一次“圖形性質(zhì)探究課”的實(shí)踐與思考——以“線段的垂直平分線的性質(zhì)”教學(xué)為例

☉江蘇省南京市第三十九中學(xué)　夏　鳴

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一次“圖形性質(zhì)探究課”的實(shí)踐與思考——以“線段的垂直平分線的性質(zhì)”教學(xué)為例

☉江蘇省南京市第三十九中學(xué)夏鳴

在一次市級(jí)培訓(xùn)活動(dòng)中筆者開設(shè)了蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊“線段、角的軸對(duì)稱性（1）”公開課.本節(jié)課的重點(diǎn)是探究并證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理.下面呈現(xiàn)關(guān)于這部分教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)、探究、思考?xì)v程，期待能帶給大家啟示.

一、課前的教學(xué)分析

對(duì)于這部分內(nèi)容，教材提供了如下探究內(nèi)容：

如圖1，線段AB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)P在l上.PA與PB相等嗎？

圖1

在教學(xué)中，多數(shù)教師會(huì)按照“（度量或折疊）發(fā)現(xiàn)結(jié)論→猜想性質(zhì)→證明→應(yīng)用”的主線進(jìn)行教學(xué).但這一過程中學(xué)生的實(shí)質(zhì)性思考并不充分，關(guān)鍵是缺少“從哪里開始探究性質(zhì)”、“從哪些角度探究性質(zhì)”等問題的引導(dǎo).這樣的“探究”活動(dòng)只能使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果，未能使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，更無法使學(xué)生在掌握知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考，有“假探究”之嫌.那么，我們應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)這部分內(nèi)容的探究活動(dòng)呢？需要先思考以下幾個(gè)問題：

1.探究圖形性質(zhì)就是要探究什么

探究圖形的性質(zhì)是指探究確定圖形要素所具有的共同特征.例如，探究三角形的性質(zhì)是指探究三角形的邊和角所具有的共同特征；探究全等三角形的性質(zhì)是指探究其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)特殊線段（高線、中線、角平分線）的共同特征.本節(jié)課探究的圖形是線段的垂直平分線，確定線段垂直平分線的要素是線段垂直平分線上的點(diǎn)，那么探究性質(zhì)就是要探究這些點(diǎn)的共同特征.因此，線段垂直平分線的性質(zhì)定理也可以看成是線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)定理.

2.探究圖形性質(zhì)的起點(diǎn)在哪里

從數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)上看，“概念、性質(zhì)、判定、應(yīng)用”是探究平面圖形的四個(gè)方面.概念是整個(gè)探究的始端，也是基礎(chǔ)，更是探究圖形性質(zhì)、判定的“基石”.從學(xué)生認(rèn)知水平上看，學(xué)生已經(jīng)了解線段垂直平分線的概念，知道線段垂直平分線的特征，即OA=OB，l⊥AB（如圖1）.這些特征不僅是后續(xù)證明性質(zhì)定理的重要依據(jù)，而且是探究性質(zhì)的入手點(diǎn)和生長點(diǎn).教學(xué)中，我們應(yīng)該利用“概念”（點(diǎn)O的特征）啟發(fā)學(xué)生思考直線l上各點(diǎn)的共同特征，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、證明等活動(dòng)探究性質(zhì).

3.如何證明這個(gè)性質(zhì)定理

對(duì)于這個(gè)性質(zhì)定理的證明，我們常常會(huì)直接通過圖1中兩個(gè)直角三角形全等進(jìn)行證明.但這種證明方法不夠準(zhǔn)確，也沒能揭示該定理的數(shù)學(xué)本質(zhì).這個(gè)性質(zhì)定理是指線段垂直平分線上所有的點(diǎn)（無限個(gè)點(diǎn)）到線段兩端點(diǎn)的距離相等.當(dāng)探究對(duì)象的個(gè)數(shù)是無限個(gè)時(shí)，我們可以用枚舉歸納法將“無限個(gè)”轉(zhuǎn)化成“有限個(gè)”（分類）進(jìn)行證明.不難發(fā)現(xiàn)，除點(diǎn)O外其他各點(diǎn)處總有圖1中兩個(gè)直角三角形全等，而在點(diǎn)O處這兩個(gè)直角三角形并不存在.因此，證明該定理時(shí)需要分成兩種情況進(jìn)行討論，只用全等三角形進(jìn)行證明是不全面的.

4.探究活動(dòng)應(yīng)在哪里結(jié)束

學(xué)完性質(zhì)定理后，我們的探究活動(dòng)應(yīng)該結(jié)束嗎？答案是否定的.因?yàn)榫€段垂直平分線的性質(zhì)定理描述的是線上的點(diǎn)具有的數(shù)量關(guān)系.這反映了位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系.就圖1中點(diǎn)的位置而言，既有直線l上的點(diǎn)，也有直線l外的點(diǎn).教學(xué)時(shí)，我們需要進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考直線l外的點(diǎn)具有的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生完善探究圖形之間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)路徑.另外，在教學(xué)過程中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)習(xí)圖形的概念、性質(zhì)后，還需要學(xué)習(xí)什么，怎樣學(xué)習(xí)等問題，傳遞探究圖形的基本套路（即探究圖形的概念、性質(zhì)、判定及應(yīng)用）.

二、課中的教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：回顧概念，明確探究方向

教師：根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)說出線段的垂直平分線的概念.

學(xué)生1：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

教師：學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，我們學(xué)習(xí)了全等三角形的概念、性質(zhì)、判定及應(yīng)用.通過類比，你覺得學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的概念之后，還會(huì)探究它的什么內(nèi)容？

學(xué)生2：學(xué)習(xí)它的性質(zhì)、判定、應(yīng)用.

教師：很好.你認(rèn)為探究線段的垂直平分線的性質(zhì)就是要探究什么？

（學(xué)生不知如何回答）

教師（追問）：全等三角形有哪些性質(zhì)，都探究了哪些方面？

學(xué)生3：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.探究了邊、角之間的關(guān)系.

教師（追問）：全等三角形的性質(zhì)是其主要元素（邊、角）等方面的共同特征，那么對(duì)于線段的垂直平分線（一條直線）而言，它的主要元素是什么？探究它的性質(zhì)就是要探究什么？

學(xué)生4：線段的垂直平分線的主要元素是點(diǎn)，探究它的性質(zhì)應(yīng)該是要探究這些點(diǎn)的共同特征.

環(huán)節(jié)2：立足起點(diǎn)，探究圖形性質(zhì)

教師：如圖2，線段AB的垂直平分線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，你認(rèn)為從哪個(gè)點(diǎn)開始探究？

學(xué)生5：我認(rèn)為可以先探究點(diǎn)O的特征.

圖2

教師：為什么先探究點(diǎn)O.

學(xué)生5：因?yàn)樗容^特殊，它是線段AB與直線l的交點(diǎn).教師：點(diǎn)O具有什么特征？為什么？

學(xué)生5：根據(jù)線段的垂直平分線的概念可以知道OA=OB.

教師：探究過特殊點(diǎn)O的特征后，接下來需要探究什么？

學(xué)生6：還要探究其他點(diǎn)的特征.

教師：這些點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，你準(zhǔn)備怎么探究？

學(xué)生6：可以任取一個(gè)點(diǎn)試一試.

教師：如圖2，點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線l上一點(diǎn)，點(diǎn)P有什么特征？請(qǐng)大家試一試.

（學(xué)生獨(dú)立思考3～5分鐘后交流）

學(xué)生7：如圖1，連接AP、BP，有AP=BP成立.

教師：為什么？

學(xué)生7：如圖1，因?yàn)镺A=OB，∠AOP=∠BOP，OP= OP，所以△POA≌△POB，所以PA=PB.

教師：很好.其余的點(diǎn)有類似特征嗎？

學(xué)生（眾）：有.

教師：既然直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，那么只取一個(gè)點(diǎn)P進(jìn)行證明，能代表其他所有的點(diǎn)嗎？為什么？

學(xué)生8：可以，因?yàn)椴还茉趌上取哪個(gè)點(diǎn)，總有OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP成立，所以總有△POA≌△POB，因此PA=PB一定成立.

教師：雖然直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，但是這些點(diǎn)滿足的條件沒有變，所以結(jié)論一定成立.在變化的過程中存在著不變，同學(xué)們是否感受到數(shù)學(xué)的魅力呢.

環(huán)節(jié)3：概括定理，理清證明思路

教師：我們把這個(gè)結(jié)論稱為線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，你能用一句話概括下嗎？

學(xué)生9：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

教師：通過前面的探究，想一想如何證明這個(gè)定理呢？

學(xué)生10：可以在直線l上取一點(diǎn)P，證明△POA≌△POB，就能得出PA=PB.

教師：大家同意嗎？誰有不同意見？

（絕大多數(shù)學(xué)生表示同意，教師追問）

教師：對(duì)于直線l上每一個(gè)點(diǎn)的特征，都能用這兩個(gè)直角三角形全等進(jìn)行證明嗎？

學(xué)生11：不行，當(dāng)在直線l上取點(diǎn)O時(shí)，不存在這兩個(gè)直角三角形，就不能用全等直角三角形證明.

教師：你很細(xì)心，那么怎樣證明呢？

學(xué)生11：需要分不同的情況進(jìn)行證明，一是當(dāng)在直線l上取點(diǎn)O時(shí)，根據(jù)概念直接得出OA=OB；二是當(dāng)在直線l上取不是點(diǎn)O的點(diǎn)時(shí)，根據(jù)全等直角三角形進(jìn)行證明.

教師：很好.這樣我們將“無限個(gè)點(diǎn)”的特征轉(zhuǎn)化成“有限個(gè)點(diǎn)”的特征來證明，這種證明方法稱為枚舉歸納法.今后我們還會(huì)用這種方法解決新的問題.

環(huán)節(jié)4：由內(nèi)到外，完善探究路徑

教師：探究過線段的垂直平分線上的點(diǎn)后，你還想探究什么？你準(zhǔn)備怎么探究？

（學(xué)生回答困難，教師追問）

教師：剛才探究了直線l上所有的點(diǎn)的特征，那么在這個(gè)平面內(nèi)，除直線l上的點(diǎn)外，還有其他的點(diǎn)嗎？你覺得還可以探究什么？

學(xué)生12：還可以探究直線l外的點(diǎn)的特征.

教師：請(qǐng)大家試一試.

（學(xué)生獨(dú)立思考6分鐘左右后交流）

學(xué)生13：如圖3，在直線l外取一點(diǎn)P，連接AP、BP、QB，因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)，所以AQ=BQ，所以PA=AQ+PQ=BQ+PQ＞PB.

圖3

圖4

圖5

圖6

教師：很棒，有不同想法的嗎？

學(xué)生14：我畫的圖（如圖4）與學(xué)生13的不同，得出的結(jié)論是PA＜PB，但證明方法類似.

教師：好，還有不同的做法嗎？

（學(xué)生繼續(xù)展示圖5、圖6，并推出正確結(jié)論）

教師：通過上面的探究，大家又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生15：線段垂直平分線外的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離不相等.

教師：這個(gè)結(jié)論如何證明呢？

學(xué)生16：可以分為圖3～圖6四種情況進(jìn)行證明.

教師：根據(jù)PA與PB的數(shù)量關(guān)系，這四種情況哪些可以合并？

學(xué)生17：在圖3、圖6情況下，都有PA＞PB，它們可以合并.在圖4、圖5情況下，都有PA＜PB，它們也可以合并.

教師：很好，你們現(xiàn)在覺得如何分類？

學(xué)生18：可以分為兩種情況，一是當(dāng)點(diǎn)P位于直線l的右側(cè)時(shí)，可以推出PA＞PB；二是當(dāng)點(diǎn)P位于直線l的左側(cè)時(shí)，可以推出PA＜PB.

教師：當(dāng)點(diǎn)P位于直線l的右側(cè)時(shí)一定是圖3或圖6的情況嗎？有無其他情況？

學(xué)生19：有，點(diǎn)P在線段OB上（如圖7），或點(diǎn)P在線段AB的延長線上（如圖8）.

圖7

圖8

圖9

圖10

教師：PA＞PB還成立嗎？如何證明？

學(xué)生19：成立，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，AP= AB+BP＞BP；當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，AP=OA+OP=OB+OP= OP+BP+OP=2OP+BP＞BP.

教師：真棒！當(dāng)點(diǎn)P位于直線l的左側(cè)時(shí)呢？

學(xué)生20：與前面類似，有點(diǎn)P在線段OA上（如圖9），或點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上（如圖10）的情況，這時(shí)PA＜PB也是成立的.

教師：恩，這樣我們才把這個(gè)問題討論清楚.

……

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)，傳遞基本套路

教師：學(xué)完線段的垂直平分線的概念與性質(zhì)定理后，你還想學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

學(xué)生21：學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的判定定理.

教師：你能猜出線段的垂直平分線上點(diǎn)的判定定理嗎？

學(xué)生22：我覺得可以將今天學(xué)習(xí)的性質(zhì)定理“反過來”，也就是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

教師：你認(rèn)為研究的路徑應(yīng)該是怎樣的？可以從哪里開始研究？

學(xué)生23：還是可以先研究AB的中點(diǎn)，再研究其余的點(diǎn).

教師：不錯(cuò)，有興趣的同學(xué)可以課后繼續(xù)研究，這也是下節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

三、課后的教學(xué)反思

1.立足探究起點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效活動(dòng)

在學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，該對(duì)象的概念既是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).對(duì)于圖形性質(zhì)的學(xué)習(xí)也不例外.在本節(jié)課中，我們以線段垂直平分線的概念為探究起點(diǎn)，按照“特殊點(diǎn)（O）→線上取一點(diǎn)（P）→線上每一點(diǎn)→線外的點(diǎn)”的主線設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、猜想、證明等活動(dòng)，自主探究直線l上各點(diǎn)的共同特征，歸納出性質(zhì)定理，使學(xué)生經(jīng)歷探究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的完整過程，在掌握知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考.

2.滲透思想方法，強(qiáng)化推理能力

在初中幾何教學(xué)中，我們應(yīng)該始終滲透探究幾何圖形的基本思想和方法，重視對(duì)學(xué)生推理論證能力的培養(yǎng).在探究線段垂直平分線的性質(zhì)之前，我們提示學(xué)生：全等三角形的性質(zhì)描述的是其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角所具有的共同特征，那么探究線段垂直平分線的性質(zhì)就是探究什么內(nèi)容，你準(zhǔn)備怎么探究.通過對(duì)這些本源性問題的思考，學(xué)生更容易理解性質(zhì)、掌握性質(zhì).在教學(xué)性質(zhì)定理時(shí)，我們啟發(fā)學(xué)生思考：線段AB的垂直平分線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，只取一個(gè)點(diǎn)P進(jìn)行證明，能代表其他所有的點(diǎn)嗎？你會(huì)怎樣證明這個(gè)性質(zhì)定理？在解決這些問題時(shí)，學(xué)生用不變看待變化，用有限代替無限，用已知探究新知，體會(huì)分類、化歸、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，提升自身的推理論證能力.

3.傳遞基本套路，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.”在教學(xué)過程中，我們先幫助學(xué)生回憶線段垂直平分線的概念，再從概念出發(fā)，探究其性質(zhì)，并啟發(fā)學(xué)生將性質(zhì)“反過來”思考其判定.這樣的教學(xué)是有意向?qū)W生傳遞探究平面圖形的“基本套路”，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性.

參考文獻(xiàn)：

1.章建躍.如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（4）.

2.卜以樓.基于“三個(gè)理解”下“圓周角”的教學(xué)預(yù)設(shè)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.