一題多變，拓展思維——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑

☉陜西省商洛市商州區(qū)三岔河鎮(zhèn)九年制學(xué)?！￠h彥利

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一題多變，拓展思維——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑

☉陜西省商洛市商州區(qū)三岔河鎮(zhèn)九年制學(xué)校閔彥利

中學(xué)課標要求加強訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法.對學(xué)生進行思維訓(xùn)練的方法有多種，其中的一題多變教學(xué)方法尤為重要.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把一題多變作為問題的切入點，訓(xùn)練與培養(yǎng)學(xué)生的多元型數(shù)學(xué)思維，建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問題、積極探索和解決問題的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生站在不同角度、立于不同方位、持有不同觀點對同一問題進行仔細分析、努力思考，促使學(xué)生不滿現(xiàn)狀，積極探索新方法.

例（商州區(qū)九年級統(tǒng)一仿真模擬考試題）如圖1，已知AB=10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點為G.當點P從點A運動到點B時，點G移動路徑的長是________.

圖1

圖2

分析：如圖2，分別延長AC、BD交于點H，易證四邊形CPDH為平行四邊形，得出G為PH的中點，則G的運行軌跡為△HAB的中位線MN，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.

點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點G移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強.

拓展1：如圖3，已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連接EF，設(shè)EF的中點為G.當點P從點C運動到點D時，點G移動路徑的長是（）.

圖3

圖4

分析：如圖4，分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH的中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN.再求出CD的長，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.

點評：本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點問題，是中考的熱點.

拓展2：如圖5，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作兩個等邊三角形APC 和BPD，則線段CD的長度的最小值是（）.

圖5

圖6

分析：過C作CE⊥AB于點E，過D作DF⊥PB于點E，過D作DG⊥CE于G，根據(jù)勾股定理可以求得CD=，根據(jù)CG的取值范圍可以求得CD的最小值，即可解題.

點評：本題考查勾股定理在直角三角形中的靈活運用，等邊三角形各邊長相等的性質(zhì).根據(jù)勾股定理計算CD的值是解決本題的關(guān)鍵.

拓展3：如圖7，已知AB=2，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連接EF，設(shè)EF的中點為G，連接PG，則PG的最小值是_____.

圖7

圖8

分析：當P為AB的中點時，PG的值最小.首先證明△EPF是等腰三角形，再證明GP是∠EPF的角平分線，從而可以說明GP⊥AB，根據(jù)垂線段最短可得PG的值最小.然后再利用勾股定理計算出GP的長度即可.

點評：此題主要考查垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到P為AB的中點時，PG的值最小.

拓展4：如圖9，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ.有以下五個結(jié)論：

圖9

①AD=BE；②PQ∥AE；③EQ=DP；④∠AOB=60°；⑤當C為AE的中點時，S△BPQ∶S△CDE=1∶3.其中恒成立的結(jié)論有（）.

A.①②④B.①②③④

C.①②③⑤D.①②④⑤

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AB=BC=AC，DC=CE=DE，∠BCA=∠DCE=∠EDC=∠DEC=60°，推出∠ACD=∠BCE，根據(jù)SAS證△ACD≌△BCE，即可推出①；根據(jù)ASA證△DPC≌△EQC，推出CP=CQ，證三角形CPQ是等邊三角形，可推出②③；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平角定義即可判斷④；求出P、Q分別是BC和BE的中點，推出△BPQ的面積等于△BCE面積的，推出△BCE和△CDE的面積相等，即可判斷⑤.

點評：本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的運用，主要考查學(xué)生運用這些定理進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度，但題型比較好，有一定的代表性.

拓展5：如圖10，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC.

（1）求證：△ACE≌△DCB；

（2）請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關(guān)系并說明理由；

（3）求證：∠APC=∠BPC.

圖10

圖11

分析：（1）證明∠ACE=∠DCB，根據(jù)“SAS”證明全等.

（2）由（1）得∠CAM=∠PDM.又∠AMC=∠DMP，所以兩個三角形相似.

（3）由（2）得對應(yīng)邊成比例，轉(zhuǎn)證△AMD∽△CMP，得∠APC=∠ADC.同理，∠BPC=∠BEC.在兩個等腰三角形中，頂角相等，則底角相等.

點評：此題考查相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，第三問難度較大.

拓展6：如圖11，已知AB=10，C是線段AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊作直角△ACD、直角△BCE，且∠A=60°，∠B=30°，連接DE，M是DE的中點.

（1）當C運動到AB的中點時，△ACD、△BCE和△DCE有什么關(guān)系？

（2）當C運動到什么位置時，△ACD、△BCE和△DCE相似？

（3）當C運動到什么位置時，△DCE有最大面積，最大面積是多少？

（4）當C在AB上運動時，M點怎樣運動，運動的距離是多少？

分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACD和∠BCE，然后求出∠DCE=90°.

（1）根據(jù)中點定義可得AC=BC，然后求出AD=CE，CD=BE，再利用“邊角邊”即可證明三個三角形全等.

（2）設(shè)AC=x，表示出CD、BC和CE，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似，分情況列式求解即可.

（3）根據(jù)直角三角形的面積公式列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值解答.

（4）如圖12，延長AD、BE交于點F，求出∠AFB=90°并得到四邊形CDFE是矩形，連接CF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點M是CF的中點，從而得到點M的運動軌跡是△ABF的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得點M的運動距離為AB.

點評：本題是相似形綜合題，主要利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，三角形的中位線定理.（4）中判斷出點M的運動軌跡是三角形的中位線是解題的關(guān)鍵.

圖12

圖13

拓展7：如圖13，點P是線段AB上的動點，分別以AP、BP為邊向線段AB的同側(cè)作正△APC和正△BPD，AD和BC交于點M.

（1）當△APC和△BPD的面積之和最小時，直接寫出AP∶PB的值和∠AMC的度數(shù).

（2）將點P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時針方向繞點P旋轉(zhuǎn)一個角度α，當α＜60°時，旋轉(zhuǎn)過程中，∠AMC的度數(shù)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

（3）在（2）給出的旋轉(zhuǎn)過程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請寫出∠AMC的度數(shù)的變化范圍；若不變化，請寫出∠AMC的度數(shù).

分析：（1）設(shè)AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積之和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值，從而求得兩線段的比值.

（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

（3）旋轉(zhuǎn)的過程中，（2）中所得兩個三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會變化.

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵.

拓展8：如圖14，點P是線段AB的中點，分別以AP和BP為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，連接CD，得到四邊形ABDC.

（1）在圖14中順次連接邊AC、AB、BD、CD的中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是________；

圖14

圖15

（2）如圖15，若點P是線段AB上任一點，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，得四邊形ABDC，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

圖16

（3）如圖16，若點P是線段AB外一點，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC =PA，PD =P B，且∠APC=∠BPD=90°，請你先補全圖16，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

分析：（1）四邊形EFGH為菱形，可以由EH為三角形ACD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EH平行于AD，且EH等于AD的一半.同理，由PG為三角形ABD的中位線，得到PG平行于AD，且PG等于AD的一半.可得出EH與PG平行且相等，得到四邊形EFGH為平行四邊形.由三角形APC與三角形BDP都為等邊三角形且P為AB的中點，可得出AP=CP，PD=PB，且∠APD=∠CPB=120°，利用SAS得到三角形APD與三角形CPB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD=BC.由三角形中位線定理得到HG 為BC的一半，等量代換可得出HE=HG，得到平行四邊形EFGH為菱形.

（2）（1）中的結(jié)論仍成立.理由如下.

連接AD、BC.可以由EH為三角形ACD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EH平行于AD，且EH等于AD的一半.同理，由FG為三角形ABD的中位線，得到FG平行于AD，且FG等于AD的一半，可得出EH與FG平行且相等，得到四邊形EFGH為平行四邊形.由∠APC=∠BPD，兩邊都加上∠CPD，可得出∠APD=∠CPB，再由AP=CP，DP=BP，利用SAS可得出三角形APD與三角形CPB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD=BC.由三角形中位線定理得到HG為BC的一半，等量代換可得出HE=HG，得到平行四邊形EFGH為菱形.

（3）根據(jù)題意補充圖形，連接AD、BC.可以由EH為三角形ACD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EH平行于AD，且EH等于AD的一半，同理由FG為三角形ABD的中位線，得到FG平行于AD，且FG等于AD的一半，可得出EH 與FG平行且相等，得到四邊形EFGH為平行四邊形.由∠APC=∠BPD，兩邊都加上∠CPD，可得出∠APD= ∠CPB，再由AP=CP，DP=BP，利用SAS可得出三角形APD與三角形CPB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD=BC.由三角形中位線定理得到HG為BC的一半，等量代換可得出HE=HG，得到平行四邊形EFGH為菱形.

點評：此題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合及等量代換的思想.解決本題三問的方法類似，注意第二、三問中連接AD與BC，構(gòu)造全等三角形得到AD=BC，然后利用三角形中位線定理來解決問題.

拓展9：如圖17，已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形APEF和正方形PBGH，點O1和O2是這兩個正方形的中心，連接O1O2，設(shè)O1O2的中點為Q.當點P從點C運動到點D時，點Q移動路徑的長是________.

圖17

圖18

分析：如圖18，分別延長AO1、BO2交于點K，易證四邊形O1PO2K為平行四邊形，得出Q為PK的中點，則Q的運行軌跡為三角形KAB的中位線MN.運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.

點評：本題考查正方形及中位線的性質(zhì)，以及動點問題，是中考的熱點.

拓展10：如圖19，已知線段AB= 10，AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設(shè)正方形對角線的交點分別為O1、O2，當點P從點C運動到點D時，線段O1O2的中點G的運動路徑的長是______.

圖19

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理，即可得出正方形對角線的長，進而得出線段O1O2的中點G的運動路徑的長.

點評：此題主要考查正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出G點移動的路線是解題的關(guān)鍵.

總之，一題多變，不僅能從多方面、多層次、多角度去培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，思考問題，活躍解題思路，開闊視野，提高思維能力和靈活動用知識的能力，而且能夠拓寬、深化解題思路，探索解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)，增強應(yīng)變能力和知識遷移能力，從而達到舉一反三、觸類旁通、事半功倍的效果.

參考文獻：

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3.張奠宙，梁紹君，金家梁.數(shù)學(xué)文化的一些新視角［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（1）.

4.王東明.初探幾何教學(xué)中的解題策略［J］.數(shù)理化解題研究，2015（16）.