍繞“互相垂直”和“互相平行”這兩個(gè)概念來(lái)展開的，不言而喻，“兩條怎樣的直線互相平行？”和“兩條怎樣的直線互相垂直？”這兩個(gè)問(wèn)題最關(guān)鍵，權(quán)重最大。而其余的11個(gè)問(wèn)題都是為厘清這兩個(gè)問(wèn)題服務(wù)的，作用也不可小覷。解決了“什么是‘同一平面”可以讓學(xué)生明白“平行與垂直”的前提；解決了“什么是‘互相”可以讓學(xué)生明白兩條平行線和兩條垂線的相互依存關(guān)系；解決了“互相垂直和相交有什么區(qū)別”可以讓學(xué)生厘清“相交”和“互相垂直”之間的包含關(guān)系。

當(dāng)梳理完上述18個(gè)問(wèn)題后，三個(gè)最關(guān)鍵、權(quán)重最大的問(wèn)題自然就浮出了水面：

1.在紙上任意畫兩條直線，會(huì)有哪幾種情況？

2.兩條怎樣的直線互相平行？

3.兩條怎樣的直線互相垂直？

當(dāng)權(quán)重最大的問(wèn)題確定后，“核心問(wèn)題”的提煉就接近成功了。

四、 改造問(wèn)題，形成核心

數(shù)學(xué)概念比較抽象，需要學(xué)生在充分感知各種直觀情況的基礎(chǔ)上才能形成。上述權(quán)重最大的三個(gè)問(wèn)題中，第一個(gè)問(wèn)題是基礎(chǔ)，其目的是豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)并讓學(xué)生感受分類思想，因此只有完成第一個(gè)問(wèn)題，第二個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題才能迎刃而解。鑒于此，第一個(gè)問(wèn)題理應(yīng)成為本課最關(guān)鍵的一個(gè)問(wèn)題，即“核心問(wèn)題”。但這個(gè)“核心問(wèn)題”還比較粗糙，教師還應(yīng)該根據(jù)自己的教學(xué)思路進(jìn)行適度改造，從而讓它變成適應(yīng)自己班級(jí)教學(xué)的“核心問(wèn)題”。

例如，教材編寫者在“平行與垂直”概念建立的過(guò)程中滲透了分類這一數(shù)學(xué)思想，同時(shí)讓學(xué)生在分類的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。筆者也認(rèn)同教材這一思路，于是就把兩條直線的各種位置情況進(jìn)行分類這一環(huán)節(jié)適當(dāng)放大。但考慮到現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生在課始環(huán)節(jié)就在一張紙上隨機(jī)畫兩條直線，出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)平行線和標(biāo)準(zhǔn)垂線的概率較少，而且變式也不夠豐富，因此筆者決定在選擇學(xué)生作品的過(guò)程中，適度摻入幾幅自己事先畫好的標(biāo)準(zhǔn)的或變式的平行線和垂線，以充實(shí)學(xué)習(xí)素材，從而有利于后續(xù)教學(xué)的順利展開。筆者認(rèn)為在學(xué)生隨機(jī)畫完后教師至少應(yīng)展示如下七種情況（如圖2）：

至此，我們就可以把“在紙上任意畫兩條直線，會(huì)有哪幾種情況？”這一問(wèn)題改造成更加切合實(shí)際教學(xué)的“核心問(wèn)題”——“想一想，上述這些情況可以分成幾類？依據(jù)是什么？”這一“核心問(wèn)題”中的“幾類”可以是一次分類，也可以是兩次分類，“依據(jù)”兩字直指“平行與垂直”的本質(zhì)特征。

總之，抓住一個(gè)核心，設(shè)計(jì)一個(gè)能激發(fā)學(xué)生探究的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生、對(duì)教師都是非常有意義的，因?yàn)橐粋€(gè)真正的問(wèn)題比一千個(gè)答案更重要?！昂诵膯?wèn)題”能將眾多的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，聚集學(xué)生思維，把繁雜的問(wèn)題設(shè)計(jì)得簡(jiǎn)單化、精練化，可以留給學(xué)生更多學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間。當(dāng)教師把“核心問(wèn)題”提煉好了，教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)思路也就清晰了。在這個(gè)“核心問(wèn)題”的引領(lǐng)下，再將其余問(wèn)題適當(dāng)有序地推進(jìn)，就可以讓學(xué)生的思維有序提升，從而輕松理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和外延，這無(wú)疑就是提煉數(shù)學(xué)“核心問(wèn)題”的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)。