操作·思考·應(yīng)用·反思

李曉梅

所謂數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是在教學(xué)目標(biāo)的指引下，通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍所形成的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)探索的過(guò)程。也就是說(shuō)，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐中隨著思維過(guò)程而不斷積累的。在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，動(dòng)手實(shí)踐是應(yīng)用最廣泛的一種學(xué)習(xí)方式。本文以“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)為例，對(duì)如何引導(dǎo)學(xué)生在有效操作中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)探討。

一、在操作中豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生需要通過(guò)一些外顯的動(dòng)手操作活動(dòng)，對(duì)學(xué)習(xí)材料形成直觀認(rèn)識(shí)。動(dòng)手操作雖然不一定能直接解決問(wèn)題，但學(xué)生能從中獲取抽象素材，并在操作體驗(yàn)中形成對(duì)學(xué)習(xí)材料的直接經(jīng)驗(yàn)。這種直接經(jīng)驗(yàn)往往是他們?cè)诰唧w活動(dòng)過(guò)程中所留下的、具有個(gè)體特征的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一般是學(xué)生個(gè)人感覺(jué)或知覺(jué)方面的。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生從一年級(jí)就開(kāi)始形成并積累一些動(dòng)手操作方面的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷累積的操作經(jīng)驗(yàn)有助于他們?cè)谛轮獙W(xué)習(xí)中進(jìn)行操作，有助于他們進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教師先創(chuàng)設(shè)一個(gè)問(wèn)題情境：圓桌和菜板都有點(diǎn)開(kāi)裂，要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。分別需要多長(zhǎng)的鐵皮？學(xué)生或者遇到過(guò)這樣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，或者能很快想到以前學(xué)過(guò)的周長(zhǎng)知識(shí)，從而有效激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或測(cè)量圓的周長(zhǎng)的操作經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生新知探究中的測(cè)量操作活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。怎樣求圓的周長(zhǎng)呢？有的學(xué)生想用卷尺或皮尺直接繞一圈量，有的學(xué)生想把圓形物體在直尺上滾一圈后量出長(zhǎng)度，有的學(xué)生想用線(xiàn)在圓形物體上繞一圈后量線(xiàn)的長(zhǎng)度等。教師出示兩個(gè)不同的圓形物體（一大一?。?，問(wèn)學(xué)生除了上面的這些方法外，還可以怎樣求圓的周長(zhǎng)？為了引導(dǎo)學(xué)生迅速進(jìn)行新知探究，教師追問(wèn)學(xué)生圓的大小與什么有關(guān)系？學(xué)生很快猜測(cè)圓的周長(zhǎng)可能與直徑和半徑有關(guān)系。又有怎樣的關(guān)系？教師讓學(xué)生取出課前各自準(zhǔn)備的圓形物品，分別量出它們的周長(zhǎng)和直徑，算出周長(zhǎng)和直徑的比值，并把結(jié)果填入下表中，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生在測(cè)量和計(jì)算中獲得了對(duì)圓的周長(zhǎng)和直徑關(guān)系的直觀感受。盡管只是學(xué)生個(gè)人的認(rèn)知，是比較原始、膚淺和模糊的，甚至可能是片面的，但這種直接經(jīng)驗(yàn)不但能豐富學(xué)生的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且是學(xué)生形成新經(jīng)驗(yàn)的重要素材。當(dāng)然，學(xué)生的操作離不開(kāi)教師的適當(dāng)引導(dǎo)，其目的是幫助學(xué)生初步形成正確、清晰的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、在思考中形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)階段的概念、公式、規(guī)律一般是由合情推理（由特殊到一般的推理）產(chǎn)生的。學(xué)生動(dòng)手操作后，教師要為他們提供自由想象、自由發(fā)揮和自主探索的時(shí)間和空間，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程成為他們?cè)侔l(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過(guò)程。學(xué)生在“數(shù)學(xué)地思考”的過(guò)程中，常常能獲得一些歸納、類(lèi)比或證明等思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并且這種經(jīng)驗(yàn)是對(duì)剛剛形成的操作經(jīng)驗(yàn)的一種提升。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷抽象、歸納的過(guò)程，幫助學(xué)生積累合情推理的經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生操作后，迫切地想知道自己的發(fā)現(xiàn)對(duì)不對(duì)，也想了解其他同學(xué)的操作結(jié)果和發(fā)現(xiàn)。同學(xué)間交流就成了學(xué)生最想做的事情。有的學(xué)生由于課堂時(shí)間有限，只能對(duì)一個(gè)圓形物體進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算，觀察結(jié)果可能有失偏頗。交流時(shí)，學(xué)生先了解各自測(cè)量了哪些物品，接著了解相同物品的周長(zhǎng)，如1元硬幣，反饋中有7？郾4厘米、7？郾5厘米、7？郾3厘米，直徑分別是2？郾4厘米或2？郾5厘米。然后，開(kāi)展周長(zhǎng)和直徑的比值的討論，保留一位小數(shù)（約等于3？郾1）、保留兩位小數(shù)（有明顯區(qū)別）、保留三位小數(shù)（結(jié)果不準(zhǔn)確且麻煩），最后想象結(jié)果保留四位、五位小數(shù)的情況。學(xué)生在交流中不但能了解測(cè)量的實(shí)際價(jià)值和局限，而且能加深對(duì)測(cè)量活動(dòng)的認(rèn)識(shí)。整體觀察表格時(shí)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些。由此引入圓周率可謂水到渠成，用字母π表示圓周率、發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)公式也就順理成章了。

學(xué)生在獨(dú)立測(cè)量、計(jì)算和填表中，初步感知圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)，但個(gè)例不能表示普遍規(guī)律，這就為他們的合情推理提供了猜測(cè)依據(jù)，同學(xué)交流使他們?cè)谙嗷ソ涣髦泄蚕韺W(xué)習(xí)資源，在豐富的例證中體驗(yàn)圓的周長(zhǎng)和直徑之間的關(guān)系是一種普遍現(xiàn)象，最終提煉出圓周率的概念。學(xué)生在“感知猜測(cè)—交流驗(yàn)證—抽象概括”中，不僅理解和掌握了圓周率的概念，體驗(yàn)了規(guī)律抽象與歸納的過(guò)程，還豐富了對(duì)測(cè)量的認(rèn)識(shí)。如此由直觀走向抽象，有助于學(xué)生初步形成“個(gè)例—規(guī)律”的合情推理經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生進(jìn)一步形成操作（測(cè)量）經(jīng)驗(yàn)。

三、在應(yīng)用中提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)隱性表明，學(xué)生有時(shí)很難明白或表達(dá)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，如果多次經(jīng)歷類(lèi)似的數(shù)學(xué)活動(dòng)，就會(huì)把前一活動(dòng)過(guò)程中獲得的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到新活動(dòng)中，從而還原前一活動(dòng)所獲得的經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題能幫助他們不斷“還原”數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)———應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系生活實(shí)際、在實(shí)際情境中解決問(wèn)題。

教師先引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的實(shí)際問(wèn)題：一輛自行車(chē)后輪胎的半徑大約是33厘米。這輛自行車(chē)后輪轉(zhuǎn)1圈，大約可以走多遠(yuǎn)？小明家離學(xué)校1千米，后輪轉(zhuǎn)480圈夠嗎？通過(guò)此題，學(xué)生在應(yīng)用圓的周長(zhǎng)公式解決實(shí)際問(wèn)題中加深對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)，接著引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算r=3cm、d=6cm和r=5cm時(shí)各圓的周長(zhǎng)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的周長(zhǎng)公式，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓桌面的周長(zhǎng)是4？郾72米求直徑，解決實(shí)際問(wèn)題。布置習(xí)題如下：

1. 一個(gè)圓形噴水池的半徑是5米，那么它的周長(zhǎng)是多少米？

2. 在一個(gè)圓形亭子里，小麗沿著直徑從一端走12步到達(dá)另一端，每步長(zhǎng)大約是55厘米。這個(gè)圓的周長(zhǎng)大約是多少米？

3. 小紅量得一個(gè)古代建筑中大紅圓柱的周長(zhǎng)是3？郾77米。這個(gè)圓柱的直徑是多少米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

4. 一只掛鐘的分針長(zhǎng)20厘米，經(jīng)過(guò)30分鐘后，分針的尖端所走的路程是多少厘米？經(jīng)過(guò)45分鐘呢？

5. 一個(gè)圓形牛欄的半徑是15米，要用多長(zhǎng)的粗鐵絲才能把牛欄圍上3圈？（接頭處忽略不計(jì)）如果每隔2米打一根木樁，大約要打多少根木樁？

6. 雜技演員表演獨(dú)輪車(chē)走鋼絲，車(chē)輪的直徑為40厘米，要騎過(guò)50米長(zhǎng)的鋼絲，車(chē)輪大約要轉(zhuǎn)動(dòng)多少周？

各種生活實(shí)際內(nèi)容的交叉安排，不但能促進(jìn)知識(shí)的相互融合，而且能啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行不同層次的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步感悟圓周率概念。解決這些不同的實(shí)際問(wèn)題，需要學(xué)生靈活應(yīng)用圓的周長(zhǎng)公式，從正向運(yùn)算到逆向運(yùn)算，從根據(jù)周長(zhǎng)計(jì)算直徑到根據(jù)周長(zhǎng)計(jì)算半徑……對(duì)多數(shù)學(xué)生而言，如果他們具備應(yīng)用意識(shí)并順利解決這些問(wèn)題，就說(shuō)明他們已經(jīng)形成相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。正如朱德全教授所說(shuō)的，應(yīng)用意識(shí)的生成是學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志。

四、在反思中內(nèi)化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)反思是幫助他們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要渠道。教師引導(dǎo)學(xué)生反思的過(guò)程，就是引導(dǎo)他們對(duì)已有和剛形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，就是幫助他們對(duì)既有經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)篩選、整理、優(yōu)化和提升的過(guò)程，也是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重組的過(guò)程，有助于學(xué)生把數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)由模糊變清晰、由片面變完善、由錯(cuò)誤變正確、由零散變結(jié)構(gòu)化。

課末，可由教師引導(dǎo)學(xué)生反思，學(xué)生在教師引導(dǎo)下有序反思，有助于學(xué)生把一個(gè)個(gè)知識(shí)“點(diǎn)”梳理成知識(shí)“鏈”，甚至形成一張知識(shí)“網(wǎng)”。反思時(shí)，學(xué)生除了對(duì)操作的經(jīng)驗(yàn)和思考的經(jīng)驗(yàn)會(huì)有所感悟外，他們?cè)凇霸賱?chuàng)造”過(guò)程中的成功或失敗體驗(yàn)也會(huì)獲得發(fā)展。學(xué)生在積累一些數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，他們的感性認(rèn)識(shí)和情緒體驗(yàn)便同時(shí)產(chǎn)生了，其他各種數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也能得到平衡發(fā)展。

（作者單位：江蘇省泰興市教師發(fā)展中心）