“手拉手”

鈕曉杰

全等三角形這一章的學(xué)習(xí)全部結(jié)束后，周末在家復(fù)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)了一系列的問題，實(shí)在讓我興奮，于是便迫不及待地整理出來了，現(xiàn)和同學(xué)們分享！

問題引子：如圖1，在△AEC、△ADB中，∠EAC=∠DAB=90°，AE=AC，AD=AB，連接BE、DC，請說明線段BE、DC的關(guān)系.

思考過程：這題很特別，圖中有兩個(gè)等腰直角三角形，這兩個(gè)三角形很好玩，直角頂點(diǎn)是公共的，它們就像“手拉著手的好朋友”一樣，肯定會(huì)擦出火花. 老師在課上都是邊讀題邊在圖中標(biāo)注，我為了方便觀察，也把相等的邊和角用彩筆標(biāo)注出來（很遺憾，電子稿看不出來，說明一下：AE、AC用紅色標(biāo)注，AD、AB用藍(lán)色標(biāo)注），因?yàn)檠芯康氖荁E、CD的關(guān)系，所以我把目光落到△EAB、△CAD上，正好分別有紅邊、藍(lán)邊各一條，現(xiàn)在“邊”的條件用光了，就得挖掘“角”的功效了，而我只能證相等兩邊的夾角相等，因?yàn)槿绻疫x其余的角，那就是典型的“邊邊角”結(jié)構(gòu)，這是不能證明三角形全等的. 怎么辦呢？還有兩個(gè)直角沒有用呀！兩個(gè)直角之間隔了個(gè)∠BAC，各自加上這個(gè)銳角，不就有兩個(gè)相等的鈍角了嘛，正好是“SAS”結(jié)構(gòu)，可證出△BAE≌△DAC，所以BE=DC. 思考?xì)v程結(jié)束了嗎？并沒有. 題目問的是“BE和DC的關(guān)系”，應(yīng)該包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（這是我們同學(xué)常常犯錯(cuò)的地方，考慮問題不全面），相等僅僅是數(shù)量關(guān)系. 我目前知道的特殊的位置關(guān)系無非是平行和垂直，觀察這幅圖，我猜想應(yīng)該是垂直. 所以，我需證∠DFB是直角，也就是證∠FBD+∠FDB=90°. 剛才的那對全等三角形是一把利器，要把它的價(jià)值發(fā)揮到最大，全等帶來的∠ABE=∠ADC讓我成功地把∠FBD“割開”，變成∠ADC+∠ABD，再加上∠FDB，就變成∠ADB+∠ABD=90°，所以BE、DC的位置關(guān)系是垂直，于是最終得出結(jié)論：BE、DC垂直且相等（當(dāng)然，我們也可以充分運(yùn)用“基本圖形”：對于△ADG、△BGF，結(jié)合全等三角形帶來的∠ABE=∠ADC，可以得到∠DAG=∠BFG=90°）.

更大發(fā)現(xiàn)：我們不是為了做題而做題，更應(yīng)該發(fā)現(xiàn)問題背后的價(jià)值.本題從靜態(tài)的角度看，是兩個(gè)有著公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形組成了一對全等的三角形，而從動(dòng)態(tài)的角度看，是△BAE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△DAC. 這是老師說過的基本圖形“手拉手”問題，我梳理了一下我目前遇到的問題，有些問題表面與它不一樣，其實(shí)本質(zhì)完全相同，我們只要會(huì)做一題，就會(huì)做很多類似的題目了，這可能就是老師常常說的舉一反三吧.下面來看兩個(gè)例子：

例1 如圖2，在等邊三角形ACB、CDE中，連接AD、BE.

（1） 求證：AD=BE；（2） 求∠AFB的度數(shù).

例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°，得到△AED，連接BE、CD交于點(diǎn)F.

（1） 求證：△ABE≌△ACD；（2） 求∠ACD的度數(shù).

怎么樣，同學(xué)們，這兩個(gè)問題看著似乎與前面的不一樣，其實(shí)它們是一樣的哦！隨著學(xué)習(xí)的深入，“手拉手”的圖形肯定會(huì)有很多，其他基本圖形也將會(huì)很多，我很期待，你們呢？

【教師點(diǎn)評】小作者能在剛剛結(jié)束全等三角形的學(xué)習(xí)之后，聯(lián)想到“手拉手”的圖形，如此觸類旁通的學(xué)習(xí)能力值得推崇. 另外，他能把課堂上學(xué)習(xí)標(biāo)注的習(xí)慣用好，這對他日后增強(qiáng)識圖能力，提供了有力的保障. 以上兩點(diǎn)真心希望其他小讀者也能做到！

（指導(dǎo)教師：姜鴻雁）