認知系統(tǒng)的邏輯秩序：讓學習真正發(fā)生的“道”

【摘 要】理解性學習是讓學習真正發(fā)生的基本要素，而數(shù)學實驗正是實現(xiàn)理解性學習的一種方式。從數(shù)學實驗的視角，構建認知系統(tǒng)的邏輯秩序，是讓學習真正發(fā)生的“道”。這里的邏輯秩序包括基礎性的知覺目標、層次性的變異思維、概括性的具身經(jīng)驗以及科學性的審美關系，它們分別是讓學習真正發(fā)生的“頻道”、“通道”、“跑道”和“航道”。

【關鍵詞】初中數(shù)學；數(shù)學實驗；邏輯秩序；認知系統(tǒng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）33-0023-04

【作者簡介】孫朝仁，江蘇省連云港市教育科學研究所（江蘇連云港，222006）所長，正高級教師，江蘇省特級教師，初中數(shù)學實驗手冊副主編。

“讓學習真正發(fā)生”，這是第11屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動的主題。筆者有幸聆聽了幾位蘇派青年教師的課堂教學，在領略了蘇派青年教師教學風采的同時，也一直在揣摩這一主題的真實內(nèi)涵。我們知道，學生是教學過程中的主體，“教學從學生出發(fā)”是課堂教學最重要的特征之一。但是，受學科特點的影響及呈現(xiàn)形式等因素的制約，教材通常是以靜態(tài)的方式直接呈現(xiàn)知識結論，這些結論對于成人來講是很容易理解的，但對學生來講，卻不容易理解。毋庸置疑，不理解性的學習，就不可能深入學科的本質(zhì)，也不可能觸及學生的心靈，更不可能促進學生對于知識的持續(xù)建構，這樣的學習一定不會真正發(fā)生。因此，筆者認為，理解性學習是讓學習真正發(fā)生的前提。

從數(shù)學學科來說，由于其“高度的抽象性、嚴密的邏輯性以及廣泛的應用性”而顯得學習“枯燥無味”，學生的學習便不會真正意義上得以發(fā)生?；诖?，在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學中，引進數(shù)學實驗這一學習方式可以助推學習的真正發(fā)生。數(shù)學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學教與學的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論、理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學結論的思維活動。可以說，數(shù)學實驗充分突出了“智者明‘法，慧者通‘道”的學習秩序與法理，是數(shù)學理解性學習的基本方式?！懊鞣ā本褪呛夏康男?、合規(guī)則性、合法理性；“通道”就是學習范式符合“道”的要義（一生二、二生三、三生萬物）。換言之，數(shù)學實驗是打通讓學習真正發(fā)生的“道”。這里的“道”就是構建認知形態(tài)系統(tǒng)的邏輯秩序，關乎知覺認知目標的確立，關乎變異認知思維的激發(fā)，關乎具身認知經(jīng)驗的積累，更關乎審美認知關系的梳理。

一、知覺目標：認知形態(tài)系統(tǒng)的基礎性邏輯秩序，找準讓學習真正發(fā)生的“頻道”

知覺是解釋外界客體和事件產(chǎn)生的感覺信息的加工過程，是對現(xiàn)實的感性反映，具有整體性、恒常性、意義性和選擇性特征。目標是課程的精神統(tǒng)領和行動指南，是教學設計與實施的思維線索?！敖?jīng)歷”“體驗”“探索”是對“做數(shù)學”行為目標的生動刻畫，與知覺目標具有內(nèi)部關系的一致性，反映初中段學生的感性思維好于理性思維的“思維事實”。數(shù)學實驗突出“做”“視”“說”“用”的知覺特征，用“感知”“感受”“感悟”“領悟”等感官類動詞刻畫知覺目標。

梅洛·龐蒂從知覺現(xiàn)象學出發(fā)，認定身體是認識世界的通道，身體知覺具有認識世界的能力，是人認識世界的基點。[1]數(shù)學實驗的本質(zhì)就是通過身體“做”數(shù)學的行為獲得對新概念、新原理和新方法的領悟與理解，因此，這樣可以很好地找準讓學習真正發(fā)生的“頻道”。在“做”數(shù)學實驗范疇，知覺目標涵蓋“四個頻道”：一是通過“觀察”，感知概念的局部屬性；二是通過“知覺選擇”，感受概念的本質(zhì)屬性；三是通過“建立表象”，感悟概念的整體屬性；四是通過“意義表征”，領悟概念間的內(nèi)部關系。在課堂教學中，如果調(diào)適好這“四個頻道”，不僅可以體現(xiàn)數(shù)學實驗在數(shù)學教學中的補注作用，而且也可以發(fā)揮提升學生學力的功能，更可以構建知覺在學理意義上的邏輯秩序，“四個頻道”協(xié)調(diào)運作，學習自然會真正發(fā)生。

以“認識簡單幾何體”主題活動為例：首先，讓學生觀察長方體，借此認識棱柱和棱錐，并根據(jù)圖形特征進行分類；其次，讓學生折疊棱柱和棱錐，并進行觀察和描述；最后，以小組合作的形式進行集體活動，摸出指定的幾何體并分工描述其特征。為此，確立的知覺目標是：學生通過對實物圖片的欣賞和生活中物體的觀察，抽象感知幾何圖形，會用數(shù)學的眼光觀察世界；學生經(jīng)歷對幾何圖形的分類過程，感受立體圖形和平面圖形之間的區(qū)別，對幾何圖形的抽象有進一步的認識，會用數(shù)學的思維分析世界；學生經(jīng)歷折紙和摸幾何體的數(shù)學實驗，感悟立體圖形和平面圖形之間的內(nèi)部關系，并通過小組合作，描述幾何體的活動，領悟用幾何語言表達世界的意義。

就主題活動的邏輯秩序來說，“觀察”“欣賞”幾何體行為是知覺認知目標的邏輯起點，“折疊”“描述”幾何體行為是知覺認知目標的邏輯過程，“摸出”“表征”指定幾何體行為是知覺目標的結果狀態(tài)，反映認知形態(tài)系統(tǒng)的邏輯理序。就數(shù)學學習論來說，觀察是知覺認知的邏輯基礎，操作是知覺加工的邏輯手段，表征是知覺學習的邏輯通道，有了這些，學生對于“認識簡單幾何體”的學習才有了真正發(fā)生的基礎。本次展評活動中，有一節(jié)“正方形中的45°美”的課，執(zhí)教者通過“在正方形中旋轉三角板”創(chuàng)設認知情境，找準了認知的邏輯起點，繼而讓學生自主尋找要探究的問題，完善了認知過程，最后讓學生“學以致用”，反映了知覺目標的結果狀態(tài)，“三位一體”奏出了“讓學習真正發(fā)生”的和諧音符。

二、變異思維：認知形態(tài)系統(tǒng)的層次性邏輯秩序，構筑讓學習真正發(fā)生的“通道”

變異思維作為數(shù)學命題認知的一種思維方式，得到馬頓（Marton）變異理論的強有力支撐。[2]該理論的核心思想是“學習源于變異”，也就是說，變異（Variation）、審辨（Discernment）和同時性（Simultaniety）是讓學習真正發(fā)生的基礎要素，變異思維是學習的基本通道。而數(shù)學實驗正是在突出概念變異、原理變異以及經(jīng)驗變異的審辨與同時性特征的基礎上，形成概念法則的邏輯連貫性認識體系，進而促進心理概念圖的建立和認知形態(tài)系統(tǒng)邏輯秩序的規(guī)范形成。

米山國藏的《數(shù)學的精神、思想和方法》一書從變異思維的邏輯出發(fā)，認定數(shù)學是由簡單明了的事實與邏輯推理結合一步一步構成的。[3]這里的“一步一步”就是對變異思維的具體刻畫，前“一步”思維是后“一步”思維的基礎，后“一步”思維是前“一步”思維的變異，正因為如此，學生的學習在這“一步一步”的過程中得以真正的發(fā)生，實現(xiàn)學生接受“更好的教育”的質(zhì)量目標也才能實現(xiàn)。[4]因此，我們規(guī)約操作范式邏輯秩序為：一是變異情境維度，突出概念審辨思維的立體遷移；二是變異問題發(fā)問方向，突出原理加工程序的概括性特征；三是變異經(jīng)驗現(xiàn)有發(fā)展區(qū)（由單稱現(xiàn)有經(jīng)驗發(fā)展區(qū)到復稱事實經(jīng)驗水平區(qū)），突出新舊經(jīng)驗的同時性重組與同時性改造的特征，以此構筑變異思維初始目標良性遷移的通道。

例如：在探索“基本圖形性質(zhì)”這一主題時，通過“折紙與證明”這一數(shù)學實驗，突出變異思維特征，完成對“合情推理”認識的變遷，最終把握基本圖形內(nèi)部關系。具體活動安排如下。首先，實驗目標是經(jīng)歷折紙過程，感受證明的必要性以及合情與演繹的內(nèi)部關系，進一步發(fā)展合乎邏輯的思考秩序和有條理的表達能力。其次，讓學生在折紙活動中，體驗目標的適配性和可接近性。從三個維度進行思維聚焦：一是讓學生用長方形紙片折出一個正方形，說明理由并進行可行的驗證；二是讓學生用長方形紙片折出一個菱形，并在說理的基礎上驗證結論的合理性；三是讓學生用正方性紙片和長方形紙片各折出一個等邊三角形，并在推演的基礎上驗證結論的可靠性。最后是讓學生設計盡可能多的“‘做菱形”的方案，并探究如何用足夠長的紙條折出一個正五邊形。

目標是思維的依據(jù)，變異目標的確立為實驗活動的邏輯展開提供了思維秩序，構筑了思維通道。如果說“折正方形→折菱形→折等邊三角形”思維變化過程是情境變異思維秩序的集中表現(xiàn)，那么“變異目標的建立→變異問題反應塊的組織→后實驗方案的編制”的思維秩序，是程序性加工概念圖得以建立的具體表現(xiàn)，而探究折正五邊形的思維流變行為是變異經(jīng)驗發(fā)展區(qū)的內(nèi)部秩序，反映了認知系統(tǒng)的層次性邏輯秩序，體現(xiàn)了程序性加工審辨的科學性以及信息流的適配性。本次展評活動中來自南京市蓮花實驗學校初中部的金明明老師執(zhí)教的“平面圖形的密鋪”一課，就是讓學生經(jīng)歷“選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進行密鋪”到“從邊長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形和正八邊形中選擇兩種合適的正多邊形進行密鋪”再到“用形狀、大小完全相同的任意三角形、任意四邊形進行密鋪”這樣“一步一步”的“變異”過程，既動手又動腦，真正學習自然發(fā)生。

三、具身經(jīng)驗：認知形態(tài)系統(tǒng)的概括性邏輯秩序，規(guī)劃讓學習真正發(fā)生的“跑道”

具身認知（Embodied Cognition）主張“認知是通過身體的體驗及其行為活動方式而形成”。[5]這就強調(diào)人的身體在認知過程中起到了不可替代的作用。已有研究表明：身體的物理屬性對認知的內(nèi)容具有直接的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在現(xiàn)實物質(zhì)概念上，同樣體現(xiàn)在抽象的理性概念上。[6]當然，這些抽象概念的獲得與保持不完全依賴于身體的具身經(jīng)驗（感覺經(jīng)驗），這也是數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累的邏輯根據(jù)。這里的“做”突出“現(xiàn)實物質(zhì)概念”的本體特征，而“思考”側重突出“理性概念”特征，從而形成具身經(jīng)驗產(chǎn)生式系統(tǒng)（做數(shù)學→理解數(shù)學→具身經(jīng)驗）。

在經(jīng)典學習心理學理論中，大腦的學習方式主要可以分為兩種：聯(lián)想學習（associative learning）和觀察學習（observational learning）。[7]把“神經(jīng)學”借用到數(shù)學實驗范疇，則可以把“觀察學習”看作是“做”數(shù)學的邏輯手段，“聯(lián)想學習”看作是“用”數(shù)學的邏輯思維，這也是讓學習真正發(fā)生的兩條“跑道”，缺一不可，需要我們科學地規(guī)劃。這些經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性的邏輯秩序，內(nèi)在地支配著認知形態(tài)系統(tǒng)的概括性能力。當然，觀察學習始于現(xiàn)實經(jīng)驗，終于重組經(jīng)驗，對行為模仿、社會技能習得、文化傳播以及價值觀形成起到關鍵作用。聯(lián)想學習始于定向經(jīng)驗，終于素養(yǎng)經(jīng)驗，對記憶、情緒、習慣以及獎懲系統(tǒng)的形成至關重要。因此，數(shù)學實驗在具身經(jīng)驗層面的邏輯秩序可從三個維度進行規(guī)劃：一是讓學生在相似情境經(jīng)驗中，進行同化性具身實驗；二是讓學生在半開放問題解決中，進行順應性具身實驗；三是讓學生在“中間變量”（機體的內(nèi)部變化）的行為中，進行重組性具身實驗，形成具身經(jīng)驗可靠性范式。

例如，在進行“估算”這一概念教學時，設計了易于實踐的“折紙”活動，集中反映具身經(jīng)驗獲得的邏輯秩序。具體流程概括如下：首先，讓學生取出一張標準報紙，嘗試對折8次，猜想、驗證疊后報紙的厚度，并算出一張報紙的可能厚度；其次，讓學生解決一張報紙連續(xù)對折30次后，其厚度的估計值，并與珠穆朗瑪峰的海拔高度相比較；再次，讓學生估計《數(shù)學實驗手冊》的厚度，并說明個體結論獲得的過程；最后，讓學生設計編制估算蘇科版七年級《數(shù)學》上冊教科書厚度的預案，以及如何估測該書100頁、50頁、10頁和1頁的厚度。另外，讓學生逆向估計多少本這樣的教科書壘成的高度才能為1米，并用1米高的課桌驗證結論的接近度。

僅從具身認知邏輯秩序來說，“折→疊→猜測→估算→驗證→比較”等具身認知行為，是同化概念經(jīng)驗的具體表現(xiàn)；“編制→估計→度量→推算”一本書的厚度、部分書頁的厚度，是順應概念經(jīng)驗的逆向思維表現(xiàn)；“估測報紙的厚度→估測手冊的厚度→估測教科書的厚度”以及由“執(zhí)行方案”到“制定、實施方案”是“中間變量”重組建立新經(jīng)驗體系的過程，反映具身經(jīng)驗在問題解決與提出中的改造作用。經(jīng)歷這樣的反復認知與實踐過程，在“觀察”與“聯(lián)想”這兩條“跑道”上行進，學生對“估算”這一概念的學習自然是真正的發(fā)生。本次展評活動中的“函數(shù)”一課，執(zhí)教者通過創(chuàng)設動態(tài)的“汽車加油”情境，讓學生有“身臨其境”的具身感，后續(xù)學習的通道自然打開。

四、審美關系：認知形態(tài)系統(tǒng)的科學性邏輯秩序，開通讓學習真正發(fā)生的“航道”

審美是數(shù)學學習的開端，“哪里有數(shù)，哪里就有美。”（普洛克拉斯語）審美關系是直覺思維的表現(xiàn)形式，帶有強烈的“天地與我共生，萬物與我為一”的整體性特征。這就好比孩子認母親，都是從“整體”來觀察，可以說這種審美的整體性就是讓學習（認知）真正發(fā)生的“航道”。數(shù)學實驗是直覺思維的重要載體，能讓學生在科學方法的選擇中不斷地發(fā)展審美邏輯秩序。數(shù)學實驗的整體性表現(xiàn)在審美選擇關系層面、審美建構關系層面以及審美邏輯關系層面，認證活動對象的整體屬性本身就是審美關系科學建構的結果狀態(tài)。龐加萊“從直覺是一種無意識思維活動的觀點出發(fā)”，證實“在無意識的活動中，審美情感發(fā)揮著選擇作用”，從而認定選擇的直覺經(jīng)常表現(xiàn)為美的直覺。[8]實踐表明：讓學習真正發(fā)生的“好課堂”“好念頭”抑或是“好問題”往往帶有數(shù)學審美特征。數(shù)學實驗作為“好課堂”重視心理審美環(huán)境的建設，“數(shù)學實驗室”的建立就是對環(huán)境審美的外化，“課題學習”就是好念頭或好問題做出選擇的心理范式，從這一意義層面來說，數(shù)學實驗也是建立審美關系的“航道”，反映認知形態(tài)系統(tǒng)的科學性邏輯。

許多數(shù)學家從數(shù)學是藝術出發(fā)，認定一個科學理論成就的大小，事實上就是它的美學價值的大?。豢茖W結論的合理性要在它的審美價值中去尋找，并用它來判定科學方法的合理性。[9]在數(shù)學實驗審美關系范疇，可以從以下三條“航道”直達美的直覺：一是變化問題情境，突出思維的相似性特征；二是變換問題角度，突出思維可辨性特征；三是變化監(jiān)控方式，突出思維的獨立性特征。

例如，為揭示“旋轉不變”的邏輯屬性，基于審美關系我們設置了“玩三角板”的數(shù)學實驗，其基本流程如下——首先，讓學生剪出一對全等的直角三角形紙板，并取其中一張沿直角頂點，經(jīng)過兩次折疊，折出一個45°角。其次，讓學生（兩人合作）將全等的等腰直角三角板按圖1的方式放置，寫出其中非全等的相似三角形以及線段BD、DE、CE之間的數(shù)量關系并說明理由。第三，讓學生按圖2方式疊放正方形紙板和等腰直角三角形紙板，猜想線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關系并說明理由；連接圖2中的線段BD交AE于點M，交AF于點N，直接寫出BM、MN、ND之間的關系。最后，讓學生按圖3的方式疊放全等的等腰直角三角板，并繞點P旋轉，寫出旋轉過程中所有非全等的相似三角形，并說明理由以及寫出可能存在的函數(shù)關系。

審美是自由的表征，是自由創(chuàng)造的途徑和中介，是持續(xù)性學習（真正發(fā)生的學習一定是持續(xù)性學習）的潤滑劑?！凹舫觥鄢觥B放→旋轉”行為動作是審美關系得以建立的直覺基礎，突出情境相似性特征，反映認識形態(tài)系統(tǒng)的科學統(tǒng)一性；“單稱相似變換→復稱全等變換→復稱相似變換”的直覺思維運動行為是審美關系建立的邏輯基礎，突出“變換角度看問題”的審美意義，反映認識形態(tài)系統(tǒng)的可辨性特征；“不穩(wěn)態(tài)二次數(shù)量關系→穩(wěn)態(tài)一次數(shù)量關系→穩(wěn)態(tài)二次數(shù)量關系→穩(wěn)態(tài)函數(shù)關系”的審美行為是審美關系得以提升的邏輯秩序，帶有強烈的獨立性特征，反映數(shù)學實驗在科學與審美范疇的共通性價值秩序。前文所提到的“正方形中的45°美”一課，其審美關系的建立也是可圈可點的，讓學習真正發(fā)生的“航道”非常暢通。

綜上，認知系統(tǒng)的邏輯秩序，存在于每一個具體行為的背后，揭示讓學習真正發(fā)生的“道”。其中，知覺目標的確立是其邏輯根據(jù)，變異思維和具身經(jīng)驗是邏輯基礎，審美關系是邏輯線索，四者共同作用，可使得學習真正發(fā)生。

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