歸納探究：教學(xué)設(shè)計的問題主線
——以“復(fù)數(shù)的幾何意義”為例

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歸納探究：教學(xué)設(shè)計的問題主線
——以“復(fù)數(shù)的幾何意義”為例

江蘇省東臺市安豐中學(xué)(224221)崔曉麗

一、學(xué)情分析

“復(fù)數(shù)”是蘇教版選修2-2第三章的內(nèi)容，教材內(nèi)容比較簡單，安排的課時較少，它在高考中的分量也很小，只要求學(xué)生了解數(shù)系的擴充、會簡單的四則運算、了解復(fù)數(shù)的一點幾何意義(見文[1]).因此，這部分內(nèi)容往往不被教師和學(xué)生重視，教師很快把知識“塞”給學(xué)生，學(xué)生似懂非懂，加上鞏固練習(xí)又少，導(dǎo)致時間一長，學(xué)生又把它還給老師了，特別是“復(fù)數(shù)的幾何意義”，到高三復(fù)習(xí)時，“一問三不知”的現(xiàn)象非常嚴(yán)重，很多學(xué)生不知道復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，更不知道復(fù)數(shù)模的幾何意義.

二、教法探討

以上現(xiàn)象說明，我們要優(yōu)化“復(fù)數(shù)的幾何意義”的教學(xué)設(shè)計，提升教學(xué)效率，促進學(xué)生的理解.首先，我們應(yīng)注意到復(fù)數(shù)集是由實數(shù)集擴充而來，實數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情況，它們的幾何意義有很多相似的地方，因而，新授課的教學(xué)，可以利用實數(shù)的幾何意義，通過歸納探究，發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何意義，這樣不僅能讓學(xué)生自主探究，而且還能讓學(xué)生領(lǐng)悟“由特殊到一般”的歸納思想；其次，蘇教版選修2-2第二章的內(nèi)容是“推理與證明”，恰在“復(fù)數(shù)”的前一章，學(xué)生對歸納推理已經(jīng)比較熟悉，運用歸納推理發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何意義，也體現(xiàn)了學(xué)以致用的原則.因此，筆者認(rèn)為以歸納探究為主線設(shè)計問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的相關(guān)幾何意義，是不錯的選擇！

三、問題設(shè)計

問題1實數(shù)與復(fù)數(shù)之間有什么關(guān)聯(lián)？

設(shè)計意圖學(xué)生已熟悉實數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，問題1的提出，是要學(xué)生進一步理解特殊與一般的關(guān)系，意在引導(dǎo)學(xué)生注意歸納，為問題2探究復(fù)數(shù)與點的關(guān)系作鋪墊.

教學(xué)過程

生1：特殊與一般的關(guān)系.

師：為什么？

生1：對于復(fù)數(shù)z=a+bi，當(dāng)虛部b=0時，復(fù)數(shù)z=a為實數(shù)，實數(shù)是復(fù)數(shù)的一種特殊情況.

師：不錯！也就是說，實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集.大家再回憶一下，實數(shù)與點有什么關(guān)系？

生2：實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.

師：對！也就是說，可以用數(shù)軸上的點表示實數(shù).

問題2復(fù)數(shù)是否能用點表示呢？

設(shè)計意圖在強化了問題1的理解之后，學(xué)生已經(jīng)知道實數(shù)是特殊的復(fù)數(shù)，并且還知道可以用點表示實數(shù)，這樣過渡到問題2，學(xué)生的歸納思維容易形成.

教學(xué)過程

生3：能，但要兩條數(shù)軸，一條數(shù)軸上的點表示實部，另一條數(shù)軸上的點表示虛部.

師：兩條數(shù)軸表示一個復(fù)數(shù)，不太方便，一個復(fù)數(shù)能否用一個點表示？

生4：讓兩條數(shù)軸垂直，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系中的點的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實部，縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部.因此，對于任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi，在平面直角坐標(biāo)系中，都有唯一一個點(a,b)與它對應(yīng).

師：你的分析很有道理！能否舉幾個具體實例說明一下？

生4：在平面直角坐標(biāo)系中，如A(0,0)表示復(fù)數(shù)的實部、虛部都為0，即表示復(fù)數(shù)0，B(-1,0)表示復(fù)數(shù)-1，C(0,3)表示復(fù)數(shù)3i，D(2,-1)表示復(fù)數(shù)2-i.(教師根據(jù)生4的回答，作草圖演示說明)

師：很好！投影復(fù)平面的概念：把建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù)，對嗎？

生5：實軸上的點表示實數(shù)，對；虛軸上的點表示純虛數(shù)，不對，因原點表示實數(shù)0，它也在虛軸上，不是純虛數(shù)，要注意原點除外.

師：不錯！復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)與復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)，點Z(a,b)還可以與什么量對應(yīng)？

師：為什么？

師：不錯！當(dāng)然向量的起點未必是原點，但我們可以把相等的向量表示為同一個復(fù)數(shù).接下來，請同學(xué)們完成例題1.

例1在復(fù)平面內(nèi)，分別用點和向量表示下列復(fù)數(shù)：(1)4；(2)2+i；(3)-i；(4)-1+3i；(5)3-2i(教師投影一學(xué)生的作圖，并解讀)

師：現(xiàn)在請大家回憶一個初中問題，實數(shù)的絕對值有什么含義？

生7：0與正數(shù)的絕對值是本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

師：還可以怎么理解？

生7：實數(shù)的絕對值表示數(shù)軸上與實數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離.

師：對！

問題3實數(shù)的絕對值是距離，如果要求復(fù)數(shù)的絕對值，怎么辦？

設(shè)計意圖在熟悉實數(shù)絕對值的前提下，問題3不難回答，但這樣的問題設(shè)計，體現(xiàn)了聯(lián)系的原則，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到實數(shù)的絕對值與復(fù)數(shù)的模之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進了學(xué)生對復(fù)數(shù)模的理解.

教學(xué)過程

生8：復(fù)數(shù)的絕對值，就是在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離.

師：生8根據(jù)實數(shù)絕對值的含義推廣到復(fù)數(shù)絕對值的含義，有一定的道理，但在復(fù)數(shù)中，我們通常把復(fù)數(shù)的絕對值叫做復(fù)數(shù)的模.哪位同學(xué)再來進一步闡述一下復(fù)數(shù)的模？

生10：不成立. 因為z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2，|z|2=a2+b2.

師：復(fù)數(shù)與向量對應(yīng)，但也有與向量不同的地方，向量的平方等于模的平方，而復(fù)數(shù)的平方不等于模的平方.那么，能否修改得到正確的復(fù)數(shù)等式呢？

師：對！下面請大家完成例題2、3.

例2已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=-1+5i，試比較它們模的大小.(一學(xué)生口頭回答)

例3設(shè)z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

(1)|z|=2；(2)2<|z|<3(教師投影一學(xué)生的作圖，并點評)

問題4已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1+i|≤1，那么復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合表示什么圖形？(給學(xué)生5分鐘時間思考，允許交流討論，最后學(xué)生代表匯報研究成果)

設(shè)計意圖學(xué)生雖已知道復(fù)數(shù)模的幾何意義，在未預(yù)習(xí)的情況下，問題4略有難度，屬于“夠得著，又要跳一跳，才能解決的問題”.學(xué)生可以用復(fù)數(shù)模的幾何意義解決，若發(fā)現(xiàn)問題是復(fù)數(shù)差的模，還可由實數(shù)差的絕對值，歸納出復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，找到新的解題方法，仍是一個以歸納為主線的探究問題，也是一個發(fā)散性的問題.通過問題4，可以培養(yǎng)學(xué)生分析的能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

師：誰來談?wù)剢栴}4的解決方法？

生12：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，它對應(yīng)于點Z(x,y).則|z-1+i|=|x-1+(y+1)i|=

師：你的處理方法不錯！談?wù)勀愕姆治鏊悸?

生12：要求復(fù)數(shù)對應(yīng)點Z的集合是什么圖形，等價于求點Z的軌跡方程，故設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，將z-1+i的模轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)x-1+(y+1)i的模，從而用復(fù)數(shù)模的幾何意義，得出點Z(x,y)的軌跡方程.

師：你分析得非常好！還有其他的解決思路嗎？

生13：因|z-1+i|=|z-(1-i)|，它表示復(fù)數(shù)差的模，其含義是動點Z(x,y)到定點(1,1)的距離，因此，點Z的集合表示的圖形是以(1,-1)為圓心，1為半徑的圓面(包含邊界).

師：你的解決方法非常簡單！談?wù)勀愕南敕?

生13：不等式左邊可以化為復(fù)數(shù)差的模，這與實數(shù)差的絕對值相似，實數(shù)差的絕對值表示數(shù)軸上兩實數(shù)對應(yīng)點間的距離，估計復(fù)數(shù)差的模也應(yīng)如此.

師：生13聯(lián)想到復(fù)數(shù)差的模，他利用實數(shù)差的絕對值的幾何意義，推測出復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，運用了由特殊到一般的歸納思想，很有道理！其實，這種處理方法，我們剛才已運用，先由點表示實數(shù)到點表示復(fù)數(shù)、再由實數(shù)的絕對值到復(fù)數(shù)的模，也是同樣的道理.不過，我們還要進一步理清其道理.

師：生14把復(fù)數(shù)差的模轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量差的模，從而得到復(fù)數(shù)差的模的幾何意義就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)兩點間的距離，他把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題，運用了轉(zhuǎn)化的思想，非常好！再請同學(xué)們完成下面這道練習(xí)題.

鞏固練習(xí)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+4i|+|z-4i|=10，求復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點Z的軌跡方程.(投影一學(xué)生的過程，并點評)

問題5復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)差的模有沒有聯(lián)系？

設(shè)計意圖 問題5難度不大，主要目的是讓學(xué)生再理解特殊與一般的關(guān)系，進一步認(rèn)識復(fù)數(shù)差的模的含義.

生15：復(fù)數(shù)z的模|z|=|z-0|，它表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離，是復(fù)數(shù)差的模的特殊情況.

師：是的！復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)差的模本質(zhì)上是一致的.好，哪位同學(xué)來總結(jié)一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容？

生15：主要學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的幾何意義，一是用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)；二是復(fù)數(shù)的模就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)點到原點的距離；三是復(fù)數(shù)差的模表示兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)兩點間的距離.

師：對！本節(jié)課的學(xué)習(xí)，運用了哪些思想方法？

生15：主要運用了由特殊到一般的歸納思想，根據(jù)實數(shù)與點的關(guān)系、實數(shù)絕對值的意義、實數(shù)差的絕對值的意義，探究發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的相關(guān)幾何意義，當(dāng)然還涉及到一些其他的思想方法，如轉(zhuǎn)化思想(復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題)，以及數(shù)形結(jié)合思想等.(留白5分鐘，學(xué)生總結(jié)、反思，下課)

四、兩點反思

筆者根據(jù)上述“復(fù)數(shù)的幾何意義”的教學(xué)設(shè)計上課，課堂上學(xué)生思維活躍，自感效果不錯，有兩點思考，與讀者分享.

1.加強探究教學(xué)，促進學(xué)生理解

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，首要問題是學(xué)生的理解，無論是概念、公式、定理，還是思想方法，必須得理解，否則只能生搬硬套，無法靈活運用.怎樣才能促進學(xué)生的理解呢？筆者認(rèn)為要合理設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，學(xué)生通過探究獲取新知，他們的理解才會更深刻，運用才能更靈活.就如本文，教師的主要任務(wù)是問題引導(dǎo)，學(xué)生主要是分析問題，若干結(jié)論幾乎都是由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，特別是問題4，學(xué)生在未知復(fù)數(shù)差的幾何意義下，研究不等式|z-1+i|≤1的含義，他們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)差的模，聯(lián)想到實數(shù)差的絕對值，得出新結(jié)論，是本節(jié)課問題設(shè)計的亮點.

2.注重知識生成的方法教學(xué)

常有人講“授人以魚，不如授人以漁”，意思是教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識更重要(見文[2])，筆者非常認(rèn)同這一點，首先，一些數(shù)學(xué)知識學(xué)生不可能終身記憶，而學(xué)生學(xué)習(xí)的一些數(shù)學(xué)思想方法卻能終身受益，借用這些思維方法、方式可能會更合理地解決生活中的問題；其次，要想真正地獲取數(shù)學(xué)知識并長久不遺忘，靠死記硬背是不行的，只有學(xué)生掌握了獲取知識的方法，對知識的理解才能更深刻，記憶才會更長久，即使偶爾遺忘，也有可能通過一定的方法重新演繹還原，正所謂：有“漁”才有“魚”.本文的教學(xué)案例，不僅是讓學(xué)生獲得復(fù)數(shù)的幾何意義，更讓學(xué)生學(xué)會了由特殊到一般的歸納手段.

參考文獻

[1]單 墫. 蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(數(shù)學(xué)選修2-2)[M].江蘇教育出版社，2012.

[2]崔志榮. 關(guān)注知識生成的反饋教學(xué)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015(1-2)：43-45.