三角形解的個(gè)數(shù)的進(jìn)一步討論

劉振龍

在學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理之后，學(xué)生經(jīng)常對(duì)如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)而煩擾。結(jié)合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三邊（且符合任意兩邊之和大于第三邊）、兩邊一夾角、兩角一邊，則該三角形有唯一解。但是如果已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)，解的情況又如何呢？普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)《解三角形的進(jìn)一步討論》”中有詳細(xì)的說(shuō)明（此處略），但分類(lèi)種數(shù)較多，學(xué)生容易混淆結(jié)論，故在實(shí)際操作中仍存在很多困惑。因此，針對(duì)學(xué)生的具體學(xué)情，筆者以課堂實(shí)例為依托，對(duì)已知“兩邊一對(duì)角”的三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行多種方法的探究討論。

方法二：畫(huà)圓找交點(diǎn)

解：由于角A為已知角，故先畫(huà)出角A，在角A的其中一邊上確定頂點(diǎn)C，使得AC=24，即b=24，接著以點(diǎn)C為圓心，a=18為半徑畫(huà)圓，觀察所畫(huà)得的圓與角A的另一邊出現(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（交點(diǎn)即為三角形的頂點(diǎn)B），若沒(méi)有交點(diǎn)，則說(shuō)明該三角形無(wú)解；若只有一個(gè)交點(diǎn)，則說(shuō)明該三角形解的個(gè)數(shù)為1個(gè)；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則說(shuō)明該三角形解的個(gè)數(shù)為2個(gè)。

如圖所示，以C為圓心，為半徑所畫(huà)得的圓與角A的另一邊交于B1，B2兩點(diǎn)，故該三角形有兩解。在判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用半徑a與過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)AB1的垂線(xiàn)段CH的長(zhǎng)度大小進(jìn)行對(duì)比：若a

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，不斷滲透、總結(jié)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想并有效地理解掌握，對(duì)于尋找解題途徑和提高解題能力具有重大意義。上述方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等多種數(shù)學(xué)思想。當(dāng)面臨問(wèn)題時(shí)，先思考該問(wèn)題所屬類(lèi)別，盡可能多地聯(lián)想解決此類(lèi)問(wèn)題所能包含的各種數(shù)學(xué)思想，選擇其中一種或多種思想予以解決。所以，平時(shí)注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)歸納和掌握，對(duì)于提升認(rèn)識(shí)并解決問(wèn)題的能力大有益處。

編輯 尹 軍