一般與特殊：正方形的教學(xué)立意

☉江蘇省張家港市東渡實驗學(xué)校　孫玉珍

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一般與特殊：正方形的教學(xué)立意

☉江蘇省張家港市東渡實驗學(xué)校孫玉珍

我們知道，平行四邊形是特殊的四邊形，根據(jù)教學(xué)次序，接著是特殊的平行四邊形，如矩形、菱形，最后是更特殊的正方形“出場”.回想起來，幾何教學(xué)就是這樣，總是先研究一般的圖形，然后研究這類圖形中的特例，是一種“從大到小”的學(xué)習(xí)次序.本文整理近期筆者開設(shè)的一節(jié)八年級正方形新授課教學(xué)流程，解讀該課中“一般與特殊”的教學(xué)立意，提供研討.

一、正方形新授課教學(xué)流程

（一）開課階段

1.呈現(xiàn)正方形

利用PPT動畫功能漸次呈現(xiàn)如下的平行四邊形之間關(guān)系，如圖1所示.

圖1

并板書正方形的定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.

2.研究正方形

問題1：正方形有哪些性質(zhì)？

預(yù)設(shè)互動：如果學(xué)生回答較為零亂，則提醒學(xué)生之前學(xué)習(xí)平行四邊形、矩形或菱形時是從哪些角度研究的（邊、角、對角線、對稱性質(zhì)等）.

問題2：如何判定一個四邊形是正方形？

預(yù)設(shè)互動：如果學(xué)生回答無序時，引導(dǎo)他們回顧矩形、菱形的判定方法，是從矩形、菱形出發(fā)證明正方形，還是從平行四邊形出發(fā)，或是從一個四邊形出發(fā)證明，然后再思考邊、角、對角線的作用.由于學(xué)生證明四邊形為特殊四邊形在之前已有較充分的訓(xùn)練，這里不必再板書或安排學(xué)生書寫過程，節(jié)約課堂時間，安排中上等學(xué)生口述證明思路即可.教師板書幾個證明方法：

方法1：（定義）用箭頭指向定義即可.

方法2：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.（符號語言略）

方法3：有一個角是直角的菱形是正方形.（符號語言略）方法4：對角線垂直的矩形是正方形.（符號語言略）方法5：對角線相等的菱形是正方形.（符號語言略）（二）正方形與等腰直角三角形

例1求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

預(yù)設(shè)互動：這是教材例題，先組織學(xué)生把文字命題圖形化、符號化（如圖2），大多數(shù)學(xué)生可以迅速確認(rèn)四個等腰直角三角形，確定之后，可以預(yù)設(shè)追問“圖中共多少個等腰直角三角形？”

變式1：如圖3，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

圖2

圖3

預(yù)設(shè)互動：考慮到教學(xué)時間，在學(xué)生獨(dú)立貫通思路之后，追問學(xué)生證明思路即可，不必書寫過程，點(diǎn)評時注意啟發(fā)學(xué)生思路，這里證明正方形的方法是怎樣的次序，有些學(xué)生可能是從定義的方法，有些同學(xué)可能是“證出菱形+一個直角”，還有學(xué)生可能是“證出矩形+一組鄰邊相等”的方法.接著給出追問：連接EG，F(xiàn)H，判斷EG與 FH的關(guān)系.（預(yù)設(shè)：相等且互相垂直平分）

變式2：如圖4，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，試判斷EG與FH的關(guān)系.

圖4

預(yù)設(shè)互動：學(xué)生可能會受到變式1的影響，連接EF、FG、GH、EH，再證出正方形EFGH，從而獲得問題解答.

追問：如圖4，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，那么：條件FH=EG與EG⊥FH能否互相推出？（預(yù)設(shè)：能夠互相推出，利用全等可以證明）

（三）正方形經(jīng)典問題的“正反”思考

例2如圖5，在邊長為a的正方形ABCD中，E、F是邊AD、CD上兩點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且AE=DF.連接BE、AF相交于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)E為邊AD的中點(diǎn)時，則AF的長為_________（用含a的式子表示）；

（2）求證：∠GBC+∠GFC=180°；

圖5

（3）G能成為AF的中點(diǎn)嗎？如果能，求出此時BG的長（用含a的式子表示）；如果不能，說明理由.

預(yù)設(shè)：第（1）問是基礎(chǔ)題，第（2）問需要發(fā)現(xiàn)∠AGE= 90°，而且這對第（3）問的分析有作用.當(dāng)M為DF的中點(diǎn)時，由（2）中∠AGE=90°知CE垂直平分DF，連接CF，則有CF=CD=CB，即F、B重合，這與條件點(diǎn)F不與端點(diǎn)重合相矛盾.所以M不能為DF的中點(diǎn).最后一問滲透反例意識，學(xué)生只要回答有道理即可，不必拘泥形式，學(xué)會舉反例是很重要的一種能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究過程中，很多問題并不都是結(jié)構(gòu)良好的，需要學(xué)會鑒別.

變式追問：當(dāng)F為邊CD的一個四等分點(diǎn)時，求BE的長（用含a的式子表示）.

（四）拓展思考，關(guān)聯(lián)代數(shù)

PPT切換到前面曾研究過的一個問題，引導(dǎo)學(xué)生再次關(guān)注，并從其他的角度進(jìn)行研究.

拓展思考：如圖6，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，四邊形EFGH的面積有最小值嗎？

圖6

預(yù)設(shè)互動：首先讓學(xué)生確認(rèn)四邊形

EFGH是一個正方形.接著利用幾何畫板軟件動畫演示這個正方形的面積變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB中點(diǎn)時，正方形EFGH的面積有最小值.引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明這個性質(zhì)？建議學(xué)生設(shè)正方形ABCD的邊長為a，AE=x，則BE=a-x，可得AH=a-x，則在Rt△AHE中，HE2=x2+（ax）2=2x2-2ax+a2=2（x-a）2+a2，即當(dāng)x=a2.這里主要是把學(xué)生的思緒從幾何思維拓展到代數(shù)中的配方法，利用配方法分析最值，也是滲透后續(xù)二次函數(shù)最值的應(yīng)用.

預(yù)設(shè)課堂小結(jié)：正方形是小學(xué)就很熟悉的一種圖形，性質(zhì)很多，不僅有本章接續(xù)在特殊平行四邊形之間的推理證明的學(xué)習(xí)要求，而且之前我們熟悉一些最值性質(zhì)也可以通過一些恰當(dāng)?shù)姆治觯崛∫恍┍匾臄?shù)學(xué)知識（包括幾何、代數(shù)）進(jìn)行有力的解釋.

跟進(jìn)聽課檢測：如圖7，邊長為a的正方形ABCD中，M、N是邊AD、CD上兩點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且AM=DN.連接BM、AN相交于點(diǎn)G.

圖7

（1）求證：AN=BM，AN⊥BM；

（2）當(dāng)M為邊AD的中點(diǎn)時，則AN的長為_________（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的條件下，連接CG，求證：CG=BC；

（4）當(dāng)N為CD邊的一個三等分點(diǎn)時，求BN的長（用含a時，正方形EFGH的面積取得最小值a的式子表示）；

（5）連接AC，分別過點(diǎn)M、D作l1//AN、l2//AC，設(shè)l1，l2交于H點(diǎn)，求證：BM=HM.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.特殊中孕育特殊，引導(dǎo)學(xué)生辨明正方形與四邊形的關(guān)系

開課階段我們通過PPT展示了從四邊形到平行四邊形，再到矩形、菱形，最后再更加特殊化為正方形，讓學(xué)生感知正方形與之前的四邊形之間的包含關(guān)系，感受特殊中孕育特殊的思想.事實上，幾何學(xué)習(xí)的一個基本路徑就是從一般走向特殊，根據(jù)史寧中教授在《數(shù)學(xué)的基本思想》（第4輯）中指出的演繹推理，所謂演繹推理也是一種“從大到小”的推理，可以訓(xùn)練人們的邏輯思維能力，使得推理解釋更有力量.所以本課教學(xué)時，在正方形性質(zhì)、判定的解題教學(xué)時，要注意讓學(xué)生重視正方形較之前四邊形的特殊性質(zhì)，并用好這些性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

2.從特殊走向一般，通過預(yù)設(shè)系列變式追問實現(xiàn)成果擴(kuò)大

又如史寧中教授在《數(shù)學(xué)的基本思想》（第3輯）關(guān)于歸納推理的解讀一樣，歸納推理是“由小及大”的推理方式，有利于發(fā)現(xiàn)新知，創(chuàng)造發(fā)明需要?dú)w納推理.順便指出，這樣的推理方式在代數(shù)教學(xué)中較為常見，比如，學(xué)習(xí)數(shù)（式）的運(yùn)算法則時，常常是先羅列一些簡單的數(shù)（式）的運(yùn)算，然后發(fā)現(xiàn)一種運(yùn)算法則，猜想并歸納出來之后，再嘗試證明運(yùn)算法則.而在幾何教學(xué)中，常常與之相反，往往是先發(fā)現(xiàn)并證明一般圖形的性質(zhì)，然后再將圖形特殊化進(jìn)行研究.所以我們在本課中通過系列典例的跟進(jìn)變式或追問，將學(xué)生研究正方形問題的思維方式注意通過從特殊走向一般進(jìn)行思維訓(xùn)練，當(dāng)然，在這個變式拓展過程中，也是問題得以“成果擴(kuò)大”的追求.

三、寫在最后

章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸根到底是學(xué)生自己的事情，教師的主要責(zé)任是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)，把學(xué)生‘卷入’到數(shù)學(xué)活動中來.”想來，我們通過對正方形典型例習(xí)題進(jìn)行變式追問或生長拓展，也是想努力把學(xué)生的思維“卷入”到課堂思維中來吧.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個關(guān)鍵［J］.課程·教材·教法，2015（5）.