一道“文字命題”證明引發(fā)的研討

☉江蘇省連云港市東?？h石梁河中學(xué)　湯宜成

?

一道“文字命題”證明引發(fā)的研討

☉江蘇省連云港市東?？h石梁河中學(xué)湯宜成

一、緣起

最近在某數(shù)學(xué)教育工作者的微信群里，由一位初中數(shù)學(xué)教師提供一道幾何文字命題的賽題，之后引發(fā)激烈的討論，這道賽題雖然簡(jiǎn)單，然而從不同的教師研討意見中卻能得到很多啟發(fā)，特別是關(guān)于文字命題與圖形語言、符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)譯和教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)等話題，都是值得深入思考的.為此，筆者整理出這段研討過程中的精彩觀點(diǎn)，并跟進(jìn)思考，拋磚引玉，希望能引發(fā)更多的探討.

二、關(guān)于“文字命題”證明的研討摘要

首先是教師1展示一道近期命制的八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：

八年級(jí)競(jìng)賽題：（全卷第14題）小南同學(xué)在學(xué)習(xí)平行四邊形期間有一個(gè)“發(fā)現(xiàn)”：如果三角形的一條中位線與第三邊上的中線相等，那么該三角形一定是直角三角形.請(qǐng)判斷：“小南發(fā)現(xiàn)”的真假，如果是真命題，給出證明；如果是假命題，畫出反例.

教師1給出解讀：命題指導(dǎo)思想是來源于人教版八年級(jí)教材，并做增加層次的改編.該題得分率很低，很多優(yōu)秀學(xué)生都不能有效辨明題設(shè)與結(jié)論，特別是忽略“第三邊”的理解，導(dǎo)致思路方向出錯(cuò)，比如，下面是一位優(yōu)秀學(xué)生的錯(cuò)誤解答：

解：假命題.

如圖1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，DE為中位線，CE是AB邊上的中線，顯然，CE>DE.故“小南發(fā)現(xiàn)”是假命題.

教師2：似乎要說明當(dāng)前初中數(shù)學(xué)對(duì)文字命題教學(xué)與考試的弱化.

圖1

教師3：主要是作為強(qiáng)勢(shì)引領(lǐng)的各地中考試卷，有考查文字命題證明的題型.

教師4（高中數(shù)學(xué)教師）：我有不同意見，命題人有沒有想過，是命題語言上的晦澀造成的，學(xué)生理解吃力？如果用字母表示肯定沒問題了.

教師5（高校數(shù)學(xué)教師）：“第三邊”這個(gè)敘述有含糊之處.提到第三邊，必先明確“前兩邊”.題目中沒有明確說，而是由“中位線”暗含了兩邊.學(xué)生沒有這個(gè)習(xí)慣，不仔細(xì)推敲，想當(dāng)然就畫了一個(gè)圖.昨天提的那個(gè)邏輯問題也是一個(gè)道理：條件講“相加”，結(jié)論有“和為負(fù)數(shù)”，不經(jīng)意之間就混入了“和”把條件的“相加”包含進(jìn)去了.問題不在“如果……那么……”，而在于第三邊必須先搞清楚前兩邊.

教師1：讓我引蘇科版教材，為我辯護(hù)一下，蘇科版八年級(jí)下冊(cè)教材中，在平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容下，有黑體字表述：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

教師2：我們也正在這個(gè)教學(xué)進(jìn)度，對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生，如果不能明辨“第三邊”，則是概念不明.

教師6：這個(gè)表述很清楚啊，都說了是第三邊了，那么前兩邊指的自然是與中位線有關(guān)的兩邊了，這點(diǎn)都要題目解析，那還學(xué)什么語文.

教師7：用字母畫圖然后給學(xué)生做，是幾何教學(xué)的弱智化做法，也就是學(xué)界目前批判的“燒中段”.

教師2：如果初中空間圖形主要反映《幾何原本》內(nèi)容的話，那么《原本》中似乎沒有那么多的符號(hào)語言，目前初中階段空間圖形教學(xué)，學(xué)生極不適應(yīng)的就是，對(duì)文字表述如何轉(zhuǎn)譯成圖形和符號(hào)語言.

教師4：命題語言如果和課本一致，那沒問題了.學(xué)生“應(yīng)該”理解！但我還有一點(diǎn)不明白，干嘛一定要求學(xué)生具備你們說的那種“轉(zhuǎn)譯”能力？初中數(shù)學(xué)不懂，妄言了.

教師6：如果按照這個(gè)說法，那數(shù)學(xué)也不用考應(yīng)用題了，用數(shù)學(xué)符號(hào)列出已知、所求，因?yàn)檫@是符號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)潔清晰.

教師3：教材中的黑體字是有上下文的……

教師7：值得注意的是，課本上說得很巧，是用兩個(gè)單句，而并沒用“且”構(gòu)成復(fù)合句.我相信，如果你那個(gè)題也用兩個(gè)單句，會(huì)好些.

教師2：“轉(zhuǎn)譯”能力是從具體事物中提取數(shù)學(xué)模型的能力.如果缺乏這種能力，學(xué)生難以將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際聯(lián)系起來.于是，“數(shù)學(xué)學(xué)了沒用，考完就可以扔了.”

教師6：我也有點(diǎn)不明白，為什么就不能要求有這種互譯的能力呢？以前學(xué)習(xí)時(shí)，要求具備文字、符號(hào)、圖形的互譯能力，難道現(xiàn)在要求這么低嗎？

教師4：我剛才的意思是：文字，符號(hào)，圖形，三者互譯當(dāng)然重要.考慮方向，這樣會(huì)有六種能力，是不是平行的？現(xiàn)在時(shí)代變了，是不是……

教師5：空間圖形知識(shí)當(dāng)然應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)畫圖，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形尋找答案和糾正錯(cuò)誤的習(xí)慣.抽象能力提高了才能不畫圖而想到圖.對(duì)于文字命題的題目，老師覺得敘述清楚了.學(xué)生有時(shí)有先入為主的習(xí)慣，不加思考就畫個(gè)圖做下去了.如果他覺得自己還沒搞清楚，仔細(xì)一想就搞清楚了.最壞的情況是，他一上來就有一個(gè)想法走偏了，就不再懷疑自己的判斷，而且他走下去沒有障礙.如果題目要求證明命題正確，他證不出來就會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.題目要求判斷.他判成假命題也合理，就發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤.這種毛病在優(yōu)秀學(xué)生身上更嚴(yán)重一些：從不假定自己可能犯錯(cuò).

教師6：個(gè)人覺得，考試，不是非得學(xué)生要做對(duì)吧.有的細(xì)心的，注意到了，就做對(duì)了，有的，做完后發(fā)現(xiàn)問題，再注意到，這樣也挺好的呀！一家之言.

教師5：所以，這個(gè)問題本質(zhì)上不是數(shù)學(xué)問題，也不是邏輯問題，而是自以為是的心理在作怪：自己不肯妄議自己.有一年高考，我的一個(gè)同事也是學(xué)生家長(zhǎng)說：今年高考題很怪，好學(xué)生做不好，差學(xué)生做得好些.我很奇怪.他說第一道題就難.差生覺得反正自己差，做不出來就做第二題.優(yōu)生覺得自己沒有做不出來的題，就在第一題耗費(fèi)大量時(shí)間.我的評(píng)價(jià)：優(yōu)生第一條標(biāo)準(zhǔn)就是知道自己不是萬能的.

……

三、關(guān)于文字命題的進(jìn)一步思考

由于群里的研討較為隨意，且發(fā)言者的思考多是即興的，能這樣聚焦在某一個(gè)話題之下，并且很有價(jià)值的論述還較少見.以下我們?cè)賴@文字命題證明的話題給出自己的一些思考.

1.空間圖形教學(xué)應(yīng)該更加重視文字命題的證明

扯開話題，兩年前，筆者執(zhí)教“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”，縣數(shù)學(xué)教研員聽課后提出一個(gè)批評(píng)：你今天讓學(xué)生先猜想出“等邊對(duì)等角”之后，在PPT上就迅速出示你寫的已知、求證和圖形，這是對(duì)學(xué)生的不負(fù)責(zé)任，應(yīng)該問學(xué)生，如何證明“等邊對(duì)等角”，并追問學(xué)生這個(gè)命題中的題設(shè)是什么，結(jié)論是什么，……而你，重點(diǎn)花在這個(gè)命題多樣的證明上，這不是本課時(shí)的重點(diǎn)，全等證明是之前學(xué)生應(yīng)該具有的能力了.

忠言逆耳，當(dāng)時(shí)雖然還不能完全理解，隨著教學(xué)認(rèn)識(shí)的深入，如今看來，筆者雖然教了這么多年的初中數(shù)學(xué)，但這點(diǎn)確實(shí)沒有辨明教學(xué)重點(diǎn).回到當(dāng)前文字命題的證明上來，就如上文中展示的一個(gè)學(xué)生錯(cuò)誤解答，錯(cuò)誤的根源就是沒有辨明概念，沒讀懂文字命題中的第三邊的概念.然而，文字命題的證明之所以普遍沒有得到重視，主要原因可能還是數(shù)學(xué)教材、各級(jí)考試.

2.數(shù)學(xué)教材中關(guān)于文字命題的證明偏少

筆者查閱了上個(gè)世紀(jì)之初傅仲孫老師著的《平面幾何教本》，在該教材中，大量的文字命題的證明，而配有圖形的卻占少數(shù)，這不得不引發(fā)我們思考，如今的教材編寫把大量的文字語言能說清的幾何性質(zhì)改寫成圖形、符號(hào)語言，是幫助學(xué)生，還是弱化學(xué)生思考呢？有學(xué)者一直在批判我們的數(shù)學(xué)教學(xué)是“燒中段”，即掐頭、去尾、燒中段.文字命題如何轉(zhuǎn)譯成圖形、符號(hào)的能力，恰恰是學(xué)生辨明文字命題中題設(shè)與結(jié)論的重要能力.

3.各級(jí)考試中，文字命題的證明題幾乎不見

如果說教材中關(guān)于文字命題的例題還能找到，教材習(xí)題中所配發(fā)的文字命題也還保持了較少的量，那么以筆者熟悉的各地中考試卷來看，各地中考試卷中已鮮有直接考查文字命題的試題了，對(duì)于起著強(qiáng)勢(shì)導(dǎo)向作用的中考試題來說，如果中考不考，教學(xué)中的弱化和淡化，甚至不加以訓(xùn)練也就不難理解了.為此，我們呼吁，不能因?yàn)槲淖置}證明的相對(duì)開放性，就弱化這個(gè)方向的考查，應(yīng)該在各級(jí)考試中加強(qiáng)文字命題的適量考查，以便引導(dǎo)學(xué)生重視文字命題的證明.

參考文獻(xiàn)：

1.課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.傅仲孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

3.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

4.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.