示范與糾錯：學習并實踐傅種孫先生教學思想

安亞成

［摘? 要］ 傅種孫先生提出的“教學技藝：指示正規(guī)與矯正錯誤”值得我們在初中數學教育教學中認真實踐. 比如教師示范主要體現在化抽象晦澀為形象生動，加強知識的前后聯(lián)系和融會貫通，以及解題教學中的思路分析與板書過程上；又如要重視開展化錯教學，包括一個新的概念歸納概括要有一個不斷優(yōu)化的過程，解題教學中對于錯解要從糾錯到究錯，等等.

［關鍵詞］ 指示正規(guī)；矯正錯誤；傅種孫教學思想；化錯教學

我國數學教育的先驅傅種孫先生曾提出：“教學的技藝，一方面要指示正規(guī)，一方面要矯正錯誤. 必須兼施并用，才會有較好的效果.［1］”下面，筆者結合初中數學的教學思考與體會，談談如何深入學習并實踐傅種孫先生的數學教學思想——“示范與糾錯”.

有效教學離不開教師示范

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求“實施促進學生發(fā)展的教學活動”，并指出“有效的教學活動是學生學和教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.［2］”雖然課標沒有強調教師示范的價值，但是教師要發(fā)揮好作為“組織者、引導者與合作者”的作用，很顯然離不開“教師示范”. 下面就圍繞如何開展教師示范做一些思考.

1. 教師示范體現在化抽象晦澀為形象生動

羅素曾說數學美是一種“冰冷的美”. 數學概念、數學語言是融入特有符號的抽象表達，如果要將這些抽象晦澀的數學概念用形象生動的例子向學生進行示范講授，那么考驗的就是數學教師的教學基本功了. 王世強教授在《懷念傅種孫先生》一文中提到：“傅先生在教學幾何基礎課中，歷來講深講透公理、方法中的抽象化觀點，先生常用形象化而富于啟發(fā)性的比喻，用通俗語言表達精辟見解. ”比如，教師教學八年級“變量與函數”的起始課時，可以通過典型實例來引出常量、變量、函數等概念；又如教師教學“三角形的內角和”時，可通過剪開三個內角，拼成一個平角來引出三角形的內角和為180°，使得將三個分開的角“集中”到一起的轉化思路形象起來.

2. 教師示范體現在加強知識的前后聯(lián)系和融會貫通

王世強教授的文章《懷念傅種孫先生》還提到劉紹學教授回憶傅種孫先生：“那種深挖教材，講體會、講聯(lián)系的教學風格深深地影響著我，我一生都在努力模仿他. ”可見，教師的示范作用不能滿足于“照本宣科”，而應給學生示范如何理解教材上的概念或性質，啟發(fā)學生前后聯(lián)系式學習新知，或者如何從舊知生長出新知. 例如，新授課“有理數乘方”時，教師可以先復習幾個相同有理數的加法可簡化為有理數的乘法，并提出問題：那幾個相同的有理數相乘該如何簡化呢？學生很自然地會猜想出用有理數的乘方來表示，這能讓學生體會到數學知識求簡和知識的前后一致. 再如，研究一個幾何對象時有不同的“研究套路”，包括“圖形形狀、大小和位置”“圖形的定義、性質與判定”，具體來講，圖形的定義需要從定義的文字語言、圖形語言、符號語言來進行梳理，圖形的性質可從組成這個圖形的元素或相關元素入手以分析特征（以平行四邊形的性質為例，我們是從它的邊、角、對角線、對稱性等角度來進行研究的）.

3. 教師示范體現在思路分析以及板書過程中

當前，由于智慧黑板的普及應用，不少數學教師已過度依賴使用PPT或電子白板開展解題教學，思路分析直接呈現在PPT或電子白板上，解題過程只呈現簡略的關鍵的步驟，或者是PPT上呈現規(guī)范的解題過程（往往是直接出示），但多數學生還沒來得及消化、理解或做課堂筆記，教師就翻到“下一頁”開始練習，久而久之，學生的解題過程沒有得到應有的示范引領，容易出現過程不規(guī)范、不嚴謹的現象. 筆者以為，對于典型問題的思路分析，教師要在黑板上進行“漸次呈現”式的標注分析，此時的板書過程要慢一點、再慢一點，讓更多學生的思維能“跟上”板書的思路分析. 等學生的思路貫通之后，教師要示范解題過程、數學語句的組織，并將這些保留在黑板上，讓學生“整節(jié)課”都能看到，這樣，在后續(xù)練習鞏固時，假如有學生忘記，他們還可以抬頭看黑板上“教師的板書示范”.

從糾錯、究錯到化錯教學

數學著名特級教師華應龍老師開展的化錯教學［3］，是指把課堂教學中的差錯融化為一種教學資源，相機融入后續(xù)的教學過程中化錯誤為正確，“化腐朽為神奇”，變“事故”為“故事”. 初中數學概念很多，習題教學課時豐富，學生的概念理解出錯或解題出錯現象經常發(fā)生，如果教師只滿足于簡單的糾錯、訂正結果，并不會起到更大的作用，但如果教師能組織學生從糾錯到“究錯”（探究錯誤的原因），再到“化錯”（華應龍 語），就可以大大發(fā)揮課堂中錯誤的教學價值. 下面筆者圍繞化錯教學提一些建議.

1. 數學概念的歸納、概括要有一個糾正、完善的過程

引出一個新的數學概念時，我們常常是從一些具體的情境中抽象、歸納并概括的，而提煉這些問題情境中的關鍵信息、本質特征并不能“一步到位”. 有時學生會給出一個不夠嚴謹、表述錯漏的概括語句，這時教師可以通過追問學生有沒有補充、優(yōu)化的地方，或者對照學生概括的語句，給出一些“反例”，從而幫助學生進一步完善數學概念的歸納和概括. 想來這也是傅種孫先生強調“矯正錯誤”的一種方向. 順便指出，那種借助PPT“快速生成”一個“精致概念”的方式，并不利于學生對概念本質的感悟和理解，而讓學生在新概念的歸納、概括中經歷一些波折更有利于他們深入理解新知. 想來，這也是史寧中教授所希望的“教師講課不要太精致，要‘拙’一點”.

2. 解題教學中的典型錯解需要從糾錯走向究錯

進行解題教學時，遇到學生的典型錯解，教師不能只是簡單地讓學生糾正錯誤、完善答案，而應組織學生深入分析出錯的原因，即做歸因分析，以減少學生再次出錯的頻率. 比如，初學有理數的運算時，不少學生總被“符號”所困擾，究其原因往往是學生缺乏“符號優(yōu)先”的意識，這時教師組織學生訂正時就要引導學生“回到法則”，理解進行有理數運算需要重視“確定符號”這一步驟. 再如，學生初學三角形全等的幾種判定方法后，容易混淆，這時教師可以將一些典型錯誤展示出來，讓學生指出每一步的依據，如果解題過程出現間接條件直接跳步運用的情況，教師要提示學生優(yōu)先處理好間接條件；如果解題過程出現“想當然”添加一個條件的情況，教師要引導學生回到題設中進行對照、檢查. 又如，有些綜合題條件繁多，學生容易顧此失彼，導致思路出錯，此時糾錯并不容易，需要逐步細察、仔細辨析，有時甚至是某個細小的筆誤或錯漏都會影響后續(xù)解法，把這些錯因找出來，有利于學生將來避免類似錯誤，從而提高解題能力.

3. 化錯教學是將學生錯誤作為生成性資源運用

生成性資源，是指教學過程中“動態(tài)”出現（更多時候并非刻意預設得到）的一些課堂生成，包括師生對話、學生解題、學生錯誤等，化錯教學就是要將學生的一些錯誤素材作為生成性資源融入教學過程，讓更多學生參與糾錯、辨析并訂正，使之成為教學的重要組成部分. 當然，開展化錯教學不但需要教師對教學內容有深入的分析，還需要教師具有較強的教學駕馭能力. 比如，學生初學反比例函數的圖象時，容易出現圖象不平滑、雙曲線的兩個分支畫成連續(xù)的等錯誤，這些錯誤教師在課前都要有所預設，待到學生畫函數圖象時，教師可到各學習小組搜集這些典型錯誤，將其作為生成性資源，組織學生一起糾錯. 再比如，學生初學分式方程時，容易想到“去分母”，將分式方程轉化為整式方程，但是整式方程的解并不一定滿足原分式方程（它們不一定是“同解方程”），此時教師可以挑選一些可能出現增根的分式方程，讓學生出現錯誤或矛盾之后，再一起分析，查找錯因. 這樣的生成性資源融入教學過程，能讓學生加深對新知識的理解.

結束語

傅章秀先生回憶［4］傅種孫先生時曾說：“傅先生備課下深功夫，常備課至深夜，甚至達旦. 哪怕是教過多次的熟課，備課也一絲不茍，所以他講同一門課的任何兩次都不一樣，真是‘一遍拆洗一遍新’. 他備課不只鉆研教材內容和教法，也研究語言、板書等表達藝術.”前輩的敬業(yè)精神與專業(yè)精神值得我們學習和傳承，本文選取傅種孫先生教學思想中的“示范與糾錯”，談了一些膚淺的理解和認識，不一定準確，更不一定正確，期待更多有識之師共同研究，學習和實踐傅先生的教學思想.

參考文獻：

［1］王世強. 懷念傅種孫先生［J］. 數學通報，2007（增刊2）：56-66.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］華應龍. 華應龍與化錯教學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2015.

［4］傅章秀. 熱愛教育事業(yè)的數學家——傅種孫先生［J］. 數學通報，2007（增刊2）：43-48.