例說數(shù)學(xué)解題的思維過程

林瑞云

【摘 要】數(shù)學(xué)解題的重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式去思考問題。文章通過具體例子談?wù)剶?shù)學(xué)解題的思維過程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)表象 數(shù)學(xué)直感 數(shù)學(xué)想象 邏輯證明 解題過程

數(shù)學(xué)常常被稱為“思維訓(xùn)練的體操”，數(shù)學(xué)的這種思維價(jià)值可以通過有序的數(shù)學(xué)教學(xué)過程發(fā)揮出來，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)該在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、解題能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)能力，從而運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式去思考問題、分析問題、解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭露思維過程引起了人們的廣泛關(guān)注，揭露概念的形成過程，揭露命題的發(fā)現(xiàn)過程，揭露證明的探索過程，以及揭露這些過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤等。本文從解題分析的角度舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，展示解題的思維過程。先給出題目：

已知平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，求證：EB=DF。

一、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)表象

通過認(rèn)真閱讀題目所提供的信息，首先在意識(shí)里呈現(xiàn)出一個(gè)幾何圖形，伴隨著這個(gè)幾何圖形的是一個(gè)代數(shù)問題：由位置與數(shù)量關(guān)系去確定另一個(gè)數(shù)量關(guān)系。如圖1。

在問題的引導(dǎo)下，思路開始運(yùn)轉(zhuǎn)，腦子里出現(xiàn)一個(gè)平行四邊形的基本圖形，以及與此圖形有關(guān)的性質(zhì)，如：平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，等等。所以由四邊形EBFD為平行四邊形→EB=DF。

由這個(gè)命題的基本圖形，在我們腦海里逐漸浮現(xiàn)出來：由條件E、F分別是AD、BC中點(diǎn)所想起的問題有：（1）E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)能得到什么？（2）由平行四邊形ABCD能推導(dǎo)出什么結(jié)論？

一開始，“由平行四邊形ABCD這個(gè)條件能推導(dǎo)出什么結(jié)論”是一個(gè)開放性問題，我們似乎無從入手，不知道該往哪個(gè)方向去思考，但從要求證明的結(jié)論來看，隨著對(duì)結(jié)論的思考，思路慢慢清晰起來。

根據(jù)結(jié)論EB=DF，題目是否提供了相應(yīng)的條件？如果沒有直接提供，那么是否間接提供了？等等。由此想起相關(guān)知識(shí)，從而聯(lián)想起更多的儲(chǔ)存知識(shí)：（1）平行四邊形對(duì)邊相等；（2）四邊形EBFD是平行四邊形嗎？（3）由已知條件能推導(dǎo)出“四邊形EBFD為平行四邊形”嗎？這是表象的一個(gè)有序深化的過程。

二、產(chǎn)生數(shù)學(xué)直感

上述三個(gè)方面的思考，促使我們更注意圖形，圖中有△ABE，△DCF，平行四邊形ABCD。哪些信息對(duì)于我們解題有用？哪些是多余的呢？當(dāng)然，一開始我們并不知道，但是結(jié)論證明兩線段相等促使我們?nèi)タ紤]邊的關(guān)系。因?yàn)閮删€段相等可從平行四邊形的性質(zhì)得出，也可從兩個(gè)三角形全等或等腰三角形等角對(duì)等邊去判定，而已知給出了平行四邊形這個(gè)條件，所以我們的思路就集中到：從圖形中找邊所在的三角形或邊所在的平行四邊形。

這時(shí)，隨著問題的需要，圖1被分解出一系列的部分圖形，并呈現(xiàn)在我們眼前：

（1）圖（2）中△ABE與△CDF會(huì)全等嗎？四邊形EBFD是平行四邊形嗎？

（2）若△ABE≌△CDF，則需哪些條件？題目給出條件了嗎？由此我們又想到三角形全等的判定方法。

（3）若四邊形EBFD為平行四邊形，則需哪些條件？由此我們又想到了平行四邊形的五種判定方法，由題目給的條件，用哪種方法來判定四邊形EBFD為平行四邊形？

三、展開數(shù)學(xué)想象

對(duì)具體的感知和判別，使我們又看到AE=FC，AB=CD，∠A=∠C，從而可以判定△ABE≌△CDF。

由平行四邊形ABCD可得AD∥BC，AD=BC，由E、F為AD、BC中點(diǎn)，可導(dǎo)出ED∥BF，ED=BF，故四邊形EBFD為平行四邊形，從而產(chǎn)生新表象BE=DF。于是在數(shù)量關(guān)系A(chǔ)E=ED，BF=FC與BE=DF之間，在缺少聯(lián)系的畫面上，添上了幾個(gè)數(shù)量或位置關(guān)系：AD∥BC，AD=BC，ED=AD，BF=BC，ED∥BF，ED=BF。如圖3，則四邊形EBFD為平行四邊形。它們形成自然的邏輯關(guān)系，從而得出證明。

四、給出邏輯證明

證明1：

四邊形EBFD為平行四邊形EB=DF

證明2：

在ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C

∵E、F分別為AD、BC中點(diǎn)

∴AE=AD，F(xiàn)C=BC

∴AE=FC

在△ABE與△CDF中

AE=FC

∠A=∠C

AB=CD

∴△ABE≌△CDF中

∴EB=DF

這些證明是抽象思維的過程，表達(dá)得清楚，簡(jiǎn)捷而嚴(yán)謹(jǐn)。而取得這些結(jié)果卻經(jīng)歷了“表象—直感—想象”的形象思維過程，在得出EB=DF之前，平行四邊形是一個(gè)結(jié)論發(fā)散的開放題。為了與簡(jiǎn)捷的邏輯證明相對(duì)照，我們將思考過程（證明）圖示如下：

五、反思解題過程

上述的思維過程，把“題”作為考察對(duì)象，把“解”作為研究目標(biāo)，我們注重“解題思路分析”，并不是停留在解題研究這一階段上，而是把上述思維活動(dòng)（包括問題和解題）作為研究對(duì)象，探究解題規(guī)律，學(xué)會(huì)如何思考，如何探究，分解每個(gè)解題過程具體的探究方法。

當(dāng)然，證明過程也是一個(gè)思維過程，也需要我們?nèi)フ故舅季S過程，并且這種展示比前一階段的揭露有更高的層次，需要更強(qiáng)的主動(dòng)性，是培養(yǎng)思維批判性與深刻性較好的方法。下面對(duì)證明的書寫作出具體結(jié)構(gòu)的分析。

（一）首先，將證明1分成三步

第一步，從平行四邊形ABCD中可以得出AD∥BC，AD=BC，這是由已知條件推出AD與BC位置與數(shù)量關(guān)系的過程；

第二步，把另一條件用上，即E、F為AD、BC中點(diǎn)，得出ED=AD，BF=BC，與AD∥BC，AD=BC結(jié)合起來，得出ED∥BF，ED=BF，這是由數(shù)量與位置關(guān)系推出新的數(shù)量與位置關(guān)系的過程；

第三步，由上述關(guān)系得出四邊形EBFD為平行四邊形，從而推出EB與DF的等量關(guān)系。

（二）其次，根據(jù)上面的思路分析，將證明1的過程加以充補(bǔ)

（三）解題中給出哪些條件，用到了哪些知識(shí)（或方法），先用哪些條件，后用哪些條件，哪些條件相關(guān)聯(lián)。只需將其再作補(bǔ)充，便可更直觀地看到，解題過程是這樣一個(gè)有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合的“三位一體”的工作。通過分析解題思維過程，這個(gè)題目在解決過程中的知識(shí)結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系，進(jìn)一步歸納出“什么叫解題”：從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶儲(chǔ)存中提取有關(guān)的信息，并將這兩組信息組成一個(gè)和諧的自然的邏輯關(guān)系。

以上例題所示，經(jīng)歷了“表象—直感—想象—論證—反思”的思維過程，前半部分主要是形象思維，后半部分主要是邏輯思維，在敘述中注重解題思維活動(dòng)的再認(rèn)識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]朱和平.例說解數(shù)學(xué)題教學(xué)中的發(fā)散思維與收斂思維[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003（04）：38-40.