分數(shù)階時滯動力吸振器對主系統(tǒng)振動影響

宋洪濤，沈玉鳳，荊　棟，劉燦昌

(山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255049)

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分數(shù)階時滯動力吸振器對主系統(tǒng)振動影響

宋洪濤，沈玉鳳，荊棟，劉燦昌

(山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255049)

摘要：為了研究分數(shù)階時滯動力吸振器對主系統(tǒng)振動的影響，仿照整數(shù)階導數(shù)的時滯動力吸振器的設計原理，提出了一種分數(shù)階導數(shù)的時滯動力吸振器吸振理論。通過對高哲法的逆向推導，研究分數(shù)階時滯動力吸振器的固有頻率與反饋增益關系的確定方法，該方法可以在頻率變化的情況下，允許分數(shù)階時滯動力吸振器的固有頻率實時跟蹤外激勵頻率而變化。研究發(fā)現(xiàn)在保證主系統(tǒng)和動力吸振器穩(wěn)定的情況下，在一定時滯范圍內，通過增加動力吸振器的時滯量可以減小主系統(tǒng)的振動幅值。通過數(shù)據(jù)仿真分析證明了這種新方法確實可行，吸振器減振效果明顯，振動源在加入新型動力吸振器后振動減少了99%左右，幾乎將振動完全吸收；在被動型動力吸振器吸振效果降低時，新型的動力吸振器仍然能達到83%的吸振效果。

關鍵詞：分數(shù)階導數(shù)；時滯；反饋；動力吸振器

0引言

振動是一種自然界中普遍存在的物理現(xiàn)象，會對人體造成傷害,導致設備性能和可靠性降低，也是噪聲產生根源。工程結構中，機械結構阻尼不足是造成振動量級較大的原因之一，為此人們通過增大振動系統(tǒng)的阻尼以減小振動,但增大振動系統(tǒng)阻尼具有較高的經濟成本。動力吸振器以較低成本和簡單結構等優(yōu)勢成為振動結構減振優(yōu)先選擇之一。動力吸振器由輔助質量、彈簧和阻尼器組成，屬于被動式制振器[1]。當外激勵頻率等于吸振器固有頻率時，吸振器可以有效的減小主系統(tǒng)的振動，但由于其物理參數(shù)無法調節(jié)，當外激勵頻率變化時，減振效果會因為失諧而急劇惡化。因此，人們提出了動力吸振器變諧方法，通過對吸振器結構參數(shù)如質量[2]或剛度[3]的動態(tài)調整，使得吸振器的固有頻率總是與主振系統(tǒng)的激勵頻率相同，從而拓寬了減振頻帶[4]。

主動控制技術大多采用信號傳感器—控制電路—作動器等組成的閉環(huán)工作模式。在信號傳輸、信號處理和作動器動作中會不可避免存在時間滯后現(xiàn)象，造成控制效果變差，影響了主動控制技術在結構振動控制中的廣泛應用。 Olgac等[5-10]研究發(fā)現(xiàn)帶有時滯狀態(tài)反饋的動力吸振器通過調節(jié)時滯參數(shù)和反饋增益可以達到減小主系統(tǒng)振動的目的。我國學者趙艷影等[11-13]也對時滯反饋控制技術進行了一定的研究，利用時滯減振反饋控制技術抑制了扭轉系統(tǒng)的振動[11]，還開發(fā)了自參數(shù)動力吸振器、非線性動力吸振器等減振設備。以上研究證明時滯反饋控制技術的可行性，可以將時滯反饋控制技術遷移應用于分數(shù)階動力吸振器的研究。

隨著制造工業(yè)的發(fā)展，越來越多的動力吸振器使用合成橡膠或磁流變液等粘彈性材料作為阻尼元件，而這些粘彈性材料大多屬于非線性材料，普通的整數(shù)階理論可以很好的描述線性材料的本構關系，但無法描述非線性材料本構關系。為此，研究工作者提出粘彈性材料的分數(shù)階理論。梁俊龍等[14]在研究材料的粘彈性時引入了分數(shù)階理論，建立更加簡單、參數(shù)更少、且能更好描述材料粘彈性性能的數(shù)學模型。王在華等[15]研究發(fā)現(xiàn)介于0到2之間的任意分數(shù)階導數(shù)項都可以起到阻尼作用，因此對于使用非線性粘彈性材料(如磁流變液)作為阻尼元件的動力吸振器減振系統(tǒng)的研究分析可以引入分數(shù)階理論。分數(shù)階理論已被發(fā)現(xiàn)了300多年，但因為技術原因一直局限于理論研究階段，直到20世紀晚期，工業(yè)技術和計算機的發(fā)展才使得分數(shù)階理論可以由理論走向實際應用[16]，也為本文提出分數(shù)階時滯動力吸振器減振理論提供了條件。

本文提出一種分數(shù)階時滯反饋動力吸振理論，是對整數(shù)階時滯動力吸振器吸振理論的的延伸和補充。通過對高哲提出的穩(wěn)定性分析方法[17]進行反向推導，研究分數(shù)階時滯動力吸振器為了跟蹤外激勵頻率變化而需要確定的反饋增益量，并發(fā)現(xiàn)在保證主系統(tǒng)和動力吸振器穩(wěn)定的情況下，在時滯允許范圍內，通過改變動力吸振器的時滯量，可以有效的減少主系統(tǒng)的振動幅值。

1分數(shù)階時滯動力吸振器理論基礎

高哲提出的方法主要用于確定延遲型(retarded type)分數(shù)階時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所謂延遲型即指時滯項的分數(shù)階最高階次小于無時滯項的分數(shù)階最高階次。其具體計算分析步驟如下：

①寫出所研究分數(shù)階時滯系統(tǒng)的特征方程式。

②將特征方程的階次同元化，將系數(shù)按時滯項和非時滯項進行分組成為T矩陣與H矩陣，矩陣的分組和維數(shù)與分數(shù)階的階數(shù)和時滯項有關。

④將每一個ωck代入特定定義的A矩陣與B矩陣中，并求出代入之后矩陣A與矩陣B的廣義特征值，其特征值為復數(shù)，選取模為1的值，將其變成指數(shù)形式e-jθk,j， θ∈[0,2π)。初始的臨界時滯τk,j,0=θk,j/ωck，而其他臨界時滯值可以公式τk,j,l=τk,j,0+2lπ/ωck確定，將所有的時滯值在時間軸上羅列，為確定系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯區(qū)間做準備。

⑤定義根趨勢方程RT，RT=1意味著增加兩個不穩(wěn)定的根，RT=-1意味著不穩(wěn)定根減少兩個，考慮每個時滯區(qū)域內的不穩(wěn)定根的個數(shù)φ(τ)，選取不穩(wěn)定根個數(shù)為零的時滯區(qū)間即為穩(wěn)定時滯區(qū)間。

2分數(shù)階時滯動力吸振器的參數(shù)確定

2.1反饋增益系數(shù)的確定

圖1　分數(shù)階動力吸振器應用于單自由度振動系統(tǒng)中Fig.1　Fractional dynamic vibration absorber is applied to the single degree of freedom vibration system

在研究整數(shù)階時滯動力吸振器對主振動系統(tǒng)吸振時，通常將吸振器的反饋增益系數(shù)和時滯量設定為某一特定值，利用該值寫出動力吸振器的特征方程，計算特征方程在純虛根s=jωc處的反饋增益系數(shù)，其中，ωc為時滯動力吸振器的共振頻率。當外界激勵頻率等于動力吸振器的固有頻率時，動力吸振器發(fā)生共振現(xiàn)象，從而最大限度的吸收了振動源的振動[18]。分數(shù)階動力吸振器利用該原理確定反饋參數(shù)，其物理模型如圖1所示。

圖1中，Ka=50 N/m，Ca=4 N·s/m，Ma=1 kg，M=10 kg，K=1 000 N/m，C=2 N·s/m，Ma，Ka，Ca為動力吸振器的質量、剛度與阻尼，M，C，K為主系統(tǒng)的質量、阻尼與剛度，g為反饋增益系數(shù)，τ為時滯量，F(xiàn)為外激勵力，Xa與X分別為初始系統(tǒng)位移和動力吸振器的位移。作為分數(shù)階動力吸振器，其與整數(shù)階時滯動力吸振器的不同之處在于后者的阻尼階數(shù)為一階整數(shù)，我們此處定義阻尼的階數(shù)為α，形如DαCa，其中，Dα為分數(shù)階算子，在這里表示α階導數(shù)，α不再局限于正整數(shù)，關于分數(shù)階算子的定義：

(1)

根據(jù)分數(shù)階的定義,寫出分數(shù)階動力吸振器的運動方程為

MaD2Xa+CaDαXa+KaXa+gXa(t-τ)=0。

(2)

對式(2)進行拉普拉斯變換得到動力吸振器的特征方程為

Mas2+Casα+Ka+ge-sτ=0。

(3)

以α為1/2為例進行描述(其他分數(shù)值過程類似，可通過實驗模擬得到最吻合物理模型的分數(shù)階次)。在高哲法中g的值為一個確定值，我們現(xiàn)將其作為一個未知量，并將純虛根s=jωc代入式(3)，得到g與ωc之間存在的一個函數(shù)對應關系，通過研究該函數(shù)關系確定反饋增益值。簡化式(3)并將其系數(shù)分組成為(4)式與(5)式兩組：

(4)

(5)

將(4)式與(5)式代入高哲法中，得到一個8×8的P矩陣，并將該系統(tǒng)的參數(shù)代入矩陣中，求其特征值。由于g為未知量，使得P矩陣的特征值λ變?yōu)橐粋€函數(shù)表達式:

(6)

由于分數(shù)階為1/2階，所以ωc=λ2，將ωc代入(6)式便得到分數(shù)階動力吸振器的反饋增益與其共振頻率之間的對應關系。因此，可以根據(jù)(6)式確定不同頻率時的反饋增益值，達到實時調諧的目的。

以初始系統(tǒng)的共振頻率點作為吸振器的共振頻率點，將ωc=10 rad/s轉化為λ后代入式(6)，計算得到吸振器共振時反饋增益值為42.018 7 N·s/m。

2.2反饋時滯量的確定

2.2.1保證時滯動力吸振器穩(wěn)定的最大時滯量

時滯量的選取必須在動力吸振器系統(tǒng)和全系統(tǒng)均穩(wěn)定的情況下選取。當確定反饋增益后，再次利用高哲法進行穩(wěn)定性分析以確定時滯參數(shù)，其中分數(shù)階動力吸振器的特征方程已由式(2)給出，通過計算得出該動力吸振器發(fā)生穩(wěn)定性切換時所對應的固有頻率點為ωc1=10 rad/s和ωc2=3.712 9 rad/s，對應的初始時滯值分別為τ=0.021 45 s和τ=0.811 2 s，兩組時滯各自相鄰的兩時滯間隔分別為0.628 3 s和1.629 3 s，將所得的時滯值在時間軸上分段，求各個區(qū)間段的不穩(wěn)定根的個數(shù)，只有在[0，0.02145)內不穩(wěn)定根的個數(shù)為0，因此時滯減振器的穩(wěn)定性區(qū)域為[0，0.02145)。

不同時滯量對應的吸振器的振動曲線如圖2和圖3所示。圖2給出時滯取值在穩(wěn)定時滯區(qū)間τ=[0，0.02145)范圍內取值(如τ=0.02 s)時，分數(shù)階時滯動力吸振器振動曲線。由圖2可見，系統(tǒng)振動處于穩(wěn)定振動狀態(tài)。在時滯τ=0.021 45 s時處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。超出該時滯量(如τ=0.023 s)時，不穩(wěn)定根的數(shù)量逐漸增加，系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定性切換，動力吸振器迅速失穩(wěn)，如圖3所示。

圖2τ=0.02 s時吸振器的振動曲線

Fig.2The vibration curve of absorber whenτ=0.02 s

圖3τ=0.023 s時吸振器的振動曲線

Fig.3The vibration curve of absorber whenτ=0.023 s

2.2.2系統(tǒng)穩(wěn)定時時滯量最值分析

圖1所示系統(tǒng)的運動方程為

MaD2Xa-CaD0.5(X-Xa)-Ka(X-Xa)+gXa(t-τ)=0，

(7)

MD2X+Ka(X-Xa)+CaD0.5(X-Xa)-gXa(t-τ)+KX+CDX=F(t)，

(8)

通過對式(7)和式(8)的拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的特征方程如下：

(9)

P(s)=Ms2+Cs+K，

(10)將系統(tǒng)的參數(shù)代入式(9)，并用高哲法進行穩(wěn)定性分析，我們得到發(fā)生穩(wěn)定性切換的頻率共有4個，分別為ωc1=11.233 9 rad/s、ωc2=10.417 4 rad/s、ωc3=8.857 2 rad/s和ωc4=3.585 0 rad/s，對應的初始臨界時滯為τ1,0=0.035 8 s、τ2,0=0.195 8 s、τ3,0=0.019 2 s和τ4,0=0.841 2 s。將各個時滯量在時間軸上分段，整個系統(tǒng)只有在[0，0.019 2)時不穩(wěn)定根的個數(shù)為0，因此全系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定時滯點為0.019 2 s。

當時滯在τ=[0，0.0192)范圍內取值(如τ=0.01 s)時，全系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，如圖4所示。當τ=0.019 2 s時系統(tǒng)進入臨界穩(wěn)定狀態(tài)。超過該時滯量，不穩(wěn)定根的數(shù)量逐漸增加，系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定性切換，全系統(tǒng)迅速失穩(wěn)，如圖5所示當τ=0.021 45 s時全系統(tǒng)的振動明顯發(fā)散，此時如果繼續(xù)選取0.021 45 s作為時滯動力吸振器的正常工作的臨界時滯點，將會導致全系統(tǒng)失穩(wěn)，因此選擇τ=0.019 2 s作為時滯動力吸振器的臨界時滯點。

圖4τ=0.01 s時主系統(tǒng)的振動曲線

Fig.4The vibration curve of

main system whenτ=0.01 s

圖5τ=0.021 45 s時主系統(tǒng)的振動曲線

Fig.5The vibration curve of main

system whenτ=0.021 45 s

3數(shù)值模擬與分析

作為同時具備分數(shù)階sα和時滯項e-sτ的振動系統(tǒng)，如何表示這兩項對系統(tǒng)的數(shù)值模擬顯得尤為重要，本文統(tǒng)一采用逼近的算法進行處理。對分數(shù)階項，本文采用擬合精度較高的Oustaloup算法逼近[19]，該算法已在眾多研究中證明了其可靠性。對于時滯項，國內外學者通常的做法是利用Pade算法逼近，且Pade算法已經集成到了Matlab中，調用簡單，計算出原系統(tǒng)質量塊位移X與激振力F之間的傳遞函數(shù)，并在Simulink模塊下進行數(shù)值模擬。本文選取振幅為10 mm的正弦激勵作為外界激勵，默認兩個質量塊的初始條件為0，在不同頻率和不同條件下進行數(shù)值模擬分析，具體效果如圖6和圖7所示。

(a) 主系統(tǒng)M未加入動力吸振器時的振動曲線

(b) 主系統(tǒng)M加入被動型動力吸振器時的振動曲線

(c) 主系統(tǒng)M加入分數(shù)階時滯動力吸振器時的振動曲線

圖6共振點處主系統(tǒng)M在不同情況下的振動曲線

Fig.6Vibration curves of M in different conditions of the main system of resonance

(a) 主系統(tǒng)M未加入動力吸振器時的振動曲線

(b) 主系統(tǒng)M加入被動型動力吸振器時的振動曲線

(c) 主系統(tǒng)M加入分數(shù)階時滯動力吸振器時的振動曲線

圖7非共振點處主系統(tǒng)M在不同情況下的振動曲線

Fig.7Vibration curves of M in different conditions of the main system of resonance

圖6為主系統(tǒng)M在共振點時兩種減振器的減振效果對比，圖7為主系統(tǒng)M在非共振點處的減振效果對比。當激振頻率與原系統(tǒng)的固有頻率相等而發(fā)生共振時，傳統(tǒng)的動力吸振器的減振才有意義，從圖6(a)和圖6(b)的對比中可以發(fā)現(xiàn)，在共振點處被動動力吸振器的作用下振幅減少了87%左右。但從圖7(a)和圖7(b)中可以發(fā)現(xiàn)，當激振頻率發(fā)生變化，被動的動力吸振器減振效果明顯降低，振幅值減少了34.5%，這說明了傳統(tǒng)的動力吸振器具有局限性，即不可調諧，一旦頻率改變，減振效果立即下降。

根據(jù)時滯減振的一般理論，當時滯在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內取值時，時滯越大減振能力也越大，當時滯量為臨界穩(wěn)定邊界值[τ=0.019 2 s，如圖6(c)所示)]時，分數(shù)階時滯動力吸振器發(fā)揮最大的減振效果，對比圖6(a)與圖6(c)可見，振幅減少了99%，幾乎將主系統(tǒng)M上的振動完全吸收。

與傳統(tǒng)的被動動力吸振器相比較，分數(shù)階時滯動力吸振器在頻率改變時依然具有高減振效率，通過本文提出的計算方法，計算得到g=10 N·s/m，τ=0.1 s時減振效果最為明顯，效果如圖7(c)。通過對比圖7(a)，發(fā)現(xiàn)此時新型的動力吸振器依然達到83%的減振效果，與被動的動力吸振器的減振效果[如圖7(b)]相比提高了48.5%。

4結語

本文提出的分數(shù)階時滯動力吸振器將分數(shù)階的概念引入到了動力吸振器中，提供了確定這種新型的動力吸振器參數(shù)的方法，為分數(shù)階理論在動力吸振器中的推廣提供了一定的理論依據(jù)。

分數(shù)階時滯動力吸振器具備作為主動型動力吸振器的普遍優(yōu)點，即可以實時調諧，在被動型動力吸振器因頻率改變導致吸振效果降低時，前者通過調諧依然可以達到83%的吸振效果。

本文充分考慮主動控制的動力吸振器存在的時滯問題，利用時滯減振的基本原理，將時滯作為調節(jié)參數(shù)，設計出分數(shù)階時滯動力吸振器，并將其應用到主系統(tǒng)M上，使其振幅減小了99%，吸振效果顯著。

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(責任編輯梁健)

Fractional delay resonator and its effects on vibrations of primary systems

SONG Hong-tao, SHEN Yu-feng, JING dong, LIU Can-chang

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049,China)

Abstract:In order to study the influence of fractional order delay dynamic vibration absorber on the vibration of the main system, a delay dynamic fractional derivative vibration absorbing theory was proposed following the design principle of delay dynamic integer order derivatives vibration absorber. The relationship between the natural frequency of the fractional delay dynamic vibration absorber and feedback gain was determined by reverse derivation of Gao-Zhe method. This method can be in variable occasions, real-time tracking of natural frequency of fractional order delay dynamic vibration absorber excitation frequency change. The study showed that the vibration amplitude of the main system can be reduced by increasing the amount of dynamic vibration absorber delay, in a certain range of time delay, under stable conditions of main system and the dynamic vibration absorber. The data simulation analysis proved that this new method is feasible. The vibration damping effect is obvious, vibration is reduced about 99% by the novel dynamic vibration absorber, it is almost completely absorption; Even though the passive vibration absorber is obviously reduced, the new type of dynamic vibration absorber is still maintained an 83% vibration absorption effect.

Key words:fractional derivative; time delay; feedback; dynamic vibration absorber

中圖分類號：O328；TB123

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2016)02-0388-07

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0388

通訊作者：荊棟(1976—),男，山東淄博人，山東理工大學講師，博士；E-mail：13667861@qq.com。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275280)

收稿日期：2015-09-04；

修訂日期：2015-11-13

引文格式：宋洪濤，沈玉鳳，荊棟,等.分數(shù)階時滯動力吸振器對主系統(tǒng)振動影響[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(2)：388-394.