經(jīng)歷形成過程 促進(jìn)理解建構(gòu)

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）33-0068-03

【作者簡介】王新奇，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校（江蘇蘇州，215021）教科室主任，一級(jí)教師。

一、設(shè)計(jì)理念

1.概念形成要讓知識(shí)邏輯與心理邏輯自然融合。

概念的形成過程應(yīng)是學(xué)生知識(shí)邏輯與心理邏輯的自然融合。在教學(xué)“函數(shù)”這一概念時(shí)，應(yīng)始終抓住一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行探究，讓學(xué)生知道往哪里走。在探究兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)始終將“一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量如何變化；一個(gè)量確定時(shí)，另一個(gè)量是否確定”作為思考的切入點(diǎn)，讓學(xué)生知道觀察的點(diǎn)在哪里。在提煉概括函數(shù)定義時(shí)，應(yīng)圍繞一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行表述，以期達(dá)到水到渠成的效果，促進(jìn)學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

2.概念理解要抓住關(guān)鍵字詞。

函數(shù)的定義表述是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中文字最長的，學(xué)生要做到準(zhǔn)確理解有一定的困難。教學(xué)中，從細(xì)節(jié)上找到“每一個(gè)值”“唯一值”，按層次將關(guān)鍵字詞標(biāo)出，會(huì)對(duì)理解定義起到化難為易的效果。

3.概念應(yīng)用要回歸定義本質(zhì)。

學(xué)習(xí)函數(shù)概念，其根本目的在于讓學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)生活中變化的事物，只有把握了變化事物中兩變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系才算是掌握了函數(shù)的本質(zhì)。圍繞函數(shù)定義的本質(zhì)，設(shè)計(jì)不同層次的問題進(jìn)行訓(xùn)練，以提高課堂訓(xùn)練的針對(duì)性與有效性。其中，我所設(shè)計(jì)的第3道練習(xí)題是一道開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試提出問題、解決問題，目的是給學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的機(jī)會(huì)，也是在檢驗(yàn)學(xué)習(xí)是否真的發(fā)生。

二、學(xué)情分析

1.學(xué)生原有知識(shí)的分析。初中生在函數(shù)概念形成之前，研究的是常量數(shù)學(xué)——數(shù)、式的運(yùn)算和方程。函數(shù)概念是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，學(xué)生缺乏對(duì)變量數(shù)學(xué)的了解，因而也缺乏同化函數(shù)概念的固著點(diǎn)，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來一定的困難。函數(shù)概念的形成過程，其本質(zhì)是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。函數(shù)概念和學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)無直接聯(lián)系，因此，通過4個(gè)生活情境，建構(gòu)這類問題的問題系，從而使學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為同化函數(shù)概念做好準(zhǔn)備。

2.學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)的分析。4個(gè)情境的選擇均源于學(xué)生的生活，充分利用學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，能有效促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

3.學(xué)生的情感分析。函數(shù)概念由模糊到清晰經(jīng)歷了近300年，足以說明其困難程度。在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者多次采取小組合作交流學(xué)習(xí)的方式，消除學(xué)生情感上的畏懼，同時(shí)選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境進(jìn)行研究，促進(jìn)學(xué)生積極、有效地學(xué)習(xí)。

三、教材分析

本節(jié)課所用教材為（蘇科版）《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)八（上）》，所教內(nèi)容為第6章第1節(jié)“函數(shù)”的第1課時(shí)。函數(shù)概念的建立，標(biāo)志著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)已從常量數(shù)學(xué)邁向變量數(shù)學(xué)。函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”中的重要內(nèi)容，是學(xué)生難以建立的一個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念。讓學(xué)生準(zhǔn)確而深刻地理解函數(shù)概念是學(xué)好與函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的關(guān)鍵所在，是后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的奠基工程，是高中階段學(xué)習(xí)其他函數(shù)的必要準(zhǔn)備，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題和解決問題的有效載體。通過對(duì)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究有利于增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。教材從學(xué)生似曾相識(shí)的實(shí)例中引出對(duì)變量的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題的共同點(diǎn)中形成函數(shù)概念，這種處理問題的方式遵循了學(xué)生的認(rèn)知水平，關(guān)注了學(xué)生的親身體驗(yàn)，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、由具體到抽象的原則。

四、教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過簡單實(shí)例，了解常量與變量的意義。

（2）讓學(xué)生經(jīng)歷分析具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的過程，感知函數(shù)是描述變化過程的一個(gè)數(shù)學(xué)概念；讓學(xué)生經(jīng)歷從幾個(gè)簡單的具體問題中找出共同點(diǎn)，逐步過渡到抽象定義的過程，從一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系中領(lǐng)悟和理解函數(shù)概念。

（3）讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察、分析現(xiàn)實(shí)生活中的簡單問題，初步學(xué)會(huì)建立簡單的函數(shù)模型，不斷培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)概念的形成過程。

教學(xué)難點(diǎn)：理解函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，深刻理解和靈活應(yīng)用函數(shù)概念。

五、教學(xué)過程

（一）問題情境

問題1：同學(xué)們知道給汽車加油嗎？在給汽車加油的過程中，一般關(guān)注哪幾個(gè)量？

問題2：在給汽車加油的過程中，這幾個(gè)量有變化嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生身邊的生活實(shí)例出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的思考。播放給汽車加油的視頻，生動(dòng)展現(xiàn)幾個(gè)量的變化情況，加深學(xué)生對(duì)這幾個(gè)量的認(rèn)識(shí)，既貼合課題，又易于撥動(dòng)學(xué)生的思維之弦。通過這個(gè)問題情境，一方面引出常量與變量概念，另一方面有意識(shí)滲透“在某一變化過程中”這個(gè)建立函數(shù)概念的前提條件，為分析變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系做準(zhǔn)備。）

（二）建構(gòu)活動(dòng)

情境1：讓學(xué)生觀看給汽車加油的視頻（如圖1所示）。

（師生互動(dòng)：同學(xué)們喊“開始”，老師就點(diǎn)擊開始，同學(xué)們喊“?！?，老師就點(diǎn)擊暫停。）

提出問題：這兩個(gè)變量是如何變化的？你能用一段話來描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？

情境2：南京某日氣溫變化圖（如圖2所示）。

2013年10月1日南京市整點(diǎn)氣溫曲線圖

提出問題：在南京某日氣溫變化圖中，有哪兩個(gè)變量？請(qǐng)描述在氣溫變化過程中，時(shí)間和氣溫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

情境3：觀察水庫的水位變化與水庫蓄水量變化表（如表1所示）。

提出問題：在水庫蓄水量變化過程中，有哪兩個(gè)變量？請(qǐng)描述在水庫蓄水量變化過程中，水位和蓄水量這兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

情境4：“搭小魚”火柴游戲（如圖3所示）。

提出問題：在“搭小魚”游戲的過程中，有哪兩個(gè)變量？請(qǐng)描述小魚的條數(shù)和火柴根數(shù)這兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：通過觀察這4種情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)情境中的變量，并描述變化過程中變量之間的關(guān)系。這樣設(shè)計(jì)，一方面能讓學(xué)生清晰地體會(huì)到觀察點(diǎn)在哪里，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知邏輯；另一方面學(xué)生通過圖表、圖象和表達(dá)式能夠清晰地揭示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。）

（三）數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)

問題1：剛才研究了4個(gè)生活情境，你發(fā)現(xiàn)有哪些共同點(diǎn)？

問題2：誰能嘗試著給函數(shù)下一個(gè)定義？

函數(shù)定義：如果在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

問題3：誰能說一說定義中的關(guān)鍵字詞？

問題4：誰能說一說在我們的生活中有關(guān)函數(shù)的例子？

（設(shè)計(jì)意圖：通過深入研究4個(gè)生活情境，充分感受和理解一個(gè)變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生圍繞“一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系”歸納出函數(shù)的定義。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的回答不一定很到位，幾經(jīng)磨礪再形成定義才是真實(shí)的。學(xué)生對(duì)函數(shù)的表述一定是自己容易理解的，一定是理解很深刻的，這樣的學(xué)習(xí)才會(huì)真正發(fā)生。作為教師應(yīng)有不迷信教材而賞識(shí)學(xué)生的胸懷和膽識(shí)，把學(xué)術(shù)的知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為真實(shí)的教育形態(tài)才是教師所必須努力的。讓學(xué)生從熟知的實(shí)例到函數(shù)概念形成，會(huì)覺得函數(shù)好學(xué)。問題3的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從細(xì)節(jié)上找到“每一個(gè)值”“唯一值”，按層次將關(guān)鍵字詞標(biāo)出，對(duì)理解定義起到了化難為易的效果。舉例的目的是讓學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)函數(shù)的定義，逐步學(xué)會(huì)從函數(shù)的視角觀察分析實(shí)際問題，形成實(shí)實(shí)在在的能力，有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。）

（四）嘗試運(yùn)用

1.用一根40cm的繩子圍成一個(gè)長方形，

（1）當(dāng)長方形的寬為5cm時(shí)，長為 cm；

（2）當(dāng)長方形的寬為8cm時(shí)，長為 cm；

（3）當(dāng)長方形的寬為acm時(shí)，長為 cm；

（4）長方形的長是寬的函數(shù)嗎？為什么？

2.下表中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？

3.如圖4，線段AB=6cm，D是線段AB上的一個(gè)定點(diǎn)，在垂直于AB的線段DE上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C（點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合），分別連接CA、CB。

（1）請(qǐng)說出圖形變化過程中的常量與變量。

（2）結(jié)合今天所學(xué)的函數(shù)知識(shí)，你還能提出什么問題？

（設(shè)計(jì)意圖：第1題和第2題是進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。對(duì)剛剛接觸函數(shù)概念的學(xué)生來說，判斷兩個(gè)量之間是否具有函數(shù)關(guān)系需要把握三點(diǎn)——一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。第3道練習(xí)，設(shè)計(jì)了一道開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)習(xí)的知識(shí)嘗試提出問題、分析問題、解決問題，目的是給學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生理解，也是在檢驗(yàn)學(xué)習(xí)是否真的發(fā)生。）

（五）分享與作業(yè)

觀察生活與社會(huì)，你能發(fā)現(xiàn)哪些實(shí)際問題與函數(shù)密切相關(guān)，并能用函數(shù)思想予以解決，把你的想法告訴你的同伴與家人。

結(jié)語：函數(shù)是我們?cè)趯W(xué)習(xí)方程、不等式、概率之后的又一個(gè)數(shù)學(xué)模型。世界是變化的，生活中的變化無處不在，函數(shù)正是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要模型，函數(shù)就在我們身邊，希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)函數(shù)。學(xué)習(xí)的效果與我們的勤奮程度也成函數(shù)關(guān)系，希望大家通過自己的勤奮獲取學(xué)習(xí)效果的最大值。

（設(shè)計(jì)意圖：通過結(jié)語，把函數(shù)納入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生激勵(lì)作用，通過開放性作業(yè)，讓學(xué)生在成功中獲得最大的心理滿足感。）