立序

荀步章

布魯納在《教育過程》中這樣闡述認(rèn)知主義教育思想：“任何學(xué)科的內(nèi)核是其結(jié)構(gòu)，而不是具體的技術(shù)細(xì)節(jié)；盡管結(jié)構(gòu)的本質(zhì)是簡(jiǎn)單的，但其存在形態(tài)卻可以是復(fù)雜的；任何學(xué)科，都是以結(jié)構(gòu)為中心的符號(hào)形式系統(tǒng)。”數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)更具普適性，數(shù)學(xué)素材呈現(xiàn)的首要任務(wù)是立序。數(shù)學(xué)素材呈現(xiàn)的“序”如何遵循認(rèn)知主義的教育思想，符合兒童認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)兒童思維發(fā)展呢？

一、 立素材發(fā)展之序，幫助兒童思維生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)素材呈現(xiàn)與學(xué)科的內(nèi)核結(jié)構(gòu)應(yīng)保持一致，才能遵循兒童思考問題的本質(zhì)。追求素材呈現(xiàn)的順序與課堂發(fā)展順序一致，不圃于具體的技術(shù)細(xì)節(jié)，才能幫助兒童思維更好生長(zhǎng)。筆者以蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“確定位置”為例，分析教材編排與課堂生成追求的結(jié)構(gòu)。

1.承前：用數(shù)對(duì)確定位置的起點(diǎn)

小學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)是用一個(gè)數(shù)確定位置，教材第一冊(cè)第14頁(yè)，老爺爺和小朋友排隊(duì)買票，他們排成一列，以窗口為參照物，老爺爺排第一，戴帽孩子排第二。這些內(nèi)容，兒童有相應(yīng)的生活經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)只要激活兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的方式表述，學(xué)生就會(huì)在線性層面上說清“第幾”。

2.需求：用數(shù)對(duì)確定位置的方法

一年級(jí)學(xué)習(xí)用“第幾”確定位置后，教材第十冊(cè)第15頁(yè)，再一次學(xué)習(xí)用兩個(gè)數(shù)確定位置。例題選取學(xué)生班級(jí)座位圖，從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，問“小軍坐在哪里？”學(xué)生回答時(shí)會(huì)出現(xiàn)幾種不同表述：“小軍坐在第4組第3個(gè)”，“小軍坐在第3排第4個(gè)”等等，由于說法不一致，產(chǎn)生統(tǒng)一表述的必要性，通常規(guī)定，“豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列一般從左往右數(shù)，確定第幾行一般從前往后數(shù)”。把學(xué)生座位圖抽象成點(diǎn)圖，小軍坐在第4列第3行，讓學(xué)生表示他的位置，并說一說為什么這樣表示。

3.突破：用數(shù)對(duì)確定位置的超越

學(xué)會(huì)用數(shù)對(duì)確定位置后，常規(guī)的課堂練習(xí)是找數(shù)對(duì)與位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了防止學(xué)生思維定勢(shì)，需要設(shè)計(jì)一些開放性、挑戰(zhàn)性的習(xí)題。如圖1，已知A點(diǎn)用數(shù)對(duì)（3，2）表示，估計(jì)B、C兩點(diǎn)分別用什么數(shù)對(duì)表示？讓學(xué)生猜一猜、說一說怎樣想的？再出示圖2，學(xué)生恍然大悟，點(diǎn)B用數(shù)對(duì)（5，3）表示，部分學(xué)生能夠猜出來。但點(diǎn)C的數(shù)對(duì)表示全班沒有一名學(xué)生猜出來，因?yàn)樗怯眯?shù)表示數(shù)對(duì)，即用（6.5，3.5）表示，學(xué)生又提出可不可以用分?jǐn)?shù)表示？引發(fā)學(xué)生用不同方法表示數(shù)對(duì)的興趣，并與后繼學(xué)習(xí)有效對(duì)接。

4.延伸：“線→面→體”用數(shù)對(duì)確定位置升華

學(xué)生掌握了用數(shù)對(duì)確定位置后，還不能停留于此，拓展學(xué)生的思維十分必要。幫助學(xué)生梳理，在一條線上，如何表示一點(diǎn)（圖3），從左向右數(shù)第4個(gè)，從右往左數(shù)第3個(gè)。由線到面，一排一排出示（圖4），紅色圓點(diǎn)如何表示？學(xué)生很快得到用數(shù)對(duì)表示為（4，2），簡(jiǎn)潔方便。再由面到體，一層一層出示（圖5），共三層，在最上層找一個(gè)點(diǎn)涂上紅色，用什么方法表示呢？有學(xué)生提出用三個(gè)數(shù)來表示，思維得到了生長(zhǎng)。

二、 立素材需求之序，促進(jìn)兒童思維成長(zhǎng)

布魯納說：“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，就是要學(xué)習(xí)事物是如何關(guān)聯(lián)的。”一節(jié)課的時(shí)間雖短，但其結(jié)構(gòu)存在形態(tài)卻可以是多樣的。高等數(shù)學(xué)與幼兒數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上是一致的，但存在形態(tài)上具有很大差別。比如低年級(jí)“求差問題”，教師出示圖6問學(xué)生：“蘋果比梨多幾個(gè)？”學(xué)生回答：“多2個(gè)?！薄盀槭裁矗俊苯處熃又鴨?。學(xué)生回答：“就是多2個(gè)?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/06/18/qkimagesjxgljxgl201609jxgl20160914-3-l.jpg"/>

教師的設(shè)計(jì)意圖是：“蘋果和梨是一一對(duì)應(yīng)的，右邊多出來的兩個(gè)，就是蘋果比梨多的兩個(gè)?！比欢鴮W(xué)生心里怎樣想？“一眼就能看出多2個(gè)，這還要問嗎？”教材是靜態(tài)文本的“終結(jié)”呈現(xiàn)，過程的設(shè)計(jì)需要教師來“創(chuàng)造”。因此，設(shè)計(jì)素材呈現(xiàn)順序時(shí)可以考慮采用“倒序”的方式。出示圖7，教師問：“蘋果多，還是梨多？”學(xué)生慢慢地?cái)?shù)，然后回答：“蘋果有9個(gè)，梨有7個(gè)，蘋果比梨多2個(gè)?！苯處熥穯枺骸皵?shù)的感覺怎樣？”學(xué)生說：“很麻煩，容易錯(cuò)?！苯處熇^續(xù)追問：“有好辦法嗎，讓人一眼就看出來，蘋果比梨多幾個(gè)？”學(xué)生想到把蘋果和梨分別排成一排。教師再出示圖8，“現(xiàn)在看一看，蘋果和梨一樣多嗎？”教師說。學(xué)生連忙反對(duì)：“不對(duì)呀，蘋果比梨多2個(gè)呢！”教師說：“看起來一樣呀！我們把蘋果和梨對(duì)齊以后放的?！睂W(xué)生激動(dòng)起來了，“不能這樣放，要把蘋果和梨一個(gè)一個(gè)對(duì)齊了，一下子就能看出蘋果比梨子多2個(gè)了。”教師再出示圖6。

教材中靜態(tài)的素材，要呈現(xiàn)怎樣的順序，讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣的思維，才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想油然而生，這些都值得每一位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真反復(fù)地思考。這里素材采用“倒序”的方式，先“立序”后“編材”，幫學(xué)生建立“一一對(duì)應(yīng)”的思想，從“無序”到“有序”，從“有序”到“一一對(duì)應(yīng)”，螺旋上升，而不是硬塞給學(xué)生。課堂上先呈現(xiàn)給學(xué)生一組雜亂的蘋果和梨的擺放圖，讓他們通過數(shù)一數(shù)的方法解決問題，但感到數(shù)得麻煩，產(chǎn)生擺成一排比一比的心理需求。接著，教師按學(xué)生要求把蘋果和梨子排成一排，但不是一個(gè)對(duì)著一個(gè)，而是僅僅把水果兩端對(duì)齊，感覺到還不夠“工整”，產(chǎn)生“一一對(duì)應(yīng)”的需求。學(xué)生在這一過程中，慢慢體悟到數(shù)學(xué)的思考方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)思想方法。

三、 立素材驗(yàn)證之序，提升兒童思維能力

在《教育過程》中，布魯納一直強(qiáng)調(diào)要重視兒童高級(jí)思維能力的開發(fā)，如頓悟與直覺思維等，它們?cè)诳茖W(xué)發(fā)現(xiàn)中起著重要作用，應(yīng)得到充分的關(guān)注。如教學(xué)“乘法交換律和結(jié)合律”時(shí)，學(xué)生通過自學(xué)教材了解乘法交換律用字母表示為“a×b=b×a”，教師采用展示學(xué)生思考結(jié)果的方式呈現(xiàn)課堂結(jié)構(gòu)。教師問：“你們有方法證明嗎？”學(xué)生說：“可以舉例子。”而且舉出了不同的例子：1×2=2×1、2×3=3×2、5×6=6×5。教師接著問：“例子舉得完嗎？有多少個(gè)？”學(xué)生說：“舉不完，有無數(shù)個(gè)。”教師說：“我們猜想出來的規(guī)律，需要通過不同路徑來驗(yàn)證。剛才，同學(xué)們舉了很多例子，還有其他辦法驗(yàn)證嗎？其實(shí)，我們很早就明白這個(gè)道理了，看圖9，停車場(chǎng)停12輛汽車，如何計(jì)算呢？”學(xué)生答：“可以用4×3=12（輛），也可以用3×4=12（輛）。”教師：“根據(jù)這幅圖，驗(yàn)證乘法交換律，一排停a輛車，一共有b排，停車場(chǎng)的車輛一共有多少輛？可以用（a×b）輛，也可以用（b×a）輛，結(jié)果應(yīng)該是一樣的。”

乘法交換律教學(xué)一般是從教學(xué)情境出發(fā)，由算式引發(fā)思考，學(xué)生舉例發(fā)現(xiàn)交換律的規(guī)律。而上述教學(xué)從規(guī)律本身出發(fā)，提出猜想，這個(gè)乘法交換律對(duì)嗎？如何驗(yàn)證？通過大量舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律的確定性，然而只是不完全歸納法。驗(yàn)證運(yùn)算律還可以通過不同路徑，從學(xué)生常見的情境出發(fā)，采用不同計(jì)算方法再次驗(yàn)證乘法交換律，使學(xué)生確信并深刻感受到，規(guī)律是客觀存在的，并且是被經(jīng)常運(yùn)用的。由此推廣到乘法結(jié)合律教學(xué)，教師說：“乘法還有什么運(yùn)算定律？”學(xué)生答：“乘法結(jié)合律：（a×b）×c=a×（b×c）?！苯處熣f：“你們有方法證明嗎？”學(xué)生舉例：（1×2）×3=1×（2×3）、（2×3）×4=2×（3×4）、（5×6）×10=5×（6×10）。教師問：“例子舉得完嗎？有多少個(gè)？”學(xué)生答：“舉不完，有無數(shù)個(gè)。”教師又出示三年級(jí)學(xué)習(xí)乘法時(shí)做過的一道題目，一共有多少箱蘋果，怎么列式？

學(xué)生答：“5×3×4?！苯處熣f：“先求什么？再求什么？”學(xué)生：“先求第一排有15箱，再求4排一共多少箱?！薄斑€可以用5×4×3，先求第一層有20箱，再求3層一共多少箱?！薄斑€可以豎著求，4×3×5，先求一列12箱，再求5列一共多少箱?！苯處熜〗Y(jié)：“其實(shí)，大家在列式的過程中，就存在著乘法結(jié)合律：（5×3）×4=5×（3×4）?！苯Y(jié)合學(xué)生已有體驗(yàn)，挖掘教材素材，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)不同列式，根據(jù)算式意義，發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用乘法結(jié)合律。教材中的三維立體圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法，求一共多少箱蘋果，學(xué)生從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取經(jīng)驗(yàn)，并積累發(fā)展活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成直觀模型，提升數(shù)學(xué)思維能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以素材為載體、結(jié)構(gòu)為中心、符號(hào)為系統(tǒng)，這是推動(dòng)學(xué)科發(fā)展最重要的動(dòng)力，教學(xué)的重心要放在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科內(nèi)驅(qū)力上，而不能僅憑外在刺激與獎(jiǎng)勵(lì)等外在驅(qū)動(dòng)手段。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】