一道高中聯(lián)賽預賽題的多解與拓展

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一道高中聯(lián)賽預賽題的多解與拓展

浙江省金華市第六中學(321000)虞懿

2014年陜西數(shù)學聯(lián)賽預賽題：

如圖1，已知圓O:x2+y2=1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,M是圓O上任意一點(除去圓O與兩坐標軸的交點)．直線AM與BC交于點P,直線CM與x軸交于點N,設(shè)直線PM、PN的斜率分別為m、n,求證：m-2n為定值．

1.解法呈現(xiàn)

圖1

故m-2n=1(定值)．

2.一般推廣

回顧此題，定值m-2n=1恰好是直線BC(或PB)斜率的相反數(shù)，即有kPA+kPB=2kPN,此結(jié)論是否具有一般性呢？為了減少推理運算的盲目性，筆者用幾何畫板對滿足上述信息的問題進行了一番演示，意外地發(fā)現(xiàn)，當直線PB與圓O的交點不在y軸上，則有：

圖2

結(jié)論1如圖2，已知圓O:x2+y2=r2與x軸交于A、B兩點(點B在點A右側(cè))，x軸上、下方有不在圓O上的動點P,設(shè)直線PA、PB與圓O的另一個交點分別為M、C,直線CM與x軸相交于點N,若直線PA、PN、PB的斜率存在，則kPA+kPB=2kPN.

3.變式拓展

一道好的試題往往是命題者研究成果的結(jié)晶，在同一個背景下，交換部分條件和結(jié)論，或給出某個問題一般結(jié)論的特例，便生成出一道新題，又能挑戰(zhàn)你的思維．筆者結(jié)合對相關(guān)題目的研究，又做了如下拓展：

結(jié)論4已知圓O:x2+y2=r2與x軸交于A、B兩點(點B在點A右側(cè))，x軸上有一定點N(x0,0)(x0≠0,±r)，不在x軸上的動點P，使得直線PA、PN、PB的斜率存在且滿足kPA+kPB=2kPN,設(shè)直線PA、PB與圓O的另一個交點分別為M、C.求證：N、M、C三點共線．

于是kMN=kCN,則N、M、C三點共線．上述結(jié)論對橢圓、雙曲線、拋物線是否成立呢？留給有興趣的讀者去探究．

4.體會淺說

通過以上的探究過程，筆者感悟到對于任何問題都要多思、多想、多問為什么，這樣數(shù)學會因思考而更加精彩，一道優(yōu)秀的試題是要經(jīng)過多思善想，這樣才會有驚喜和收獲．在學習中要學會用抽象、類比和變式去研究數(shù)學問題，更重要的是可以提升數(shù)學品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)，既需要大膽的猜想和細心的求證，還需要堅定的意志和靈活的變通，所以說，只有多思、多想、多變，才會有創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)和收獲．