那些年，我們認(rèn)識的全等運(yùn)用

范建兵

全等三角形是初中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，也是幾何入門的核心要素. 在這一章中，我們不僅探索了幾種證明三角形全等的方法，知道了幾種尺規(guī)作圖的方法及原理，還學(xué)到了利用全等解決一些實(shí)際問題. 下面，就讓我們一起來梳理一下全等判定方法的一些運(yùn)用吧！

一、 三角形全等判定方法的簡單運(yùn)用

兩個三角形全等的判定方法一般有4種，分別是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，對于直角三角形，還有一種特殊的判定方法，就是“HL”. 我們需要熟練掌握這些判定方法，靈活運(yùn)用，以解決一些圖形全等證明、線段和角計算等簡單問題.

1. 尋找不能判定兩個三角形全等的條件.

例1 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如圖1和圖2，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）.

A. AB=A′B′=5，BC=B′C′=3

B. AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C. AC=A′C′=5，BC=B′C′=3

D. AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°. 在A選項中：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定條件“HL”，∴A選項能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；在B選項中：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合直角三角形全等的判定條件，∴B選項不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C選項符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定條件“SAS”，∴C選項能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D選項符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定條件“ASA”，∴D選項能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 故選B.

【說明】本題主要考查對直角三角形全等判定的理解和掌握，解答此類題不僅需要掌握直角三角形全等的判定方法，還要熟練掌握其他判定三角形全等的方法.

2. 四邊形中的全等三角形的判定與性質(zhì).

例2 如圖3，已知四邊形ABCD，

（1） 若AB=CD，AD=BC，求證：∠A=∠C；

（2） 若AB∥CD，AB=CD，求證：AD∥BC；

（3） 若AB∥CD，AD∥BC，求證：AB=CD；

（4） 若∠A=∠C，AB∥CD，求證：AD=BC.

【解析】如圖4，連接DB，問題（1）中的全等條件有AB=CD，AD=BC，DB=BD，可用“SSS”證明全等，從而得到∠A=∠C；問題（2）中的全等條件有AB=CD，∠ABD=∠CDB，DB=BD，可用“SAS”證明全等，從而∠ADB=∠CBD，得到AD∥BC；問題（3）中的全等條件有∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，DB=BD，可用“ASA”證明全等，從而得到AB=CD；問題（4）中的全等條件有∠ABD=∠CDB，∠A=∠C，DB=BD，可用“AAS”證明全等，從而得到AD=BC.

【說明】例2共有四個小題，題目的指向非常明確，就是讓同學(xué)們復(fù)習(xí)鞏固三角形全等的四種證明方法. 連接DB后，根據(jù)已知條件，可以比較容易找到全等證明的方法，再利用全等三角形的性質(zhì)便可以得到對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等.

二、 三角形全等判定方法的綜合運(yùn)用

單一考查三角形全等證明方法的考題并不多，一般都是以全等為橋梁，考查同學(xué)們對三角形全等方法的綜合理解和認(rèn)識，或者通過全等來證明一些線段或角相等. 當(dāng)然也有一些特色考題，綜合性較強(qiáng)，考查方式靈活，值得同學(xué)們認(rèn)真探究.

1. 與圖形的面積有關(guān).

例3 （2016·江蘇淮安）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（ ）.

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

【解析】判斷出AP是∠BAC的平分線，如圖6，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”可得DE=CD（或者證明△ACD≌△AED（AAS）），然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得△ABD的面積為×4×15=30. 故選B.

【說明】等同學(xué)們學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)就會知道：角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等. 這也可以運(yùn)用三角形全等來進(jìn)行證明.

2. 與網(wǎng)格圖有關(guān).

例4 （2015·湖北宜昌）如圖7，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【解析】要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個單位長度，故點(diǎn)P的位置可以是P1、P3、P4三個，故選C.

【說明】在網(wǎng)格中判定三角形全等的題目，大多數(shù)是通過計算三邊長度進(jìn)行全等證明，但本題是共邊型問題，可以通過翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等幾何變換來判定點(diǎn)P的位置，也可以通過計算三邊長度來進(jìn)一步驗(yàn)證.

3. 與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)制作有關(guān).

例5 （2015·浙江紹興）如圖8，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線. 此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE. 則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）.

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS

【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD，BC=DC，利用“SSS”定理可判定△ADC≌△ABC，進(jìn)而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE. 故選D.

【說明】有關(guān)作圖題和設(shè)計類的數(shù)學(xué)問題，通常是運(yùn)用尺規(guī)制作，因此全等三角形的判定方法也是以“SSS”為主. 這是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時需認(rèn)真讀題，充分理解題意.

4. 與生活中的數(shù)學(xué)問題有關(guān).

例6 八（1）班同學(xué)到野外上數(shù)學(xué)活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設(shè)計了如下方案：如圖9，先在平地上取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，再測出DE的距離，最后根據(jù)△ABC≌△DEC得到DE的長即為AB的長. 該同學(xué)判定△ABC≌△DEC的依據(jù)是（ ）.

A. SAS B. AAS C. SSS D. HL

【解析】題目中共給出了兩條相等的邊及兩邊的夾角，據(jù)此可以根據(jù)“SAS”定理做出判斷.

在△ABC和△DEC中，DC=AC，∠ACB=∠DCE，EC=BC，

∴△ABC≌△DEC（SAS）.

故選A.

【說明】本題考查全等三角形判定定理的應(yīng)用，從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型來，解題的關(guān)鍵是熟知三角形全等判定方法“SAS”. 但可能會有學(xué)生讀不懂題意，或者無法尋找到這樣的數(shù)學(xué)模型.

通過以上梳理的一些全等運(yùn)用，我們可以發(fā)現(xiàn)，只要同學(xué)們勤學(xué)多思，熟記判定方法，全等證明將會變得“So easy”！

（作者單位：江蘇省蘇州市學(xué)府中學(xué)）