線性代數(shù)中的矩陣表示

徐杉杉

【摘 要】文章主要從向量空間、線性方程組、行列式、特征值與二次型四個(gè)方面著手，列舉了矩陣?yán)碚撛诰€性代數(shù)中的表示，以期能夠幫助教師提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 矩陣?yán)碚?應(yīng)用

眾所周知，形象思維和抽象思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中都占據(jù)了舉足輕重的地位。在線性代數(shù)教學(xué)中，大部分的概念都是比較抽象的，學(xué)生難以理解和掌握，更不要提挖掘各知識(shí)體系間的內(nèi)在聯(lián)系。所以，數(shù)學(xué)教師在線性代數(shù)教學(xué)中，需要培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，幫助學(xué)生將抽象的理論知識(shí)直觀化，加深對理論知識(shí)的理解程度，提高教學(xué)效果。

一、矩陣?yán)碚撛谙蛄靠臻g中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)向量空間時(shí)，向量線性相關(guān)性定義和引理比較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)存在較大的難度，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，首先應(yīng)該讓學(xué)生明確向量和向量空間的關(guān)系，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架。比如在學(xué)習(xí)第四章《向量組的秩》時(shí)，前3節(jié)中涉及向量組的線性相關(guān)性以及判別定理等方面的內(nèi)容，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中都會(huì)向?qū)W生講解“將求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩”的方法，但是因?yàn)檗D(zhuǎn)化過程中需要應(yīng)用較多的定理和引理，所以大部分學(xué)生都不能完全掌握。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該將向量組的秩的理論知識(shí)進(jìn)行歸納。例如：

①向量組的秩指的是該向量組極大線性無關(guān)組中囊括的向量個(gè)數(shù)。

②如果向量組的秩與向量組含有的向量個(gè)數(shù)相等，那么就表示此向量組線性無關(guān)；如果向量組的秩小于所含向量的個(gè)數(shù)，那么就表示此向量組線性相關(guān)。

③為了確定向量組是否線性相關(guān)，可以用求向量組的秩的方法來鑒別。

據(jù)此可以列出相關(guān)的矩陣?yán)碚摚?/p>

①矩陣Aa×b可以看作是由a個(gè)行向量構(gòu)成或者由b個(gè)列向量構(gòu)成。

②矩陣的秩=向量組的行秩+向量組的列秩。

③初等變換不會(huì)使矩陣的秩發(fā)生變化。

所以，數(shù)學(xué)教師可以借助這些矩陣?yán)碚摚瑢⑾蛄拷M的秩與矩陣的秩聯(lián)系在一起，同時(shí)借助知識(shí)構(gòu)架圖或者知識(shí)構(gòu)架表對這些理論知識(shí)間的關(guān)系進(jìn)行描述，使抽象的知識(shí)具體化，幫助學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)掌握各知識(shí)點(diǎn)。

二、矩陣?yán)碚撛诰€性方程組中的應(yīng)用

在線性代數(shù)研究中，線性方程組是其中的一個(gè)核心問題，具體內(nèi)容包括線性方程組解的存在性、解的個(gè)數(shù)、解的結(jié)構(gòu)問題。在教學(xué)過程中，可以用Ay=b的形式來表示線性方程組，即利用矩陣?yán)碚摽梢越鉀Q線性方程組中的所有問題。比如，用矩陣的秩來判斷線性方程組的解的個(gè)數(shù)；在探討線性方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)，通過對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，就能夠轉(zhuǎn)變?yōu)樾凶詈喰尉仃?，然后將行最簡形矩陣變?yōu)榫€性方程組，就能將其通解求出?？傮w來說，線性方程組的基本內(nèi)容并不復(fù)雜，其形式有些多變，學(xué)生只要能夠全面掌握矩陣?yán)碚?，在學(xué)習(xí)線性方程組時(shí)，數(shù)學(xué)教師利用矩陣的初等變換和矩陣的秩就能將線性方程組的求解方法歸納出來，同時(shí)向?qū)W生講解一些具有代表性的例題，就能加深學(xué)生的理解程度。

三、矩陣?yán)碚撛谛辛惺街械膽?yīng)用

從歸納性定義來看，行列式對學(xué)生來說比較陌生；從構(gòu)造性定義來看，行列式對學(xué)生來說比較抽象。數(shù)學(xué)教師在向?qū)W生講解這一概念時(shí)，一般都不能達(dá)到理想的效果。而行列式的構(gòu)造原理又是本章的核心內(nèi)容，學(xué)生只有完全理解行列式的定義，才能學(xué)好這一章節(jié)的內(nèi)容。在線性代數(shù)中，行列式能夠?qū)ο蛄拷M的線性相關(guān)性進(jìn)行判斷，所以數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)該讓學(xué)生明確向量組的線性相關(guān)性，通過變換矩陣的初等行，逐步將行列式構(gòu)造性定義導(dǎo)出來，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生逐步加深對基本概念的理解程度。學(xué)生掌握基本概念后，數(shù)學(xué)教師再向?qū)W生講解行列式計(jì)算、性質(zhì)等方面的內(nèi)容，就能從本質(zhì)上使矩陣?yán)碚摵托辛惺叫再|(zhì)達(dá)到統(tǒng)一，進(jìn)一步提升學(xué)生的認(rèn)知水平。

四、矩陣?yán)碚撛谔卣髦蹬c二次型中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)《特征值與二次型》這一章節(jié)時(shí)，數(shù)學(xué)教師需要向?qū)W生講解特征值與特征向量、矩陣對角化等相關(guān)內(nèi)容。數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)該將該章節(jié)的重難點(diǎn)挑出來，即矩陣對角化、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，讓學(xué)生明確正定二次型即為二次型的特殊情形。在計(jì)算特征值和特征向量的時(shí)候，需要應(yīng)用到向量組線性相關(guān)性、線性方程組等方面的知識(shí)。數(shù)學(xué)教師需要利用四種特殊矩陣將本章節(jié)內(nèi)容串聯(lián)起來，這四種類型的矩陣分別為：正交矩陣、合同矩陣、相似矩陣、正定矩陣。矩陣相似指的是兩個(gè)矩陣間的相似關(guān)系；矩陣合同代表了兩個(gè)矩陣間的合同關(guān)系。在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生比較分析這四種類型的矩陣，然后利用矩陣相關(guān)理論知識(shí)對整章內(nèi)容進(jìn)行歸納。

比如，在非線性問題中，二次型是其中最簡單的一種應(yīng)用模型。一個(gè)二次型h一一對應(yīng)對稱矩陣C，所以將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，即借助矩陣間的合同關(guān)系，找出可逆矩陣E，保證對角矩陣D=E1CE，針對任意一個(gè)可逆矩陣E，必定存在初等矩陣X1，X2，X3，…，Xn，使得E=X1X2…Xn。由此，就能將二次型問題變化為矩陣合同問題和矩陣的初等變化問題。

五、總結(jié)

綜上所述，數(shù)學(xué)教師在線性代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)該全面滲透矩陣?yán)碚摚诰€性代數(shù)課程中始終貫穿矩陣?yán)碚?，利用矩陣?yán)碚摎w納、整理教學(xué)內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生加深對教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解程度，提高教學(xué)的實(shí)效性。

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