芻議PCK視角下高中生數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)*
——以“幾何概型”一課為例

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芻議PCK視角下高中生數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)*
——以“幾何概型”一課為例

福建省南安市延平中學(xué)(362343)鄭明筑

PCK是學(xué)科教學(xué)知識或教學(xué)內(nèi)容知識(Pedagogical Content Knowledge) 的簡稱.為了研究學(xué)科知識怎樣轉(zhuǎn)化為教學(xué)的內(nèi)容，美國學(xué)者舒爾曼最先提出了一個理論框架識別的三種知識: 學(xué)科知識、PCK 和課程知識.我國學(xué)者董濤研究得出，在數(shù)學(xué)教師的PCK結(jié)構(gòu)中它含有五種要素：數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)性觀念、內(nèi)容組織的知識、學(xué)生理解的知識、效果反饋的知識和教學(xué)策略的知識.下面以“幾何概型”一課為例，基于PCK結(jié)構(gòu)談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)交流能力.

1課堂教學(xué)片段及其分析

不久前筆者所在學(xué)校開展了一場關(guān)于同課異構(gòu)的教研活動.執(zhí)教者是本校及兄弟學(xué)校的青年教師.課題是人教版必修3第三章第3節(jié)“幾何概型”第一課時的內(nèi)容.以下是其中的兩個教學(xué)片段：

1.1課堂教學(xué)片段1——復(fù)習(xí)“古典概型”

下文中師甲是本校教師，師乙是兄弟學(xué)校的教師，兩人均利用了信息技術(shù)進行輔助教學(xué).

師甲的教學(xué)片段：

師甲通過提問的形式與學(xué)生一起復(fù)習(xí)了古典概型的知識點.

師乙的教學(xué)片段：

師乙也是與學(xué)生一起復(fù)習(xí)一下上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，然后給出：

引例1：在區(qū)間[0，10]上任取一個整數(shù)，恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為多少？

在以上的教學(xué)片段中，兩位教師均從古典概型的復(fù)習(xí)入手，為學(xué)習(xí)新知識作鋪墊.師生雙方的交流活動比較流暢.師甲能夠?qū)W(xué)生的回答進行及時的評價，該做法有助于調(diào)動學(xué)生參與課堂交流的積極性；師乙還進行板書示范，提醒學(xué)生注意書寫規(guī)范，該做法有利于培養(yǎng)學(xué)生的書面表達能力.

1.2課堂教學(xué)片段2——“幾何概型的概念及其概率計算公式”

師甲的教學(xué)片段：

師甲：請看問題2：在區(qū)間[0，9]上任取一個實數(shù)，恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為多少？問題1與問題2有區(qū)別嗎？

生眾：一個是整數(shù)，一個是實數(shù).

師甲：還有呢？

生眾：一個是古典概型，一個不是.

師甲：好，很好！下面我們再來看問題3：剪繩子問題.

圖1

取一根長度為3m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,有多少種可能性？那么1次剪得線段的長度都不小于1m的情況該如何剪，概率有多大？

師甲：是古典概型嗎？

生眾：不是.

師甲：我請一位同學(xué)來說說， 有多少種可能性？

生2：無限多種.

師甲：那概率有多大？

生2：……(沉默中)

師甲：能借助幾何圖形轉(zhuǎn)化嗎？

生2：……(沉默中)

生2：明白.

師甲：這題用什么來表示概率？

生2：用線段長度的比.

師甲：好，請坐. 下面我們再來看問題4：如圖2中的兩個轉(zhuǎn)盤，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時顧客就中獎了;在兩種情況下某顧客中獎的概率分別是多少?

圖2

師甲：圖2(1)顧客中獎的概率為多少？

生眾：二分之一.

師甲：圖2 (2)顧客中獎的概率為多少？

生眾：五分之三.

師甲：這題用什么來表示概率？

生眾：用面積的比.

師甲：好，下面我們再來看問題5：一只蒼蠅在一棱長為60cm的正方體籠子里飛.請問蒼蠅距籠邊大于10cm的概率是多少?

生3：……(沉默中)

圖3

師甲：我畫一個立體圖形(圖3)，你觀察一下，概率是多少?

生3：……(沉默中)

師甲：大正方體棱長為60cm，小正方體棱長為40cm，概率就等于小正方體的體積與大正方體的體積之比，是嗎?

生3：是.

師甲：這題用什么來表示概率？

生3：用體積之比.

師甲：好，請坐.

師甲：上面三個例子都有什么特點？

生4：……(沉默中)

師甲：類比古典概型的特征.

生4：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

師甲：還有它們的概率與長度(面積或體積)成比例.這樣，我們就能歸納出： 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.通過對前面三個例子的總結(jié)，可以得到在幾何概型中，事件A發(fā)生的概率的計算公式為：

師乙的教學(xué)片段：

師乙先給出引例2(在區(qū)間[0，10]上任取一個實數(shù)，恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為多少？)及引例3(師甲的問題4)，再引導(dǎo)學(xué)生通過對前面引例2、3的總結(jié)，得出幾何概型的概念及幾何概型的概率計算公式.

在以上的教學(xué)片段中，兩位教師都對教材進行再加工處理，以“問題串”的形式來組織教學(xué).這樣的處理可以為師生的課堂交流創(chuàng)設(shè)平臺和提供素材.師甲的問題2和問題3應(yīng)去掉一個，避免簡單重復(fù)而影響學(xué)生的積極性.問題5的設(shè)置因起點過高而不能取得預(yù)期的效果，反而影響學(xué)生參與課堂交流. 師甲在課堂教學(xué)中過于依賴PPT，板書極少，這嚴(yán)重影響了師生雙方的交流.還有, 師甲沒能給學(xué)生提供討論的機會也影響了學(xué)生之間的交流.師乙雖然給了學(xué)生討論的機會，但是沒有起到應(yīng)有的效果. 兩位教師均沒讓學(xué)生上來板演或用多媒體智能展臺展示學(xué)生的課堂練習(xí)，該做法讓學(xué)生失去了一個培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力的重要途徑.還有，當(dāng)學(xué)生有疑惑時，要留給學(xué)生思考問題的時間，而不是急于給出問題的結(jié)論，否則會打擊學(xué)生的積極性，影響師生之間的有效交流.

2幾點思考

數(shù)學(xué)交流是指學(xué)生以口頭語言或書面語言的方式，建構(gòu)對數(shù)學(xué)知識、思想、觀念的理解和表達等數(shù)學(xué)活動的動態(tài)過程.2003年4月頒布的普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)把“提高數(shù)學(xué)表達和交流能力”作為高中數(shù)學(xué)課程的理念之一.雖然，數(shù)學(xué)交流在我國數(shù)學(xué)教育理論界引起了一定的注意，但在數(shù)學(xué)教育實踐中，還沒有引起充分的重視.

2.1從數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)性觀念的角度來看

教師數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)性觀念是對數(shù)學(xué)教學(xué)目的的看法，它受教師數(shù)學(xué)信念制約.在本案例中,師甲較注重與學(xué)生口頭語言表達交流，包括個別或集體的，但書面表達及學(xué)生之間的交流重視不足(師甲整節(jié)課沒給學(xué)生提供討論的機會且板書極少).從師乙要學(xué)生相互討論卻沒有討論聲可看出平常重視不足(師乙借班上課，其班級也是師甲授課的班級).師乙雖然有所重視但還要加深認(rèn)識.更遺憾的是，兩位教師均沒讓學(xué)生上來板演或用多媒體智能展臺展示學(xué)生的課堂練習(xí). 因此，我們應(yīng)該清醒地認(rèn)識到，對數(shù)學(xué)交流重視不夠的狀況會影響學(xué)生的全面發(fā)展.數(shù)學(xué)教育應(yīng)該要重視數(shù)學(xué)交流活動，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)，首要任務(wù)就是教師必須樹立注重培養(yǎng)的意識.

2.2從數(shù)學(xué)內(nèi)容組織和教學(xué)策略的角度來看

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是要通過數(shù)學(xué)語言，用它特定的符號、詞匯、句法和成語去交流，去認(rèn)識世界.” 數(shù)學(xué)交流的載體是數(shù)學(xué)語言.只有具備了數(shù)學(xué)語言表達能力，學(xué)生才能順利地用口頭或書面的形式向別人解釋自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得和結(jié)果，才能成功地吸收別人的數(shù)學(xué)思想和方法而迅速地提高自己.

因此，首先教師應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流的平臺與機會. 建構(gòu)主義認(rèn)為，個體學(xué)習(xí)不是一個被動接受知識的過程，而是由認(rèn)知主體主動積極建構(gòu)的過程.而且也是在與他人的交互作用中實現(xiàn)的，是一種社會活動.在本案例中, 兩位教師這方面做得略顯不足.其次，教師應(yīng)加強符號語言、文字語言和圖表語言三種數(shù)學(xué)語言及自然語言之間的相互轉(zhuǎn)換溝通的訓(xùn)練，對學(xué)生進行有意識的聽、說、讀、寫等基本技能的訓(xùn)練.例如組織學(xué)生課堂討論，課堂練習(xí)展示，撰寫學(xué)習(xí)小結(jié)、心得體會或小論文等活動. 在案例中, 兩位教師放棄了課堂練習(xí)展示這一重要途徑，不能不說是個很大的遺憾. 還有，處理冷場情況時都較為心急，故影響了課堂效果.

2.3從學(xué)生理解和效果反饋的角度來看

首先，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生營造一種能夠充分溝通、合作和支持的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境.通過交流，學(xué)生可以看到問題的不同側(cè)面和解決問題的不同途徑，從而產(chǎn)生對知識的新的洞察，加深對新知識的理解.教師應(yīng)對所有學(xué)生都抱有信心，鼓勵每一個學(xué)生自由地、大膽地參與探索和交流，讓他們真心地愛上數(shù)學(xué)交流. 在本案例中, 兩位教師的做法還有待改善.

其次，教師提供交流的問題最好是課堂上學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識形成沖突最激烈的矛盾的反映，是學(xué)生最易混淆、感覺最疑惑、最難接受的地方，也是最易激發(fā)學(xué)生興趣的地方.還有問題的提出應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，還應(yīng)注意留給思考的時間，遇到學(xué)生有疑問時，應(yīng)循循善誘，而不能直接給予結(jié)論.在本案例中,師甲設(shè)置的問題5偏難，故出現(xiàn)冷場的情況.

第三，教師應(yīng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)交流作出及時評價.如對學(xué)生通過交流有沒有掌握知識與技能，解決問題的方法是否合理恰當(dāng)?shù)冗M行評價；對交流過程中學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言的能力、學(xué)生的協(xié)作能力及創(chuàng)新精神等作出定性的評價；還要對學(xué)生的情感、體驗等方面作出評價.在本案例中,師甲做得相對好些.

總之，只有我們對數(shù)學(xué)交流的價值有了充分的認(rèn)識，并落實于平時的教學(xué)中，才能體會數(shù)學(xué)交流在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用；才能不斷提高學(xué)生的交流能力，促進他們?nèi)姘l(fā)展.

參考文獻

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*本文系福建省教育學(xué)院課題(JYZD-2013010)《基于PCK結(jié)構(gòu)框架的高一數(shù)學(xué)課例研究》的階段性成果.