常利率下帶投資和干擾的再保險風(fēng)險模型研究

【摘要】本文研究了在常數(shù)利息力和常數(shù)投資回報率的情況下，考慮投資、再保險因素以及干擾項的影響，設(shè)定保險公司的保單數(shù)和索賠次數(shù)服從負(fù)二項分布，建立了一類帶投資和干擾項的再保險風(fēng)險模型。利用概率統(tǒng)計和保險精算的方法研究了該模型的相關(guān)性質(zhì)，給出了該模型破產(chǎn)概率的一個顯式表達(dá)式，同時求出了破產(chǎn)概率的Lundberg上界值。由于模型的引入更加符合實際，該研究結(jié)果對于保險公司的經(jīng)營和決策具有一定的指導(dǎo)意義。

【關(guān)鍵詞】破產(chǎn)概率 常利率 再保險 負(fù)二項分布 Wiener過程 Lundberg上界

目前，在保險風(fēng)險理論中，特別是在非壽險的精算理論研究中，有許多關(guān)于破產(chǎn)問題的研究都是基于經(jīng)典風(fēng)險模型提出和建立的，即：

U（t）=u-ct+S（t）

式中，u（u≥0）為保險公司的初始準(zhǔn)備金，c（c>0）為常數(shù)，表示保險費率，S（t）是到t時刻為止的總保險賠付額。

在對保險風(fēng)險模型的研究和推廣中，文獻(xiàn)[1-3]研究了利率因素的影響，文獻(xiàn)[4-5]研究了再保險因素的影響，文獻(xiàn)[6-7]研究了干擾項因素的影響，文獻(xiàn)[8-11]研究了保險公司自身投資的影響.在保險公司的實際經(jīng)營活動中，保險公司需要綜合考慮利率、投資和再保險等方面的許多因素來選擇經(jīng)營戰(zhàn)略，保持經(jīng)營的穩(wěn)定性、連續(xù)性和盈利性。

本文在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，同時考慮了利率、投資和再保險因素的多重影響，在索賠額服從負(fù)二項分布的情形下，利用微分方程和遞推法得到了連續(xù)時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式及其Lundberg上界值。

一、模型的建立

定義1-1 設(shè)u>0，c>0定義在同一完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，給定：

第一，u是保險公司的初始資本，c為單位時間內(nèi)收取的保費費率，cR為單位時間內(nèi)原保險人支付給再保險人的費率，i為常數(shù)利息率，j為單位時間內(nèi)的投資收益率，F(xiàn)為根據(jù)初始因素而得到的應(yīng)用于投資的資金，均大于零。

第二，Xk表示第k次的索賠額，且{Xk，k≥1}為取正值的獨立同分布隨機變量序列，N（t）表示時間段（0，t]內(nèi)賠付總次數(shù)服從參數(shù)為（α，p）的負(fù)二項分布。

第三，Yk=Y（Xk）表示加入再保險后，原保險人承擔(dān)的風(fēng)險函數(shù)，以下記My（r）表示索賠額Yk=Y（Xk）（k≥1）的矩母函數(shù).顯然，在這里，0≤Yk

第四，M（t）表示時間段（0，t]內(nèi)保險公司收到的保單數(shù)服從參數(shù)為（β，q）的負(fù)二項分布。

第五，W（t）是一個標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程，它表示利率波動、不確定收益和支出等因素，其中σ為干擾因子。

為了討論方便，有如下假設(shè)：

①{Xk，k≥1}，{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}，{W（t），t≥0}相互獨立

②為保證保險公司穩(wěn)定經(jīng)營，假設(shè)單位時間內(nèi)平均保費收入大于平均理賠額，即ES（t）>0。

則t時刻保險公司的盈余為：

其中，

定義1-2 破產(chǎn)時刻為T=inf{t：U（t）<0}，破產(chǎn)概率為ψ（u）=P{T<∞|U（0）=u}

二、主要結(jié)果及證明

定理2-1 盈余過程{U（t）≥0}具有平穩(wěn)獨立增量性

證明：令0≤t0≤t1≤...≤tn，則

和Y（XN（t2））-Y（XN（t1）），Y（XN（t3））-Y（XN（t2）），Y（XN（tn））-Y（XN（tn-1）），

是相互獨立的，因此，{U（t），t≥0}是獨立增量過程

又因為

對一切t≥0，M（t+m）-M（t），SR（t+m）-SR（t），W（t+m）-W（t）分別具有相同的分布，所以，對一切t≥0，U（t+m）-U（t）也有相同的分布，因而{U（t），t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程。

綜上所述，盈余過程{U（t），t≥0}具有平穩(wěn)獨立增量性。

定理2-2 對于盈利過程{S（t），t≥0}，存在函數(shù)g（r），r≥0，使得E[e-rs（t）]=etg（r），并且函數(shù)g（r）=0，存在唯一正解R，稱為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明：

即g（r）為凸函數(shù)，故方程g（r）=0至多有兩個解，r=0為其平凡解.

因為當(dāng)r充分大時，有g(shù)'（r）>0，因此，方程g（r）=0有且僅有一個正解，記為R，定理由此得證。

定理2-3 考慮盈余過程{U（t），t≥0}，其最終破產(chǎn)概率為：

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

當(dāng)t→∞時，（2）式右邊第一項為E[e-RU（t）|T≤∞]ψ（u），若是可以證得（2）式右邊第二項（記為I2）趨于零，則定理得證.因為對于給定的T，U（T）與S（t）-S（T）獨立，于是

對充分大的t，將展開I2，有

由此定理得證，此式為該風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的精確顯式表達(dá)式。

定理2-4 考慮盈余過程{U（t），t≥0}，其最終破產(chǎn)概率的一個Lundberg上界為：

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明：

由定理2-3可知：

定理得證，這是該風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的一個Lundberg上界.

三、結(jié)束語

本文圍繞經(jīng)典風(fēng)險模型盈余過程U（t）=u-ct+S（t）進行探究，并將該模型進行了合理的推廣，考慮并引入了利率、投資、再保險因素以及干擾項的影響，將原始模型中的保費收入以及索賠額分布均進行了改進，使得改進后的模型更加符合實際且更具有一般性.本文求出了該模型的破產(chǎn)概率表達(dá)式和Lundberg上界，保險公司可以根據(jù)該理論來研究和確定初始資本、投資資本、保費費率以及再保險的規(guī)模，從而更好的幫助保險公司經(jīng)營和決策。

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作者簡介：鄧皓天（1994-）男，漢族，湖南懷化人，上海財經(jīng)大學(xué)公共經(jīng)濟與管理學(xué)院投資系本科生，主要研究方向為房地產(chǎn)與金融投資。