2015年高考數(shù)學(xué)中的“亮點(diǎn)”試題回眸

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2015年高考數(shù)學(xué)中的“亮點(diǎn)”試題回眸

湖北省襄陽市第一中學(xué)(441000)王勇龔俊峰

縱觀2015年高考數(shù)學(xué)試題，總體反映出穩(wěn)定、創(chuàng)新、應(yīng)用、傳承的特點(diǎn).每份試卷的結(jié)構(gòu)、題型、重要知識點(diǎn)相對穩(wěn)定，不同試卷均有新穎的“亮點(diǎn)”題，試題注重創(chuàng)設(shè)新穎情境，強(qiáng)調(diào)知識交匯，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)靈氣的考查.試題設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，尤其是與人們的生活、生產(chǎn)緊密聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用性試題，意在考查考生把實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化的轉(zhuǎn)化思想，而體現(xiàn)數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)故事的歷史名題的改編題，更是給數(shù)學(xué)試卷注入了一股春風(fēng)，彰顯了數(shù)學(xué)文化的傳承、數(shù)學(xué)閱讀理解能力的考核.下面精選六例并分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1.創(chuàng)設(shè)新穎情境，強(qiáng)調(diào)知識交匯，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)

高考是選拔性的考試，試卷中出現(xiàn)新穎別致且綜合性較強(qiáng)的試題在情理之中.面對情境新穎、交匯整合的題目，需要鎖定目標(biāo)，尋找理論依據(jù)，合情推理，逐步套牢目標(biāo)，不斷轉(zhuǎn)化，驚險(xiǎn)散盡，自然水到渠成.

例1(2015·福建卷文16)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于.

綜上可知，p+q=9.

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)或等差中項(xiàng)，其中分類討論和邏輯推理是解題核心.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論與分析.

2.聯(lián)系生活實(shí)際，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一種工具，工具就有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，實(shí)際應(yīng)用性問題解答的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，“數(shù)學(xué)化”的過程就是要把陌生問題化為熟悉問題，未知問題化為已知問題，復(fù)雜問題化為簡單問題.

圖1

(1)求a,b的值；

(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？并求最短長度.

分析：(1)根據(jù)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出a,b的值；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)先求切線方程，再求f(t),最后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

點(diǎn)評： 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，意在考查考生建立數(shù)學(xué)模型和利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

3.依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)是一種文化，是一種精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的新穎試題是近年高考命題的新動(dòng)向，值得考生關(guān)注、探究和學(xué)習(xí).

圖2

例4(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖2，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( ).

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

點(diǎn)評：本題考查扇形的弧長公式與圓錐的體積計(jì)算.通過古題新解考查閱讀理解能力，通過圓錐體積的計(jì)算考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力.

圖3

例5(2015·湖北卷文20)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖3所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE,BD,BE.

(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請說明理由.

分析：(1)把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，通過證明DE⊥BC,DE⊥PC,進(jìn)而證明DE⊥平面PBC，整合已證的線面垂直關(guān)系，可知四面體EBCD為鱉臑；(2)表示出兩個(gè)幾何體的體積，利用線段間的關(guān)系化簡求值.

解析：(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥

BC.由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因?yàn)镈E?平面PCD，所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.

點(diǎn)評： 本題結(jié)合《九章算術(shù)》中的新名詞(陽馬、鱉臑)考查線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體的體積計(jì)算等，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、信息遷移能力與運(yùn)算求解能力，同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.