由一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題引發(fā)運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題的思考

馮冠聰

學(xué)生解決問題的思維過程，就是首先將數(shù)學(xué)問題重新表征，然后確定解題思路，進(jìn)而執(zhí)行解題方案。多項(xiàng)研究表明：要能正確解決問題，問題表征能力和問題表征質(zhì)量是數(shù)學(xué)問題解決的重要因素。關(guān)于表征數(shù)學(xué)問題的方法，不少教育工作者總結(jié)頗多，如分析法、綜合法、線段圖法、示意圖法、列表法……有的方法傾向于運(yùn)用數(shù)字語言來表征數(shù)學(xué)問題，有的方法則傾向于數(shù)形結(jié)合表征數(shù)學(xué)問題。

小學(xué)生以具體形象思維為主，并逐步向抽象邏輯思維過渡，運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題，有利于直觀構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，有利于數(shù)量關(guān)系明朗化。那么小學(xué)階段如何在表征數(shù)學(xué)問題過程中構(gòu)造線段圖，以利于解決問題？筆者以分?jǐn)?shù)應(yīng)用題為例，就學(xué)生畫線段圖時存在的問題進(jìn)行分析，探討運(yùn)用線段圖重新表征數(shù)學(xué)問題的教學(xué)策略（本文所指的問題解決具體指反映數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題）。

一、運(yùn)用“形”表征數(shù)學(xué)問題中學(xué)習(xí)障礙

小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中常用畫圖（畫示意圖、畫線段圖等）的方法表征問題，解決問題。盡管圖的直觀能輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，但如何由文字符號轉(zhuǎn)換為操作符號、圖形符號，學(xué)生存在不少障礙，下面以一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)為例，探討學(xué)生運(yùn)用線段圖表征問題的障礙。

數(shù)學(xué)問題：小明的體重是35kg，小明體重比爸爸輕，爸爸體重是多少千克？

學(xué)生畫圖錯例如圖1、圖2。

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是整數(shù)應(yīng)用題中倍數(shù)關(guān)系的延伸。由此，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是題目中呈現(xiàn)兩個相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，以及反映這兩個數(shù)量之間關(guān)系的分率句，如 “小明體重比爸爸輕”，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常被稱為分率句。

圖1錯誤在于學(xué)生只把已知信息呈現(xiàn)在線段圖上，要求的問題沒有在線段圖上呈現(xiàn)。一個良好的數(shù)學(xué)問題包含有不同的數(shù)量，既有已知數(shù)量，也有未知數(shù)量，分析數(shù)學(xué)問題的最終目的是尋找如何由已知數(shù)量達(dá)到未知數(shù)量的數(shù)學(xué)路徑。運(yùn)用線段圖把相關(guān)“數(shù)量”與“形”建立對應(yīng)關(guān)系，不同數(shù)量用不同線段表示，運(yùn)用“形”的直觀尋找已知數(shù)量與未知數(shù)量之間的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型解決問題。而圖1線段圖由于缺少了未知數(shù)量，數(shù)量關(guān)系存在多樣性和不確定性，未能真正運(yùn)用“形”解決問題。

圖2 學(xué)生作圖時把小明體重看做兩量比較的標(biāo)準(zhǔn)（分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中習(xí)慣將比較標(biāo)準(zhǔn)稱為“單位1”），且把“小明體重比爸爸輕”轉(zhuǎn)化為“爸爸體重比小明重”。根據(jù)對學(xué)生訪談中獲知，學(xué)生作圖時是根據(jù)閱讀的順序逐一將已知信息呈現(xiàn)，并且受到兩數(shù)量相差關(guān)系的負(fù)遷移，簡單地將分率句進(jìn)行轉(zhuǎn)化。殊不知比較兩量倍或比率關(guān)系時，當(dāng)比較標(biāo)準(zhǔn)變了，比較的倍或比率也會變。如黃花是紅花的3倍，則紅花是黃花的；小明體重比爸爸輕，則爸爸體重比小明重。由此可見，比較的標(biāo)準(zhǔn)變了，與之比較的另一數(shù)量的關(guān)系也會隨著變化。更深層看待學(xué)生的錯誤轉(zhuǎn)化問題，究其原因，學(xué)生未能掌握兩數(shù)量關(guān)于相差和倍比關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別。在兩數(shù)量的比較時，先確定比較的標(biāo)準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)確定另一數(shù)量與之關(guān)系，因此在作圖時，首先畫出比較的標(biāo)準(zhǔn)量，然后再畫出與標(biāo)準(zhǔn)比較的另一數(shù)量。由此可見，圖2反映出學(xué)生未掌握兩數(shù)量比較相差關(guān)系和倍率的數(shù)學(xué)模型。

二、以 “形”直觀表征數(shù)學(xué)問題的教學(xué)策略

如何讓學(xué)生借助線段圖“形”的直觀表征數(shù)學(xué)問題？我們知道，線段圖能將數(shù)量模型無關(guān)的情境、信息排除在外，運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題是溝通數(shù)學(xué)問題與已有數(shù)學(xué)模型的中介橋梁，使數(shù)量之間關(guān)系更直觀、更明確地呈現(xiàn)，那么，學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題怎樣構(gòu)造線段圖？怎樣讓學(xué)生積累從文字符號到圖形符號的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)？

1. 掌握線段圖的基本構(gòu)造元素

線段圖是以線段呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量，因此首先讓學(xué)生認(rèn)識構(gòu)造線段圖的基本元素。

“”表示數(shù)量反映在線段上的起點(diǎn)與終點(diǎn)。

“ ？”表示未知數(shù)量。

不同長度的線段表示大小不同的量。

長度相等的線段表示同樣多的兩個或兩個以上的數(shù)量。

2. 理解和掌握線段圖兩種基本形式的畫法

馬芯蘭將小學(xué)階段主要數(shù)量關(guān)系整理歸結(jié)為兩類：整體與部分關(guān)系的數(shù)量形式、比較的數(shù)量關(guān)系。

當(dāng)反映部分與整體的數(shù)量關(guān)系時用單線式線段圖表示，如數(shù)學(xué)問題：水果店運(yùn)來蘋果和雪梨，蘋果有3筐，每筐25kg，雪梨有4筐共重80千克，畫圖如圖3。

當(dāng)反映比較的數(shù)量關(guān)系（如相差關(guān)系、倍比關(guān)系）時用多線式線段圖表示，如數(shù)學(xué)問題：水果店運(yùn)來蘋果和雪梨，運(yùn)來蘋果25kg，運(yùn)來雪梨重量比蘋果的4倍少15kg，雪梨多少千克？畫圖如圖4。

無論單線式線段圖還是多線式線段圖，首先應(yīng)確定數(shù)學(xué)問題中呈現(xiàn)了哪些數(shù)量，其次是每一個數(shù)量是怎樣產(chǎn)生關(guān)系的。如圖3，數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)了蘋果重量和雪梨重量兩個數(shù)量，蘋果重量則是每筐25kg，有3筐；雪梨有4筐，每筐重20kg。若數(shù)學(xué)問題中呈現(xiàn)的兩個數(shù)量是比較關(guān)系的，如圖4，則先抓反映兩量比較關(guān)系的句子，找出以哪一數(shù)量為比較的標(biāo)準(zhǔn)，然后畫出標(biāo)準(zhǔn)量的線段，再畫出與之比較的數(shù)量。盡管上面兩道數(shù)學(xué)問題都呈現(xiàn)蘋果與雪梨兩個數(shù)量，但兩個數(shù)量關(guān)系不相同，前者反映蘋果、雪梨各個部分與總數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，用單式線段圖，后者反映蘋果、雪梨兩部分之間的比較關(guān)系，用多線式線段圖。

理解和掌握線段圖的兩種形式的畫法，有利于幫助學(xué)生辨析數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而更好地理解數(shù)學(xué)模型。

三、運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題的作用

為什么運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題有利于學(xué)生解決問題？關(guān)鍵在于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)，需要借助直觀形象的材料尋找抽象的數(shù)量關(guān)系。

1. 數(shù)量關(guān)系明朗化

線段圖將無關(guān)的背景及信息摒除在外，有利于將數(shù)量關(guān)系明朗化。如線段圖3中，通過線段圖能直接看出雪梨共80千克，而雪梨有4筐屬多余信息，那么解決蘋果和雪梨總重量就是將兩部分重量合起來就行了，數(shù)量關(guān)系一目了然。

2. 解題思路明晰化

運(yùn)用線段圖分析數(shù)學(xué)問題主要將數(shù)學(xué)問題中“數(shù)量”與線段圖的“線段”一一對應(yīng)，抽象的數(shù)量關(guān)系直觀等價地反映在線段圖中，學(xué)生能運(yùn)用線段圖尋找已知信息與未知信息之間的關(guān)系，有利于明確解題的思路。如圖4，求雪梨重量就是蘋果重量的4倍再少15千克即可。又如案例中數(shù)學(xué)問題：小明的體重是35kg，小明體重比爸爸輕，爸爸體重是多少千克？畫圖如圖5。

由圖中可知，小明體重是爸爸體重的（1-），即35千克對應(yīng)的比率是，也鼓勵學(xué)生畫圖如圖6。

即：把一些原本未知的信息通過合理的推理或聯(lián)想畫在線段圖上，促使解題思路更明晰。

運(yùn)用線段圖表征數(shù)學(xué)問題是借“形”構(gòu)造數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。在日常教學(xué)中教師應(yīng)充分挖掘線段圖的價值，鼓勵學(xué)生運(yùn)用線段圖建構(gòu)數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換的意識，為提高學(xué)生的思維能力和分析解題能力打下基礎(chǔ)。

責(zé)任編輯 羅 峰