淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

展江平

摘 要：數(shù)形結(jié)合法作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中經(jīng)常應(yīng)用的一種方法與思想，可以幫助學(xué)生理解抽象概念，把握問題本質(zhì)，讓抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀、明了。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，不但是學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，也是教師教學(xué)的需求。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著十分重要的作用，以數(shù)學(xué)問題所具備的的條件與結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系為依據(jù)，分析代數(shù)意義，揭示幾何意義，其實(shí)質(zhì)是通過直觀的圖形來展示晦澀難懂的數(shù)學(xué)語言，將抽象思維、形象思維結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生思維的形象性，將問題化繁為簡，更加易于學(xué)習(xí)。這種數(shù)學(xué)方法是經(jīng)過長期實(shí)踐而總結(jié)出來的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用也十分廣泛。

一、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)應(yīng)用中存在的問題

1.數(shù)形結(jié)合思想觀念不強(qiáng)

教師具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合觀念可以在很大程度上提升教學(xué)效果。但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師仍關(guān)注教材知識的講解，更注重解題過程的邏輯推導(dǎo)，而對于數(shù)形結(jié)合這種技巧和方法則不夠重視。其原因是由于教師的疏忽，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用較少，掌握得不夠熟練，影響了學(xué)生掌握知識、解答題目的效率和質(zhì)量。

2.與數(shù)學(xué)理論知識脫離

數(shù)學(xué)是一門抽象學(xué)科，學(xué)生要借助各種方法和手段來充分理解數(shù)學(xué)知識。數(shù)形結(jié)合法就是其中的一種，但很多學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法時(shí)往往用不好，得不到想要的結(jié)果，這是因?qū)?shù)學(xué)理論知識掌握得不夠扎實(shí)而造成的。雖然學(xué)生具備了一定的邏輯思維能力，但對教材知識仍不熟悉，不能做到理論與實(shí)踐的有效結(jié)合，必然對數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用帶來阻礙。

3.對輔助教學(xué)手段不夠重視

很多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中不夠重視對信息教學(xué)手段的運(yùn)用，面對復(fù)雜難解的數(shù)學(xué)問題，還只局限于傳統(tǒng)的“粉筆式”教學(xué)。目前，多媒體技術(shù)已引入課堂，作為數(shù)學(xué)教師也要與時(shí)俱進(jìn)，充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，如使用多媒體演示圖形及作圖過程，等等，讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合法更感興趣，理解得更深刻。

二、教學(xué)中數(shù)形結(jié)合問題的解決對策

（一）增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想觀念

對于人教版高中教材“集合的運(yùn)算”一節(jié)，學(xué)生在剛剛接觸這節(jié)內(nèi)容時(shí)，必然會對集合與集合之間存在的關(guān)系理解困難。教師可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，讓學(xué)生通過字面去理解“交、并、補(bǔ)”的概念，之后再給出“維恩圖”，讓學(xué)生更直觀地感受，最后由教師用集合的語言加以闡述，將數(shù)形結(jié)合思想充分運(yùn)用起來。

比如，“假設(shè)有兩個(gè)集合，它們是M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}與N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，那么集合M∩N里面有幾個(gè)元素？”答案是2個(gè)。在分析這道題時(shí)，如果僅僅依靠數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解題，無論是在思路上還是在步驟上都會比較煩瑣，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)過認(rèn)真審題后就會發(fā)現(xiàn)x2+y2=1代表的是圓，x2-y=0則是拋物線，這個(gè)問題就可轉(zhuǎn)化為“第一個(gè)方程式所表示的圓和第二個(gè)方程式所表示的拋物線，兩者之間有幾個(gè)交點(diǎn)？”的問題，這樣一來，答案就可以通過畫圖而得出。

此外，教師還應(yīng)該充分認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)形結(jié)合這種教學(xué)方式，勤于探索和思考，在教學(xué)中要有意識地運(yùn)用這種方法，并積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用該方法來解決問題。同時(shí)，教師要辨識哪些問題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決會更便于學(xué)生理解，將數(shù)形結(jié)合思想落到實(shí)處，加強(qiáng)對教材內(nèi)容的探究，將數(shù)形結(jié)合法滲透到知識中去。

（二）幫助學(xué)生銜接數(shù)學(xué)理論知識

高中數(shù)學(xué)對于一部分學(xué)生而言是比較難的，想要學(xué)好則需具備較強(qiáng)的邏輯思維能力，要將數(shù)學(xué)原理與實(shí)際應(yīng)用有效結(jié)合。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多學(xué)生都是“死學(xué)習(xí)”，如教材中關(guān)于“三角函數(shù)”的知識，教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生熟練掌握正弦、余弦定理，并能夠舉一反三。學(xué)生往往死記硬背，解題時(shí)又不知從何入手。但利用數(shù)形結(jié)合法，可先將題目中的三角形畫出來，再思考相關(guān)公式，就會找到解決問題的辦法了。

1.數(shù)形結(jié)合與函數(shù)解析式的銜接

函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生學(xué)好函數(shù)至關(guān)重要。在函數(shù)中，圖像具備幾何特征，將其與函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，解釋函數(shù)的各種基本屬性，如定義域、單調(diào)性、周期性等，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。對于函數(shù)圖像，需要學(xué)生定形定性地全方位觀察和繪制，熟練掌握函數(shù)圖像的對稱變換和平移變換。解題過程中，要以數(shù)的特征為依據(jù)，構(gòu)建相匹配的幾何圖形，利用規(guī)律和特征來解決問題。也可以把圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，將圖形的推理部分弱化。于是，要解決圖形相關(guān)的問題，就變成了解決數(shù)量關(guān)系的問題。

比如，“已知雙曲線x2-4y2=4與直線y=k（x+）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，k的不同取值有幾個(gè)？”這道題根據(jù)數(shù)形結(jié)合法，第一步要畫出雙曲線的圖形，并畫出漸近線，根據(jù)圖形和題意得出直線過定點(diǎn)（- ，0），得出雙曲線漸近線方程，根據(jù)這個(gè)方程分析得出過這個(gè)定點(diǎn)且與漸近線平行直線和雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)k就有兩個(gè)不同的值，再進(jìn)一步分析過該點(diǎn)與雙曲線相切的直線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，k又有兩個(gè)不同取值，所以k有四個(gè)不同取值。

再比如，“方程sin2x=sinx，在區(qū)間x∈（0，2π）之間有多少個(gè)解？”答案是3個(gè)解。在分析的過程中，若單純利用數(shù)學(xué)解題方法也可以得出答案，但需要進(jìn)行一次計(jì)算，在計(jì)算的過程中可能會因?yàn)轳R虎而遺漏結(jié)果。如果利用數(shù)形結(jié)合法，首先就要在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出這兩個(gè)三角函數(shù)圖像，之后通過觀察就能得出正確答案，相比較起來，后者更簡便、準(zhǔn)確。

2.數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)基本概念的銜接

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求：數(shù)學(xué)課程要讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識與技能，理解數(shù)學(xué)的概念及其結(jié)論的本質(zhì)。隨著我國教育改革的不斷深入，高中數(shù)學(xué)也在與時(shí)俱進(jìn)，其中“雙基”的變化較為明顯。

比如，概率與倒數(shù)、算法等成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的基礎(chǔ)知識；立體幾何中，教師可以從不同角度來展開教學(xué)；對于不等式知識的教學(xué)，則更加注重其幾何背景及應(yīng)用，等等，這都說明數(shù)形結(jié)合思想與方法在我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的突出地位，應(yīng)用廣泛。高中數(shù)學(xué)知識較為抽象，在概念教學(xué)方面，教師要重視其來源與走向，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例來理解抽象概念。

3.數(shù)形結(jié)合與解析幾何的銜接

解析幾何知識是?？純?nèi)容，因?yàn)檫@部分知識可以充分考查學(xué)生的能力。學(xué)生在求解的過程中應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題。學(xué)生要扎實(shí)地掌握數(shù)形結(jié)合法，具有一定的基礎(chǔ)知識與基本技巧。作為高中數(shù)學(xué)教師，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，使學(xué)生對教材知識理解得更深入。

在解析幾何中遇到軌跡方程問題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法來解題是非常適合的。比如，“拋物線y2=4x上有兩個(gè)動點(diǎn)a和b，這兩個(gè)點(diǎn)都不是原點(diǎn)，已知ao垂直于ob，om垂直于ab，求m的軌跡方程，并說明這是什么曲線？”這道題目要從ab直線方程入手，首先要設(shè)其直線方程為x=ay+b（a≠0），將其代入曲線方程y2=4x中，得出y2-4ay-4b=0，設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），列出方程組y1+y2=4a，y1y2=-4b，根據(jù)題目已知條件得出x1x2+y1y2=0，最終推斷出ab恒過定點(diǎn)p（4，0），設(shè)點(diǎn)m（x，y），根據(jù)題目條件推斷出其軌跡是圓。教師可利用多媒體為學(xué)生展示出相應(yīng)圖例，以便于學(xué)生理解。

（三）運(yùn)用多媒體展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的方法

多媒體在我國高中課堂上已被廣泛引進(jìn)，作為教師應(yīng)了解多媒體的優(yōu)勢，并熟練掌握運(yùn)用多媒體的方法，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)，可以通過多媒體將正確圖形、作圖步驟、分析過程展現(xiàn)出來，對于學(xué)生有困惑、不理解的地方，教師要及時(shí)講解，借助多媒體與數(shù)形結(jié)合法，幫助學(xué)生直觀地理解和分析問題，更深入地掌握知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在講解解析幾何中的不等式問題時(shí)，教師也可以利用多媒體將不等式化解出來的曲線方程呈現(xiàn)給學(xué)生。比如，不等式y(tǒng)= -x2+ x+x2>4，求解。

（1）不等式變形得出y= -x2>4- x-x2，另得出y1= -x2，y2=4- x-x2。

（2）將這兩個(gè)式子再次變形得出x2+y12=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）。

（3）通過觀察得知這兩個(gè)式子表示的都是半圓，于是通過多媒體為學(xué)生展示出坐標(biāo)系中的這兩個(gè)半圓，答案就非常明了了。

三、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，能將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，這就是數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢所在，也是優(yōu)化解題途徑的重要方法。數(shù)形結(jié)合這種思想其本質(zhì)就是數(shù)和形的轉(zhuǎn)換，將直觀的形象與復(fù)雜的數(shù)據(jù)巧妙地結(jié)合在一起，讓學(xué)生更加容易解題。教師應(yīng)努力鉆研教材，教學(xué)中應(yīng)注意滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)和思考習(xí)慣，讓數(shù)形結(jié)合思想成為學(xué)生分析與解決問題的必備工具。

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