伸頭伸腳“話”變式，添頭添腳“悟”證法*——以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)為例

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伸頭伸腳“話”變式，添頭添腳“悟”證法*——以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)為例

☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進修學(xué)校曾澤群
☉福建省泉州市第六中學(xué)林江文

幾何的論證入門是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及言必有據(jù)、有條理地表述的另一個新起點.它是一把雙刃劍，既會讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，進而熱愛數(shù)學(xué)，也會使學(xué)生在跌倒之后，喪失信心而成為幾何的“門外漢”.因此，幾何的論證入門是學(xué)生學(xué)好幾何的關(guān)鍵期.“全等三角形”這一章重點探討的是能否用較少的幾個基本事實作為演繹推理的最原始的依據(jù)，用演繹推理的方法研究圖形的屬性，論證幾何命題.而之前，演繹證明的過程是以學(xué)生的填空為主，因此，“全等三角形”是幾何論證入門的關(guān)鍵章節(jié).為了讓學(xué)生順利闖關(guān)，華東師大版教材以逐步深入為原則，從簡單問題入手，然后采用伸頭又伸腳的教學(xué)方法進行突破.基于“全等三角形的判定定理”是繼“命題、定理與證明”之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”肩負著讓學(xué)生的邏輯思維、推理能力上一個臺階及鞏固和提高學(xué)生書面表述能力的重要任務(wù)，對此，筆者在進行“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)時，凸顯華師大版教材的特色做法——就簡單問題進行伸頭伸腳.從整體復(fù)習(xí)、激活知識，組合變換、開放探究，變式突破、提升能力三個層面展開.

一、整體復(fù)習(xí)，激活知識

在全等三角形判定定理的應(yīng)用中，學(xué)生能否準確地回憶再現(xiàn)判定定理是解決問題的前提條件，為了避免學(xué)生機械地、順口地溜出判定定理，筆者設(shè)計了一道開放性題目，讓學(xué)生回顧舊知.具體如下.

題1：如圖1，已知AB=DE，請補充合適的條件，使△ABC≌△DEF（要求盡可能多地寫出用不同方法解答的答案），然后完整地敘述該命題.

圖1

題1雖是立足基礎(chǔ)的簡單開放題，但它涵蓋了全等三角形的四個判定定理，解答時，學(xué)生除了要記住全等三角形的判定定理，還要根據(jù)定理內(nèi)容選擇性地添加條件并用符號語言準確書寫.因此，這樣的開端不但可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)習(xí)信心，而且能為他們后續(xù)靈活應(yīng)用全等三角形的判定定理解決問題奠定基礎(chǔ).互動時，為了拓展題1的教學(xué)功能，筆者還進行了簡單的變式，將已知“邊相等”改成“角相等”、已知“一個條件”改成“兩個條件——兩邊相等或一邊一角相等或兩角相等”，繼續(xù)考查學(xué)生靈活選擇判定定理解決問題的能力.

二、組合變換，開放探究

由于學(xué)生已經(jīng)掌握了圖形的變換（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)），為了讓學(xué)生了解幾何命題的演變手段——圖形變換，筆者以圖1為背景材料，在題1的基礎(chǔ)上設(shè)計了題2，讓學(xué)生進行操作與反思.具體如下.

題2：（1）動手操作：請同學(xué)們利用手中的學(xué)具——兩個全等的三角形紙片，即圖1中的全等三角形△ABC和△DEF，將它們進行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換，看看能得到哪些組合圖形，并將它們描下，在學(xué)習(xí)小組中交流.

（2）反思：想一想通過變換后得到的組合圖形，若要再判定這兩個三角形全等，還需要原命題中的那些條件呢？

這是基于題1的一個變式，屬開放探究式活動.它不但需要動手操作，而且需要思考；它既考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，又考查他們的發(fā)散思維能力.對于操作活動，得到的組合圖形繁多，如圖2.而活動后的反思，激活了學(xué)生的思維，有助于提高學(xué)生思維的嚴謹性，切實做到言必有據(jù)，并用最少的條件去得到所要的結(jié)論.

若用孤立的眼光看問題，只著眼于單一的知識點——全等三角形的三個判定定理的應(yīng)用，對于圖2.1—圖2.4，只能保留原條件，得到一組基于題1的只有圖形改變的變式題.而對于圖2.5—圖2.7，則因它們有公共的角或邊，從數(shù)學(xué)的簡約性角度來思考，可以省略一個原條件，得到一組基于題1的圖形與條件都改變的變式題.

若用聯(lián)系的眼光看問題，著眼于知識點的綜合應(yīng)用，對于圖2，還可以將其原條件進行變更，得到更為復(fù)雜的變式題.由于課堂時間的有限性，不可能將它們一一展開，只能就反思結(jié)果中的一個組合圖形進行再拓展，以求得舉一反三的效果.

圖2

三、變式突破，提升能力

為了讓學(xué)生了解由淺入深的題目的另一演變過程——變式及其基本策略——轉(zhuǎn)化與化歸思想，消除他們對幾何學(xué)習(xí)的畏懼心理，進而逐步提高學(xué)生的邏輯推理能力和書面表達能力，筆者以圖2.2為背景，在題2的基礎(chǔ)上進行再拓展，設(shè)置題3.具體如下.

題3：（1）背景材料——命題1：圖2.2中，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，則△ABC≌△DEF.

（2）拓展延伸1：改變“命題1”中的已知條件，寫出一個以上的真命題，并選擇其中的一個命題加以論證.

（3）拓展延伸2：改變“命題1”中的結(jié)論，寫出一個以上的真命題，并選擇其中的一個命題加以論證.

（4）拓展延伸3：改變“命題1”中的已知條件與結(jié)論，寫出一個以上的真命題，并寫出提綱式的論證要點.

題3是基于前面兩個教學(xué)環(huán)節(jié)、立足基礎(chǔ)的又一開放變式題組，它通過對簡單、已解決的問題進行伸頭伸腳，使得題組由淺入深，由簡到繁.因此，它在挑戰(zhàn)學(xué)生思維的同時，又讓不同層次的學(xué)生有獨立思考的空間，從而有效實現(xiàn)分層教學(xué).在解決題3時，學(xué)生必須以轉(zhuǎn)化與化歸思想為指導(dǎo)，要么以“分析法”為主的思維方式，逐一對命題1的條件進行變換，要么以“綜合法”為主的思維方式，對命題1的結(jié)論進行逐步延伸，因此，它們的答案（新命題）真可謂仁者見仁，智者見智.

對于延伸1，不但有立足于判定定理的簡單變式，如變式1：已知AB=DE，AC=DF，BC=EF，則△ABC≌△DEF.而且有立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用平行線的性質(zhì)、等式的性質(zhì)的變式，如變式2：已知AB=DE，AB∥DE，BC= EF，則△ABC≌△DEF.

對于延伸2，它是立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)定理、平行線判定定理的變式，如變式3：已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=FE，則∠BCA=∠EFD；變式4：已知AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，則AC∥DF.

延伸3則是延伸1與延伸2的組合，它是學(xué)生綜合應(yīng)用知識的結(jié)果.

對于由延伸1、延伸2、延伸3獲得的“立足于轉(zhuǎn)化與化歸思想”的新命題，它們的論證過程，則是在命題1的前面或后面再添加一個或一個以上的判斷，而規(guī)范的書面表達則還須在判斷與判斷之間刪掉重復(fù)書寫的部分，使其簡潔、明了.這種步步深入的論證及書面表述方式的教學(xué)，就是徹頭徹尾的“添頭添尾”法.它不但體現(xiàn)了思維的有序性，讓學(xué)生有章可循，而且促使他們在潛移默化中逐步領(lǐng)悟演繹推理的真諦，學(xué)會正確、規(guī)范的書面表述.與此同時，借助變式2的論證分析，強化幾何論證中的“分析法（執(zhí)果尋因法）——利用轉(zhuǎn)化思想，將未知條件逐步轉(zhuǎn)化到已知條件”；“綜合法（由因?qū)Чǎ獜囊阎霭l(fā)，發(fā)散式地逐步推導(dǎo)結(jié)論，從中篩選出論證結(jié)果所需的條件”.讓學(xué)生在簡單的背景下深刻理解采用“分析法”與“綜合法”時，其思維的切入點和?？奎c.并借助后續(xù)變式題的論證分析，讓學(xué)生體悟這兩種幾何論證的思考方式，在解決簡單的幾何論證題時，可以單獨使用，但遇到復(fù)雜的題目，往往需要同時使用，才能迅速找到論證思路.

由上可知，題3讓一個簡單的命題逐步演變成復(fù)雜的命題，在不斷的變式中，由于它的步步為營、螺旋上升及“伸頭伸腳”的變換方式，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與靈感，使學(xué)生的發(fā)散思維能力、演繹推理能力及全方位思考問題的能力得到提高，而且非常有利于教師采用“添頭添腳”的方式有效地引導(dǎo)學(xué)生獲得“尋找證明思路”的思考方式，以及進行正確、規(guī)范的書面表達.與此同時，學(xué)生通過自己動手改編問題、解決問題，在互動生成的過程中，體會相對復(fù)雜題型的由來，感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決問題時的重要性，從而促使他們靈活應(yīng)用所學(xué)的知識，正確地解決問題.

總之，這種以變式為主線，以變換為工具，以轉(zhuǎn)化與化歸思想為靈魂，以開放探究為手段的教學(xué)，既較好地體現(xiàn)了課標的要求及華師大版教材的特色——“就簡單問題伸頭伸腳”，有效發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維及探究力，又為“添頭添腳”的論證及其書面表述起到承上啟下、自然銜接的作用，對幾何入門教學(xué)，如何提升學(xué)生的演繹推理能力及書面表達能力作出了有力的詮釋.

*基金項目：福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度常規(guī)課題“初中數(shù)學(xué)例習(xí)題的重組與變式的教學(xué)實踐”（2014CG1282）.