類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用

【摘 要】探討類比法在高中數(shù)學(xué)知識教學(xué)、復(fù)習(xí)課教學(xué)、解題教學(xué)中的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】類比法 數(shù)學(xué)教學(xué) 有效應(yīng)用

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）03B-0106-02

數(shù)學(xué)史告訴我們：許多關(guān)鍵時刻，數(shù)學(xué)家巧妙地運(yùn)用類比推理從而得到數(shù)學(xué)的新發(fā)現(xiàn)，在科學(xué)道路上，獲得巨大的成功。天文學(xué)家開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師?！睌?shù)學(xué)家拉普拉斯說：“甚至在教學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類比?！笨梢婎惐确ǔＳ糜诳茖W(xué)研究領(lǐng)域，如果把它作為一種思維方法應(yīng)用在教學(xué)中，也是行之有效的。

數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法存在著大量相似的地方。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，可類比的東西很多，教師若能很好地把它應(yīng)用在教學(xué)中，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用，那么它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會起到事半功倍的作用。

一、什么是類比法

類比法，也稱類比推理，是根據(jù)兩個或兩類事物有部分屬性相同或相似，推出它們在其他屬性上也可能相同或相似的思維推理方式。它是一種從特殊到特殊的推理，當(dāng)兩者共同屬性越多，推理的正確度越高。

二、類比在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用

（一）在知識教學(xué)中的應(yīng)用

1.橫向類比，加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解和記憶

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有一些相近概念是難于讓學(xué)生理解和接受的。倘若在學(xué)習(xí)新知識時我們通過橫向類比，發(fā)現(xiàn)新舊知識的相同點(diǎn)，利用已有的舊知識，來認(rèn)識新知識，會使學(xué)生更加容易理解新知識，同時也能突破教學(xué)難點(diǎn)，降低教學(xué)難度。

如，學(xué)習(xí)高中“映射”概念的時候，我們可以類比函數(shù)的概念，兩者的概念均要求：對應(yīng)關(guān)系中集合 A 中的任意一個元素在集合 B 中都有唯一一個確定的元素與之對應(yīng)，不同之處是函數(shù)中的集合 A、B 是非空數(shù)集，映射中的集合 A、B 是非空集合。這樣的類比，使原本難于理解的定義更清晰，并且理清了兩者的關(guān)系——函數(shù)是特殊的映射。

因?yàn)轭惐任锞哂心撤N相似性，所以只要記憶其中一類事物的某一屬性，就容易記憶另一類事物的相似屬性。例如，在等差數(shù)列{ an }中，有如下性質(zhì)：

還有，如果 sn，s2n-sn，s3n-s2n，…成等差數(shù)列，那么可以類比得出 sn，s2n-sn，s3n-s2n，…成等比數(shù)列。

只要熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)也隨之熟記。

由此可見，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法得出新知識，同化新舊知識，便于記憶。

2.縱向類比，引起猜想，深化和拓展知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望

縱向類比，如平面向量與空間向量、平面幾何與立體幾何的某些對象類比等，數(shù)學(xué)知識在延伸拓展過程中常借助比較、聯(lián)想，啟發(fā)和誘導(dǎo)學(xué)生以求思維的變異與發(fā)散。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法，利于在已有知識、經(jīng)驗(yàn)的探索中歸納和總結(jié)出教材中的定理、公式，深化與拓展學(xué)生的知識。

例如，三棱錐的教學(xué)，總結(jié)出如下公式。

由表格前三行結(jié)論類比可知，平面三角形對空間三棱錐，線對面，長度對面積，一半對三分之一，我們可以大膽猜想內(nèi)切圓相對應(yīng)內(nèi)切球，從而在空白處可填“三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一”。當(dāng)猜想被證明成立后，將會誘發(fā)學(xué)生主動探索的欲望與熱情。這便是一種新知識“再發(fā)現(xiàn)”的體驗(yàn)。在探索結(jié)果的同時，既使知識得到深化，又使內(nèi)容得以拓展。

（二）在復(fù)習(xí)課教學(xué)中的應(yīng)用

運(yùn)用類比揭示知識的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，網(wǎng)絡(luò)化。數(shù)學(xué)知識點(diǎn)很多，類比法可以作為知識聯(lián)系的橋梁，使知識脈絡(luò)清晰。如老師在章節(jié)復(fù)習(xí)時，可將各個知識點(diǎn)綜合起來，通過類比使零散的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，這樣則有利于學(xué)生全面掌握。如在高中解析幾何的圓錐曲線一章中，橢圓、雙曲線、拋物線的知識中存在著同一性與差異性，所以教材在章節(jié)復(fù)習(xí)中，引入一個圖表，將三種圓錐曲線的方程形式、圖形、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等這些內(nèi)容的同與異，一目了然地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，便于學(xué)生類比記憶。

（三）在解題教學(xué)中的應(yīng)用

1.將數(shù)學(xué)知識間類比，引導(dǎo)學(xué)生積極探求解題思路，克服盲目性

數(shù)學(xué)家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人。” 當(dāng)我們運(yùn)用通式通法解決不了某些數(shù)學(xué)問題時，可以大膽地尋找與題目條件結(jié)構(gòu)相類似的定理、公式進(jìn)行類比，轉(zhuǎn)化為另一知識結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題，從而突破題目難點(diǎn)，探求到新的解題方向，使學(xué)生的思維寬度得以拓展提升。

如求函數(shù)的最小值問題。

由題目中的式子，容易聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，與之類比，將本題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的最小值問題來解，即可有解法一。

〖解法一〗

若聯(lián)想到與復(fù)數(shù) z=a+bi 的模類比，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的模的最值問題來解，即可有解法二。

由此可見，解答數(shù)學(xué)題時應(yīng)用類比進(jìn)行思維分析，會克服盲目性，并能快速獲取思路和方法，提高解題效率。

2.跨學(xué)科類比，拓寬學(xué)生解題思路

宏觀世界的學(xué)科內(nèi)容彼此相互聯(lián)系，如果能將其他學(xué)科的特性運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)科中來，將會收到意想不到的奇效。如與物理光學(xué)性質(zhì)結(jié)合解題的例子。

〖例〗如圖2，設(shè)F1，F(xiàn)2 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，l 是橢圓的切線，A是F1 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)，求證：。

〖分析〗常用的方法，先設(shè)出切線的方程，再根據(jù)對稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)間距離公式求，思路清晰但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。若能聯(lián)想到橢圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為先證F2，P，A三點(diǎn)共線，再聯(lián)想到與物理學(xué)科相關(guān)的橢圓光學(xué)性質(zhì)知，由對頂角有，因此，證明便容易。

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中若能靈活地運(yùn)用類比法，并有意識地培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，則不僅能幫助學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)知識，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且還能使學(xué)生的理性思維達(dá)到新的境界。

但我們要注意，類比是一種似真推理，必須要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證，才能確定猜想的正確性。同時這里要特別指出，在類比過程中，既要講清它們的共同點(diǎn)，也要指出它們的不同之處，以培養(yǎng)學(xué)生用一分為二的辨證唯物主義的觀點(diǎn)看問題，能使學(xué)生更好地理解所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在教學(xué)中起到舉一反三的好效果，類比的有效性才完全而真切地體現(xiàn)出來。

【參考文獻(xiàn)】

[1]湯服成，祝炳宏，喻平.中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法[M].廣西師范大學(xué)出版社，2000.12

[2]稍齊昌.數(shù)學(xué)課的對比式教學(xué)粗探[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1981（1）

【作者簡介】黃玉鳳，女，壯族，理學(xué)學(xué)士，崇左市天等縣高級中學(xué)教師，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）