小學(xué)數(shù)學(xué)線段圖的呈現(xiàn)及應(yīng)用

魏芳

近期，全程參與了市教研室組織的“學(xué)科帶頭人展示活動”，觀摩了兩節(jié)“解決問題策略”的公開課，分別是蘇教版（下同）小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“從問題想起”和四年級下冊“畫圖的策略”。活動之后，教研室組織了解讀教材活動，探討公開課背后更本源的內(nèi)容。解讀中的爭論焦點在于兩節(jié)公開課中都涉及到的線段圖：教材編排的線段圖究竟價值何在？以怎樣的方式呈現(xiàn)線段圖更為合適？這兩個核心問題引發(fā)了大家的熱議，也引起了筆者的關(guān)注與思考。

一、 解讀“線段圖”，應(yīng)具有縱向視野

數(shù)學(xué)知識最顯著的特點是它的前后關(guān)聯(lián)性，其形成與發(fā)展也是由易到難、由淺入深逐步推進的。如線段圖的出現(xiàn)，并非一蹴而就，而是依據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律和知識的特點逐層滲透的。

1.厘清“線段圖”的發(fā)展趨勢

縱觀教材中編排的“線段圖”，由最初的直條“遮蓋”具體數(shù)量，逐步過渡到用直條概括數(shù)量的多少，最后再用線段表示數(shù)量的多少及關(guān)系，體現(xiàn)了由易到難、由具體到抽象的特點，具體分析如下。

（1）用直條“遮蓋”數(shù)量及關(guān)系。教材中第一次用直條的方式表示數(shù)量及關(guān)系，是在二年級上冊“表內(nèi)乘除法的練習(xí)”中（圖1）。意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是“求8個3相加的和是多少？”這里的直條具有“遮蓋”具體數(shù)量的作用，學(xué)生在計算后還能用數(shù)一數(shù)的方法驗證直條后面的五角星個數(shù)。

（2）用直條概括數(shù)量及關(guān)系。第二次出現(xiàn)直條圖是在二年級下冊“兩位數(shù)加減法”中（圖2）。用不同顏色的直條表示不同的數(shù)量，且隱藏的個數(shù)較多，不容易再像第一次那樣可以去數(shù)個數(shù)，這里的直條具有概括的作用。學(xué)生根據(jù)文字的敘述與直條的長短來理解兩種數(shù)量之間的關(guān)系，從而分析和解決問題。

用線段表示數(shù)量及關(guān)系。教材正式出現(xiàn)線段圖，是在三年級上冊“從條件想起”（圖3）中。這是首次用簡潔的線段圖表示條件與問題，讓學(xué)生根據(jù)條件填寫線段圖中的數(shù)據(jù)，借助線段圖從條件出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系。在三年級下冊“從問題想起”（圖4）中，讓學(xué)生根據(jù)實際情境中的條件補足線段圖及問題，借助線段圖從問題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系。在四年級下冊“用畫圖的策略解決問題”（圖5）中，讓學(xué)生根據(jù)實際問題中的兩個未知量的關(guān)系補全線段圖，根據(jù)線段圖從不同角度分析數(shù)量關(guān)系。

2.把準(zhǔn)各階段“線段圖”的核心

理清教材編排“線段圖”的意圖是第一要義，接下來就要結(jié)合學(xué)生的認知特點和知識的發(fā)展線索，合理呈現(xiàn)線段圖，借助線段圖來分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生表征信息、分析問題和解決問題的能力。

（1）從條件出發(fā)思考。三年級上冊“從條件出發(fā)思考”（圖3）中，因呈現(xiàn)的條件較多，關(guān)系較復(fù)雜，需要借助線段圖來分析綠花、黃花和紅花之間的關(guān)系：已知“綠花有12朵”，可以用一條線段表示綠花的朵數(shù)；已知“黃花的朵數(shù)是綠花的2倍”，那么表示黃花朵數(shù)的線段應(yīng)是2條表示綠花朵數(shù)的線段那么長；已知“紅花的朵數(shù)比黃花多7朵”，因此表示紅花朵數(shù)的線段應(yīng)比表示黃花朵數(shù)的線段稍長一些。問題是求“紅花有多少朵？”應(yīng)把“？”標(biāo)示在表示紅花朵數(shù)的線段下面。這里的線段圖是根據(jù)條件之間的關(guān)系逐步呈現(xiàn)的，根據(jù)直觀形象的圖示，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系：“綠花的朵數(shù)×2=黃花的朵數(shù)”，“黃花的朵數(shù)+7=紅花的朵數(shù)”。使學(xué)生感受到線段圖能直觀地表征出三種花朵數(shù)之間的關(guān)系，并能從已知條件“綠花有12朵”出發(fā)，一步步推算出所求的問題。體驗到“從條件出發(fā)”分析和解決問題的過程和本質(zhì)，建構(gòu)起“由因至果”的思考模型，積累解決問題的經(jīng)驗。

（2）從問題出發(fā)思考。三年級下冊“從問題出發(fā)思考”（圖4）中，要求“買一套衣服要用多少元？”需要知道兩個條件：一件上衣的價錢和一條褲子的價錢，其中褲子的價錢已知，上衣的價錢未知，因此要先求出上衣的價錢?？梢愿鶕?jù)“上衣的價格是褲子的3倍”畫出表示上衣的線段，應(yīng)是3段表示褲子價錢的線段那么長。問題“買一套衣服要用多少元？”可以用大括號把表示褲子價錢的線段和表示上衣價錢的線段合并起來，再標(biāo)出“？”。這里的線段圖是從問題出發(fā)，一步步尋找所需要的條件，再根據(jù)條件之間的關(guān)系逐步呈現(xiàn)的。根據(jù)直觀圖示，學(xué)生容易想到其中的數(shù)量關(guān)系：“一套衣服要用的元數(shù)=褲子的價錢+上衣的價錢”，上衣的價錢不知道，再用“褲子的價錢×3=上衣的價錢”求得。使學(xué)生體會到“從問題出發(fā)”分析問題的過程和本質(zhì)，建構(gòu)起“執(zhí)果索因”的思考模型，積累更豐富的解決問題的經(jīng)驗。

（3）用畫圖的策略解決問題。四年級下冊“用畫圖的策略解決問題”（圖5）中，問題涉及兩個未知量，條件中已知兩個未知量之間的和與差的關(guān)系。在教學(xué)時要充分激活學(xué)生已有的經(jīng)驗積累，喚起學(xué)生畫線段圖來表征數(shù)量關(guān)系的需要。這里，要把畫線段圖作為一個重要的教學(xué)目標(biāo)，同時線段圖也是幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的思考媒介。從直觀形象的圖示中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)兩種不同的思路：從總數(shù)中去掉多的12枚，就是2個小寧的枚數(shù)，再分別求出小寧和小春的枚數(shù)；或者在總數(shù)中加上12枚，就是2個小春的枚數(shù)，再分別求出小春和小寧的枚數(shù)。這里，“畫”線段圖是學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的需要，“看”線段圖則能幫助學(xué)生理清兩種未知量之間的關(guān)系，“畫”和“看”是兩個相輔相成的過程，缺一不可。至此，學(xué)生充分感受到線段圖之于分析數(shù)量關(guān)系的價值，對線段圖在解決問題過程中的價值體驗也會更深刻。

二、 應(yīng)用“線段圖”，要拓寬橫向關(guān)聯(lián)

借助線段圖來表征實際問題中的信息，其本質(zhì)是理清條件與問題之間的關(guān)系，確定解題思路，最終求解問題。問題千變?nèi)f化，線段圖表征信息的方式也會靈活多樣。

1.同中求異，靈活拓展思路

同一種解決問題的策略，其思考路徑是相同的，但具體問題的呈現(xiàn)方式、內(nèi)涵會有所不同。在三年級上冊“從條件想起的策略”中，學(xué)生初次完整地接觸了線段圖，并能借助線段圖從條件出發(fā)思考和解決問題。之后，需要運用豐富的實例，幫助學(xué)生感悟到解決問題的策略是相通的，但具體的解決方法是不同的。如下面的線段圖，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖提出不同的問題，并解答。

通過分析，學(xué)生能夠感受到線段圖呈現(xiàn)信息的方式不同，如圖6中，把表示桃樹和梨樹棵數(shù)的線段合并成一條長線段，用另一條線段表示蘋果樹的棵數(shù)，學(xué)生能解答“桃樹和梨樹一共多少棵”和“蘋果樹有多少棵”等不同問題。當(dāng)然，還可以呈現(xiàn)相似的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用線段圖表征信息，再分析解答。通過多樣的練習(xí)，幫助學(xué)生充分體驗到策略之于同類問題的統(tǒng)攝作用，更能感受到不同問題的呈現(xiàn)方式各不相同，其中蘊含的數(shù)量關(guān)系也是豐富而靈活的。

2.異中求同，體會核心內(nèi)涵

現(xiàn)實世界中的實際問題是復(fù)雜多變的，但某一種策略有時卻能統(tǒng)領(lǐng)一系列具體問題。在四年級下冊“用畫圖的策略解決問題”中，問題變化多樣，但其核心都是借助線段圖來表征復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而理清思路，解決問題。如下面的兩個問題：（1）小寧和小星一共有畫片86張。小星比小寧多8張，兩人各有畫片多少張？（2）小寧和小星一共有畫片86張。小星給小寧8張后，兩人畫片的張數(shù)同樣多。兩人原來各有畫片多少張？這兩個問題具體表征的線段圖并不相同（圖7、圖8）：

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，問題（1）中兩人的畫片張數(shù)之差是8張，而問題（2）中兩人的張數(shù)之差是2個8張。通過直觀的對比與分析，學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握實際問題中的數(shù)量關(guān)系，并順利解決問題。之后，教師要組織學(xué)生進行深入比較：這兩個實際問題不同，所畫的線段圖也不同，數(shù)量關(guān)系更不同，但最本質(zhì)的相同之處在哪里？引發(fā)學(xué)生關(guān)注兩個問題的策略核心：借助線段圖把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰有序，利于思考。

3.靈活應(yīng)用，凸顯獨特價值

線段圖是學(xué)生分析問題和解決問題的一種有效的思維輔助，學(xué)生對線段圖價值的感悟是隨著解決問題的過程逐步積累的。特別是到了高年級，實際問題中的數(shù)量關(guān)系更復(fù)雜，線段圖就是他們形象表征和理清數(shù)量關(guān)系的重要媒介。如六年級的“分數(shù)乘除法實際問題”中，線段圖更是發(fā)揮了不可忽視的作用。舉例說明：兩筐蘋果共重56千克。從第一筐取出放入第二筐，兩筐蘋果就同樣重。原來兩筐蘋果各重多少千克？學(xué)生可以借助線段圖（圖9）進行分析。

根據(jù)線段圖可以發(fā)現(xiàn)原來第一筐是9份，第二筐是5份，可以求出1份是：56÷（9+5）=4千克，原來第一筐就是9個4千克即36千克，第二筐就是5個4千克即20千克；也可以把第一筐的千克數(shù)看作單位“1”，結(jié)合分數(shù)除法的意義求出第一筐的千克數(shù)：56÷（1+）=36千克，再求出第二筐的千克數(shù)：36×（1-×2）=20千克。學(xué)生從多種角度思考的方法，利益于線段圖的形象支撐，幫助他們進行邏輯推理。

皮亞杰的認知發(fā)展階段理論把7～11歲的兒童（也就是小學(xué)生）稱為具體運算階段，這個階段的兒童缺乏抽象邏輯推理能力，他們的思維帶有很大的具體形象性，但是他們能憑借具體形象的支撐，進行邏輯推理。因此，在學(xué)生解決一些抽象的數(shù)學(xué)實際問題時，為他們提供一些具體形象的材料，如線段圖等直觀輔助，能讓他們進行“選擇性知覺”，再進行分析比較，促進抽象概括，利于形成并獲得解決問題的策略經(jīng)驗。

【責(zé)任編輯：陳國慶】