注重知識(shí)建構(gòu)過程，提升學(xué)生探究能力──以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(新授課)”為例

?

注重知識(shí)建構(gòu)過程，提升學(xué)生探究能力
──以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(新授課)”為例

江蘇省徐州高等師范學(xué)校(221116)朱允洲

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要遵循知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，更要關(guān)注學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的積累，在此基礎(chǔ)上有目的地設(shè)計(jì)合理有效的探究活動(dòng)，并以正確的方法加以引導(dǎo)，才可能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與積極性，激發(fā)其學(xué)習(xí)潛能，在親歷知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造過程中易于抓住問題的本質(zhì)，構(gòu)建合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有效地提升他們的探究思維能力.

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修5)》“數(shù)列”一章的最后一節(jié)內(nèi)容，是對(duì)等差、等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)與方法的運(yùn)用、延伸和發(fā)展.本課目的是通過對(duì)求和公式推導(dǎo)的探究，讓學(xué)生親歷公式的具體形成過程，認(rèn)識(shí)枯燥公式背后豐富而鮮活的內(nèi)容與思想方法，感受公式產(chǎn)生的自然合理性.通過類比等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度展開探究活動(dòng)，在探究中使得學(xué)生對(duì)等比數(shù)列求和公式的認(rèn)識(shí)更加深刻，能抓住其本質(zhì)特征.

一、教學(xué)過程簡錄

1．問題引起困惑，激發(fā)探究欲望

師：我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，并用它解決了一些相關(guān)的問題，與等差數(shù)列類似，下面我們研究它的求和問題.首先講一個(gè)故事：國際象棋起源于古印度，國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第二個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第三個(gè)格子里放上4顆麥粒，以此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子放完.”國王覺得這不難辦到，就同意了發(fā)明者的請(qǐng)求.你覺得國王能滿足他的要求嗎？

(學(xué)生開始積極討論)

師：總共麥粒數(shù)是多少？

生1：S64=1+2+4+…+263.

師：S64的值到底有多大？你算出來了嗎？

生1：還沒有…

師：大家看看這是一個(gè)什么問題？

生(眾)：等比數(shù)列求和問題.

師：象等差數(shù)列一樣，如果等比數(shù)列有了求和公式，上面的問題就很容易解決.那么，等比數(shù)列求和公式是什么樣子？如何推導(dǎo)？

教師在黑板上板書等比數(shù)列求和表達(dá)式Sn=a1+a2+a3+…+an.

點(diǎn)評(píng)：以一個(gè)有趣的故事引入，學(xué)生將實(shí)際問題提煉成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，激起了學(xué)生迫切想知道答案的欲望，在教師的追問下，把學(xué)生未解的疑問與急于知道答案的心情引入到了本課的主題，同時(shí)也撥動(dòng)了學(xué)生的思維之“弦”，使學(xué)生的心理達(dá)到了“憤、悱”的狀態(tài)，為下面的探究活動(dòng)做了充分的鋪墊.

2.基于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探究建構(gòu)新知

師：我們知道，在等差數(shù)列的求和公式中，Sn是用a1,d,n,an這些量表示的.那么，等比數(shù)列的Sn能用哪些量表示？

生(眾)：a1,q,n,an.

師：說得好！如何用他們來表示Sn？大家想想看？(學(xué)生開始分組討論、交流)

師：還需要補(bǔ)充嗎？

師：對(duì)q的取值要討論，補(bǔ)充的很到位！從等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用比例的性質(zhì)，回歸到等比數(shù)列的“根”上去探究求和公式，自然合理！還有其它的方式求Sn嗎？

師：你是怎么想到的？說說看？

生4：根據(jù)等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，把后n-1項(xiàng)看成一個(gè)整體，提出q后就是Sn-1，再由等式an=Sn-Sn-1(n≥2)，將Sn-1轉(zhuǎn)化為Sn，就得到關(guān)于Sn的方程，于是可求解了.

師：構(gòu)造關(guān)于Sn的遞推關(guān)系式，再轉(zhuǎn)化為Sn的方程求解，目標(biāo)非常明確！

師：不錯(cuò)，待定系數(shù)法是處理遞推關(guān)系問題的一種常用方法，通過配湊系數(shù)，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，體現(xiàn)了化歸的思想，它是高考中常考的方法，必須要掌握.

點(diǎn)評(píng)：在教師的引導(dǎo)下，明確探究目標(biāo)，根據(jù)求和表達(dá)式的特征，學(xué)生以兩種不同的方式建立了關(guān)于Sn的方程，對(duì)于遞推關(guān)系式，學(xué)生自然會(huì)想到待定系數(shù)法.從熟悉的等比數(shù)列的定義及遞推關(guān)系式出發(fā)展開探究，使得學(xué)生在探索的過程中思維找到了“固著點(diǎn)”，新知識(shí)的增長有了一定的“根基”，等比數(shù)列求和公式的形成順暢自然.

師：對(duì)于表達(dá)式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，實(shí)際上就是將等號(hào)右邊的式子消去若干項(xiàng)而用另外一種表達(dá)形式而已，仔細(xì)觀察其特征，如何做到這一點(diǎn)呢？前面學(xué)習(xí)了等差、等比數(shù)列的一些公式的推導(dǎo)方法能有什么幫助嗎？(學(xué)生陷入了沉思)

師：好！你是如何想到的？

師：言之有理！運(yùn)用的是加減消元法的思想，通過對(duì)Sn的表達(dá)式兩邊乘以-q構(gòu)造一個(gè)新的求和式子，兩式相加消去表達(dá)式中間若干項(xiàng).由于加法與減法本質(zhì)上是相同的，上述求解過程也可以看成減法，由于是錯(cuò)一位相減，所以稱為“錯(cuò)位相減法”，這也是高考中?？嫉乃枷敕椒?，希望大家能掌握它.這種方法還能解決什么樣的數(shù)列求和問題呢？

生(眾)：什么數(shù)列？(學(xué)生愕然，開始低聲議論)

師：在表達(dá)式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1中，每一項(xiàng)都有什么特點(diǎn)？

生7：常數(shù)列{a1}與等比數(shù)列{qn-1}相應(yīng)項(xiàng)的乘積.

師：常數(shù)列{a1}是等差數(shù)列，若將它推廣成一般的等差數(shù)列，如：{n}，原數(shù)列就不是等比數(shù)列了，試試看能用錯(cuò)位相減法嗎？

(學(xué)生開始思考、討論、演算…)

生8：可以！錯(cuò)位相減后，每項(xiàng)的系數(shù)之差正好是公差1，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和了.

師：若將常數(shù)列{a1}換成{kn+b}呢？

生8：每項(xiàng)的系數(shù)之差就是公差k.

師：講得好！想一想，什么樣的數(shù)列求和可以用錯(cuò)位相減法？此法依據(jù)是什么思想？

生(眾)：一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的新數(shù)列.轉(zhuǎn)化的思想.

師：如果等比數(shù)列的公比為1，此類新數(shù)列就變成等差數(shù)列了，還可以用這種方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，大家課后不妨試一試.

點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)位相減法是一種新的思想方法，學(xué)生不容易想到，在教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)下，學(xué)生聯(lián)想到累加法，結(jié)合求和表達(dá)式的特征，在等式兩邊乘以-q再相加，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消的目的.教師又提出了數(shù)列{nqn-1}的求和問題讓學(xué)生嘗試，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法本質(zhì)的理解.

教師對(duì)以上的探究方法正想進(jìn)行總結(jié)時(shí)，一位學(xué)生站了起來.

師：(師生不約而同地鼓掌)妙！能想到這種獨(dú)特新穎的方法不容易，能解釋一下嗎？

生9：根據(jù)前面的待定系數(shù)法，感覺a1qn-1應(yīng)該能拆分成μqn與μqn-1差的形式，再將其分別與Sn和Sn-1配對(duì)，就會(huì)出現(xiàn)新的等比數(shù)列{Sn-μqn}，由于Sn和Sn-1前面的系數(shù)都為1，所以該新數(shù)列應(yīng)是常數(shù)列.

師：生9觀察力非常敏捷！分析得清晰、自然，值得大家好好學(xué)習(xí)，他的解法還是待定系數(shù)法的思想，關(guān)鍵是將a1qn-1進(jìn)行了有目的的拆分，和Sn、Sn-1配湊成新的等比數(shù)列.

國家統(tǒng)計(jì)局最新數(shù)據(jù)顯示，2000年，中國65歲以上老年人口占比7%；截至2017年底，我國60周歲以上人口已達(dá)24090萬人，占人口總量的17.3%。老齡化在我國的加速演進(jìn)，也催生著老年保健型食品的生產(chǎn)，低鹽、低糖類食品等很常見。

點(diǎn)評(píng)：生9的解法獨(dú)辟新境，他對(duì)數(shù)學(xué)式子的觀察、猜想及分析都非常細(xì)致，構(gòu)造很巧妙，學(xué)生的這種創(chuàng)新意識(shí)得到了教師與同學(xué)的肯定，在日常的教學(xué)中應(yīng)大力提倡和保護(hù)這種創(chuàng)新的精神，這有益于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

上述各種推導(dǎo)方法，基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(如：等比數(shù)列的定義、累加法、待定系數(shù)法和等差數(shù)列的推導(dǎo)經(jīng)歷等等)，抓住求和表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，通過類比的方式，引導(dǎo)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，明確解決問題的方向.學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、自主探索與合作交流，從不同角度探尋出了推導(dǎo)求和公式的突破口.學(xué)生在不同方法的探究過程中揭示出了等比數(shù)列求和公式的產(chǎn)生、形成過程，合理地構(gòu)建了新知，優(yōu)化了他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升了他們的數(shù)學(xué)探究能力.

3．運(yùn)用公式求解，理解鞏固新知

例1在等比數(shù)列{an}中，已知a1=1,q=2，求S64.

例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n·qn，求Sn.

師：下面我們用得到的求和公式解決一些問題，首先計(jì)算本課開頭提出的問題.

師：這個(gè)數(shù)超過了1.84×1019，假設(shè)千粒麥子的質(zhì)量是40克，那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸，以當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)水平，國王不可能滿足發(fā)明者的要求.

下面大家再來算算例2和例3，誰愿意到黑板上來板演？

學(xué)生板演例題(例2略)，(目的讓學(xué)生體驗(yàn)等比數(shù)列求和公式的運(yùn)用及錯(cuò)位相減法的操作流程)

學(xué)生10：(板演)Sn=2q+4q2+6q3+…+2(n-1)qn-1+2nqn(1),

qSn=2q2+4q3+6q4+…+2(n-1)qn+2nqn+1(2),

(1)-(2) 得， (1-q)Sn=2q+2q2+2q3+…+2qn-2nqn+1.

學(xué)生11：他沒討論q=0時(shí)情況，此時(shí)an=0，所以Sn=0.

師：很好！要仔細(xì)審題，對(duì)參數(shù)的取值范圍討論要全面.

最后課堂小結(jié)，布置作業(yè)(略).

點(diǎn)評(píng)：通過例1例2的求和運(yùn)算，加深了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列求和公式的理解與運(yùn)用，同時(shí)例1的解決揭開了本課開頭故事中的謎底，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.例3涉及到對(duì)錯(cuò)位相減法的進(jìn)一步理解與運(yùn)用，通過板演，規(guī)范了學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法的操作流程，深化學(xué)生對(duì)該方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

二、教學(xué)反思

1．注重“結(jié)果”，更要注重“過程”

數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展有其內(nèi)在的規(guī)律性、科學(xué)性，是個(gè)自然的過程，因此，教學(xué)中應(yīng)該遵循這樣的過程：注重知識(shí)是怎么來的，其形成的源頭在哪里，怎樣引導(dǎo)學(xué)生去探究，關(guān)鍵是能否更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力.如果操之過急，貪圖“短時(shí)效益”，將會(huì)出現(xiàn)本末倒置的不良后果.誠然，等比數(shù)列求和公式需要學(xué)生記憶與運(yùn)用，但對(duì)公式形成的探究過程更能凸顯數(shù)學(xué)味.本課的探究實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)的生成過程，以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，以教師在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處給予的點(diǎn)撥與問題為引領(lǐng)，為學(xué)生提供了充足的獨(dú)立思考、自主探究的時(shí)間與空間，學(xué)生探索出多種不同的推導(dǎo)方法，能知其“然”，在展示自己的成果時(shí)教師進(jìn)行了追問，讓他們“道”出每種方法的來龍去脈，促使其對(duì)自己的思考過程進(jìn)行反思，還能知其“所以然”.事實(shí)上，學(xué)生探究的每種思路與方法，都是對(duì)已學(xué)數(shù)列知識(shí)的靈活運(yùn)用與創(chuàng)新，如：定義法、方程法、待定系數(shù)法、錯(cuò)位相減法等，這些方法的運(yùn)用促使求和公式的形成是一個(gè)水到渠成的過程.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方式.因此，公式推導(dǎo)的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生嘗試多種方式對(duì)公式的產(chǎn)生過程進(jìn)行探究，從中領(lǐng)悟其精髓.其實(shí)很多數(shù)學(xué)公式本身凝聚豐富的知識(shí)與方法，是其所在章節(jié)中的精華，具有極好的教育教學(xué)功能，需要教師用心去琢磨，挖掘其深刻的內(nèi)涵，將“冰冷的美麗”與學(xué)生“火熱的探究”完美地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最大化，如在本課公式的探究過程中，學(xué)生保持著較高的熱情，不僅經(jīng)歷了等比數(shù)列求和公式的產(chǎn)生過程，而且運(yùn)用了數(shù)列中多種不同的思想方法，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與方法的和諧發(fā)展，使得公式的學(xué)習(xí)過程更加“鮮活”，富有挑戰(zhàn)性，這不僅有助于實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)的系統(tǒng)化，而且有助于提升學(xué)生的思維，開拓學(xué)生的視野，調(diào)動(dòng)他們探究學(xué)習(xí)的積極性與興趣.

2．以生為本，因勢利導(dǎo)開展探究

一堂課是否高效的標(biāo)準(zhǔn)不在于教師講的多么“透”，而在于學(xué)生學(xué)的是否“明”.尊重學(xué)情，以生為本是當(dāng)今課堂教學(xué)的核心理念之一.本課沒有采用告訴加訓(xùn)練的模式，而是以學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累為前提，以學(xué)生的思維發(fā)展為目標(biāo)，放手讓其去探尋等比數(shù)列求和公式的形成過程.在學(xué)生自主探究中，他們的思維得以暴露和自然碰撞，能力得以不斷地提升，并從中也收獲了成功的喜悅與自信.新課程理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生是課堂的“主角”，并不意味著教師是“甩手掌柜”，相反，教師應(yīng)該具有更高的課堂駕馭能力，從課標(biāo)要求、教材意圖、學(xué)生需要等方面努力創(chuàng)設(shè)探究的問題情景，在困惑處為學(xué)生點(diǎn)撥、引導(dǎo)，努力為學(xué)生的探究活動(dòng)搭建更好的平臺(tái).如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn該用哪些量表示？在推導(dǎo)錯(cuò)位相減法時(shí)可以借助哪些學(xué)過的方法？錯(cuò)位相減法還能解決什么樣的數(shù)列求和問題？以問題啟迪思維與智慧，引領(lǐng)學(xué)生正確的探究方向，并且適時(shí)地對(duì)學(xué)生探究的過程與結(jié)果進(jìn)行追問，促使學(xué)生的思維過程更趨于理性化，讓學(xué)生在體驗(yàn)知識(shí)的形成與發(fā)展過程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造，從中真實(shí)地感受到數(shù)學(xué)是自然的、講道理的.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師應(yīng)成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者與合作者.教師的引導(dǎo)需要 “心”中有學(xué)生，摸清學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，弄清學(xué)生經(jīng)歷過的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如：等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、待定系數(shù)法、累加法等等；了解學(xué)生的觀察、聯(lián)想、類比、分析與驗(yàn)證等思維能力的水平，這些因素直接影響探究活動(dòng)的順利開展和效果，只有它們合理匹配，在探究中才可能吸引學(xué)生的“心”，使學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)由“已知區(qū)”向 “最近發(fā)展區(qū)”的跨越.因此，教學(xué)中教師應(yīng)有目的地組織學(xué)生去探究，并且在探究中要始終遵循：所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為前提，所有活動(dòng)的設(shè)計(jì)以提升學(xué)生的思維能力為目的，只有這樣，才能讓探究不流于形式，發(fā)揮它在教學(xué)中真正的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

[1]祁平． 基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思索[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014，8．

[2]徐友華． 數(shù)學(xué)教學(xué)：要“實(shí)惠”還是要“自然”[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014，7．

[3]嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志． 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀[M].江蘇教育出版社，2004，4．