一道模擬題的加強(qiáng)與改編*
——兼談零點(diǎn)存在定理應(yīng)用的新視角

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一道模擬題的加強(qiáng)與改編*
——兼談零點(diǎn)存在定理應(yīng)用的新視角

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123)田富德

對(duì)數(shù)學(xué)試題的探究、改編可以有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的自身解題能力，提高數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)水平．解題與命題相互促進(jìn)，其一，命題者可謂知其然又知其所以然，故命題者可以站在解題的至高點(diǎn)進(jìn)行解題;其二，只有通過(guò)一定量的解題和對(duì)試題的深入探究思考，才能促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的命題水平．因些，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)一些精彩的模擬試題、高考試題進(jìn)行深入探究思考，方能提高自身的命題能力，站在解題的至高點(diǎn)引領(lǐng)學(xué)生破解各類創(chuàng)新試題．

1.原題及參考答案展示

試題來(lái)源徐州、淮安、宿遷、連云港四市2015屆高三第一次模擬考試第20題．

(Ⅰ)(Ⅱ)略;

參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)略;

2.試題的加強(qiáng)及解法

于是，我們可以將試題進(jìn)行加強(qiáng)，得到如下：

我們可以進(jìn)一步提高試題的難度，得到如下：

分析：本題等價(jià)于求x1+x2的取值范圍，我們可以設(shè)x1+x2=t，然后利用零點(diǎn)存在定理研究方程解的問(wèn)題，來(lái)分析符合題意的t值．

3．解題策略

雙變量滿足某函數(shù)方程，求解雙變量線性表達(dá)式的范圍問(wèn)題，我們可以歸納如下幾步：

第一步，設(shè)雙變量x1,x2的線性表達(dá)式αx1+βx2=t;

第二步，將其中一個(gè)變量x1(或x2)用另一個(gè)變量表示，代入雙變量所滿足的函數(shù)方程;

第三步，視t為常量，x1(或x2)為變量構(gòu)造函數(shù)g(x)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題．解題的本質(zhì)是引入?yún)?shù)，消去變量之一，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)解題．

4．策略應(yīng)用

例(2010年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;

(Ⅱ)略;

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，求x1+x2的取值范圍．

分析：利用文[1]、文[2]的解法均可以輕松證明x1+x2>2，但均未能說(shuō)明2為x1+x2的下確界，以下利用零點(diǎn)存在定理來(lái)求解x1+x2的取值范圍．

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)略;

(Ⅲ)不妨設(shè)x11．由條件知f(t-x2)=f(x2)，即x2e-x2+(x2-t)ex2-t=0(max{(t-1),1}

參考文獻(xiàn)

[1]邢友寶．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014(7)：19-22．

[2]賴淑明．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的另一本質(zhì)回歸[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015(4)：49-51．

*本文系2015年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀與優(yōu)化》階段性研究成果.