動(dòng)中覓靜，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換
——例析妙解旋轉(zhuǎn)類數(shù)學(xué)問題

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動(dòng)中覓靜，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換
——例析妙解旋轉(zhuǎn)類數(shù)學(xué)問題

浙江省溫州中學(xué)(325014)劉旭飛胡浩鑫

從辯證角度看，動(dòng)與靜是相對(duì)存在的，仔細(xì)觀察題目特點(diǎn)，動(dòng)中覓靜，以靜制動(dòng)，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，不失為處理動(dòng)態(tài)性問題的良策．面對(duì)旋轉(zhuǎn)類問題，抓住旋轉(zhuǎn)中的不變量或利用動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，常能幫助我們突破思維的屏障、找準(zhǔn)切入點(diǎn)、明確解題方向．課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)類問題學(xué)生都感覺難以下手，本文想結(jié)合具體案例談一談解決這類問題常見的兩種策略．

一、動(dòng)中覓靜，以靜制動(dòng)

自然界的一切事物都在不停的運(yùn)動(dòng)著，靜止是相對(duì)的．反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是數(shù)量關(guān)系和空間形式變換著，而在變中又蘊(yùn)含著不變的因素，若能抓住這些不變的性質(zhì)或不變量作為解題的突破口，問題便迎刃而解．

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)O和C都不定，很難找到突破口.方法一從運(yùn)動(dòng)中找不變的量入手，動(dòng)中覓靜，以靜制動(dòng)，這是解決這類問題的常用手段.要留心錯(cuò)解：|OC|≤|OM|+|MF|=3，此時(shí)等號(hào)取不到，因?yàn)镺,M,F三點(diǎn)不可能不共線.方法二借助向量工具，活用向量分解，把已知向量分解為?；蛳蛄恐g夾角確定的向量，化動(dòng)為靜，從而達(dá)到問題的輕松獲解.

圖3

點(diǎn)評(píng)：該思路把所求的向量分解轉(zhuǎn)化為模或向量之間夾角確定的向量，以相對(duì)確定的向量來表示變化向量，從而減少運(yùn)算量、思維量，達(dá)到化變?yōu)椴蛔?，化?dòng)為靜，以靜制動(dòng)的效果，使問題變繁為簡(jiǎn).

二、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，另辟蹊徑

運(yùn)動(dòng)和靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)的A相對(duì)于靜止的B，也可看成B動(dòng)A靜，利用動(dòng)靜之間的這種相對(duì)性來解決動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題常能收到出人意料的效果．

例3(2011浙江省五校聯(lián)考)將函數(shù)y=sinx(0≤x≤2π)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ(0≤θ≤2π)角，得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則滿足條件的角θ的范圍是( ).

圖4

解析：正弦函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)很難看出它何時(shí)還是一個(gè)函數(shù)的圖像，不如來個(gè)動(dòng)靜互換，即把正弦函數(shù)圖像看作不動(dòng)，如圖4，讓坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，只需看和y軸平行的直線是否和y=sinx(0≤x≤2π)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)即可，易得到選項(xiàng)C．

圖5

例4同例2．

點(diǎn)評(píng)：該問題按常規(guī)思維去解決會(huì)顯得復(fù)雜甚至束手無策，但換個(gè)角度，把多點(diǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，脫掉復(fù)雜的外衣，使原本問題難度大大降低，真是“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”．

例5同例1．

圖6

點(diǎn)評(píng)：該思路運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，突破常規(guī)，反客為主，進(jìn)行動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)出思維的靈活性和廣闊性，把化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用得淋漓盡致，可謂妙哉！

上述幾例能給讀者以拋磚引玉的啟示，因此教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)中覓靜、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的策略，能幫助學(xué)生發(fā)展良好的個(gè)性品質(zhì)，克服思維定勢(shì)，善于從變換的角度看問題，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)特征，有效地解決有關(guān)問題．