巧找不變量 確定單位“1”

張麗

摘 要：對于較復(fù)雜的分數(shù)問題往往有多個單位“1”或者單位“1”數(shù)量發(fā)生改變，此時分析數(shù)量關(guān)系，找出不變量并確定其為單位“1”，再轉(zhuǎn)化已知條件的分率。本文結(jié)合實例，給出解決這一類分數(shù)問題的三種基本類型：（1）總量不變；（2）部

分量不變；（3）相差量不變。 關(guān)鍵詞：分數(shù)問題 不變量 單位“1”

分析數(shù)量關(guān)系，找出單位“1”是解決分數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。對于標準量不變的簡單分數(shù)問題，學生能快速找出單位“1”，并能準確地解答。但是在較復(fù)雜的分數(shù)問題解決中，當標準量發(fā)生改變時，學生很難確定新的統(tǒng)一的單位“1”，此時如何靈活確定統(tǒng)一的標準量即單位“1”是解決分數(shù)問題的突破口。下面從幾個特殊例題對這類問題的解題技巧進行簡述。

一、總量不變，以總量為單位“1”，先求總量，再求解 甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，甲倉庫的糧食量是乙倉庫的3/4，如果乙倉庫給甲倉庫 2噸糧食后，這時甲倉庫的糧食量是乙倉庫的4/5。問：甲、乙兩倉庫原來各有多少噸糧食？分析與解答：因為乙倉庫給甲倉庫 2噸的糧食，甲、乙倉庫的糧食量都發(fā)生變化，所以題目中的 3/4和 4/5所對應(yīng)的單位“1”不同，不能直接進行比較。但甲、乙兩個倉庫的糧食總量不變，因此可把甲、乙兩個倉庫糧食總量看作單位“1”，轉(zhuǎn)化相對應(yīng)的分率即可。那么原來甲倉庫的糧食量就是兩個倉庫糧食總量的3/（4+3）；乙倉庫給甲倉庫2噸糧食后，甲倉庫的糧食量是兩個倉庫糧食總量的4/（4+5）。從而可求出兩個倉

庫的糧食總量為 2 ..45 . 3...126 （噸），甲倉庫原來的糧

食量為126 . 34 .54 （噸），乙倉庫的糧食量為 126-54=72

（噸）。

二、部分量不變，以部分量為單位 “1”，先求不變量，再求解

圖書室有科技書和文藝書兩種書共 360本，其中科技書的本數(shù)占總數(shù)的1/9，現(xiàn)在又買來了一些科技書后，科技書的本數(shù)占總數(shù)的1/6。問：現(xiàn)在又買來多少本科技書？

分析與解答：由題意可知，科技書買來前和買來后，文藝書的本數(shù)不變，因此可把“文藝書的本數(shù)”看作單位“1”，

先求出“不變量”文藝書的本數(shù)為： ... 19 ...（本），

則原來科技書的本數(shù)為 360 ..40 （本）。這時轉(zhuǎn)化分率，

把“又買來一些科技書后，科技書的本數(shù)占總數(shù)的1/6”轉(zhuǎn)化為“這時科技書的本數(shù)占文藝書本數(shù)的1/（6—1）”，由此可

以求出買來后科技書的本數(shù)為： 320.1 .64 （本），所以又買進科技書的本數(shù)為：64 ..40 24（本）。 三、相差量不變，以相差量為單位 “1”，先求相差量，再求解

小明的零花錢是小東的3/5，如果兩人都花了 8元后，小明的零花錢是小東的 1/2。問：小明和小東原來各有多少零花錢？

分析與解答：由題可知，花錢前后，小明和小東的零花錢的差不變，因此可把“小明和小東的零花錢的差”看作單位“1”。接下來將小明（或者小東）花錢前后占兩人零花錢差的分率表示出來。花錢前，小明的零花錢是兩人零花錢差的 3/（5—3）；花錢后，小明的零花錢和兩人零花錢差一樣多。由

于小明花掉的部分是 8元，8元占兩人零花錢差的 .53 .1.，

由此可求出兩人零花錢差為：8 ..... 31.. （元），原來小

明的零花錢數(shù)為：16 ..3 .24 （元），原來小東的零花錢為：

53 24 .16 .40 （元）。 以上三種情況都是以不變應(yīng)萬變，找出不變量，并將其確定為單位“1”。這一類型的題目的特點是描述數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句中的比較量和標準量表面上是一樣的，實際上標準量的大小已經(jīng)發(fā)生改變。學生在解決這類型的題目時，往往沒有意識到此時前后的單位“1”的數(shù)量已經(jīng)發(fā)生變化，會直接將兩個分率直接進行比較與運算。在教學這類題目的解題時，教師要讓學生找出關(guān)鍵句并提醒學生前后的單位“1”一樣嗎，數(shù)量一樣嗎？當學生發(fā)現(xiàn)單位“1”的數(shù)量發(fā)生改變時，讓學生明白兩個分率此時不能直接進行比較與運算，再引導學生發(fā)現(xiàn)題目中存在不變的量，結(jié)合題目的已知數(shù)量將題目中的分率轉(zhuǎn)化成以不變量為單位“1”，利用不變量這個橋梁解決問題。為了讓學生能掌握這類型題目的解題思路和解題技巧，做到舉一反三，教師在教學中可以有意識地組織學生進行有針對性的訓練，積累解題經(jīng)驗，拓寬解題思路。

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