2015年數(shù)學(xué)高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”專題研究

林毓琴

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識，常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，構(gòu)成形式多樣的題目，在高考中占有重要的地位.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；高考

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的知識主干，亦是數(shù)學(xué)高考考查的重點，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.而函數(shù)問題在考查更多的是與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，從而發(fā)揮導(dǎo)數(shù)工具的作用.近年來，高考試題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識占有極其重要的地位，不僅形式多樣，而且知識點覆蓋廣.筆者針對2015年高考數(shù)學(xué)的“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的試題進行分析，希望能給讀者一些啟示.

高中新課程高考大綱對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查內(nèi)容及要求文、理科大同小異，理科區(qū)別于文科主要體現(xiàn)在兩個方面：理科要求“能求簡單地復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)”、“了解定積分與微積分的基本定理”，體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.因此，理科要求高于文科.

對于“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”這類題目高考的命題特點有：

一、考查題型和內(nèi)容穩(wěn)定

筆者通過整理課本和高考題目，發(fā)現(xiàn)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的問題出現(xiàn)的類型是比其他考點要穩(wěn)定的.較常出現(xiàn)的基本題目類型可以歸納為以下四種：

1.用導(dǎo)數(shù)求切線（求曲線上一點處的切線方程；求過一點的曲線的切線方程）.

2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

3.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.

4.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大（?。┲?

在高考中，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”問題較常出現(xiàn)的考試類型有以下六種：單調(diào)性問題、零點問題、極值點問題、恒成立問題、帶量詞的命題問題、證明不等式成立.

例1 （重慶卷·理20）設(shè)函數(shù)f（x）=3x2+axexa∈R.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；

答案 （1）a=0，切線方程為3x-ey=0；（2）-92，+∞.

解析 此題屬基本類型：本題考查求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系.

考點為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性.

二、突出對核心概念和主干知識的考查

函數(shù)的主要內(nèi)容包括4個方面：

1.函數(shù)的基本概念的考查，即函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)法則；函數(shù)的三種表示方法；函數(shù)的圖像；

2.函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，即函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（?。┲怠⒅芷谛?；

3.基本初等函數(shù)的考查，即指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)；

4.函數(shù)的零點的考查.

研究2015年高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)，在選擇題、填空題等小題里，主要就在這4個方面進行重點考查，有些小題還會綜合考查到其中的2～3個知識點.

下面列舉一道今年的高考題對此加以說明.

例2 （福建卷·理2）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）.

評析 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用中，函數(shù)奇偶性的判斷，基本函數(shù)：余弦函數(shù)奇偶性的判斷.由奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）逐一進行檢驗得知選D.判斷函數(shù)的奇偶性關(guān)鍵要以定義域為前提，在滿足定義域關(guān)于原點對稱的前提下，再利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.

三、在知識交會處命題考查學(xué)生的綜合能力

在《2015年高考考試說明》中寫道，數(shù)學(xué)學(xué)科命題要從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交會點設(shè)計試題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度.根據(jù)這一要求，2015年的數(shù)學(xué)試題即注重了各個知識點內(nèi)的縱向考查，又注重了不同知識點之間的相互交會，并且對原有的知識網(wǎng)絡(luò)交會點進行了自然、適當(dāng)?shù)耐貙捄脱由?，這點在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查上尤為明顯.

圖 1例3 （福建卷·理13）如圖1，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，4），函數(shù)f（x）=x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于.

答案 512.

評析 此題在概率和定積分的交會點處命題.考查了定積分求曲邊梯形的面積以及集合概型的運用，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，利用集合概型公式解答.

幾何概型是高考考察的重要知識點，通過分析利用積分就容易解決.實際中常涉及與幾何概型有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如何把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的數(shù)學(xué)模型，是解決這類問題的關(guān)鍵.

四、強調(diào)對“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”的數(shù)學(xué)思想的考查

評析 此題著重對“數(shù)形結(jié)合”的思想的考查.根據(jù)函數(shù)圖像的信息，結(jié)合函數(shù)的定義域，函數(shù)零點以及f（0）的符號是解決本題的關(guān)鍵.