具有指數(shù)型發(fā)生率的離散SIS模型的動(dòng)力學(xué)研究

毛紅艷, 曹 慧, 藺小林

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

?

具有指數(shù)型發(fā)生率的離散SIS模型的動(dòng)力學(xué)研究

毛紅艷, 曹 慧, 藺小林

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

研究了一類具有指數(shù)發(fā)生率的離散SIS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài).利用再生矩陣的方法定義了模型的基本再生數(shù)；對(duì)模型進(jìn)行分析得到平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，同時(shí)也得到了模型的持久性；通過(guò)參數(shù)賦值，利用數(shù)值模擬方法對(duì)平衡解的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

SIS模型; 差分方程; 平衡點(diǎn); 漸近穩(wěn)定性

0 引言

近些年來(lái)，傳染病模型已經(jīng)成為生物數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱門(mén)話題.傳染病的發(fā)展過(guò)程與時(shí)間緊密相關(guān)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，使用離散時(shí)間替代連續(xù)時(shí)間(采集數(shù)據(jù)是在離散的時(shí)間段收集的)更符合客觀實(shí)際，特別對(duì)具有較慢傳播率的傳染病更是如此.

1 SIS模型建立及分析

本文討論治愈后還會(huì)再次感染的傳染病模型，即離散SIS傳染病模型.離散SIS傳染病模型是在倉(cāng)室模型[3]的基礎(chǔ)上，把總?cè)丝诜譃橐赘姓吆透腥菊邇蓚€(gè)倉(cāng)室，記t時(shí)刻易感者的人口數(shù)量為S(t)，感染者人口數(shù)量為I(t)，總?cè)丝跀?shù)量為N(t)，滿足N(t)=S(t)+I(t).

本文在研究疾病傳播過(guò)程中，做三個(gè)假設(shè)：

(1)易感者患病不存在潛伏期，也就是疾病的潛伏期比較短可以忽略不計(jì)；

(2)一個(gè)染病者一旦與易感者接觸就必然具有一定的感染力；

(3)每一個(gè)新入人口都是易感者，包括新生兒和遷入人口，且新入人口記為常數(shù)Λ.

當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)易感者個(gè)體成為感染者概率是1-G(I)，其中G:[0,∞]→[0,1]是一個(gè)單調(diào)函數(shù)[4]，滿足：

G(0)=1,G′(x)<0,G″(x)≥0,?x∈[0,∞]

圖1 SIS模型

運(yùn)用差分方程[5]表示此模型，則相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

Ω={(S,I)|S≥0,I≥0,S+I≤N*}

下面將在條件S(t)+I(t)≤N*下，研究與模型(1)的極限狀態(tài)模型(2)解的性態(tài).

(2)

為了下面討論方便起見(jiàn)，先給出離散線性系穩(wěn)定性判據(jù).

對(duì)線性系統(tǒng)

X(t+1)=AX(t)

(*)

其零解的漸近穩(wěn)定性有如下判據(jù).

引理2[6](Jury判據(jù))設(shè)系統(tǒng)(*)的特征多項(xiàng)式為

Pn(λ)=|λI-A|=a0λ″+a1λn-1+…+an-1λ+an

則系統(tǒng)(*)的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件為

m=2,3,…,n-1;i=0,1,…,m.

2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)[7]表示在發(fā)病初期，當(dāng)所有人均為易感者時(shí)，一個(gè)染病者在其平均染病期內(nèi)所傳染的人數(shù).R0=1往往是系統(tǒng)的一個(gè)閾值，通?？捎肦0討論傳染病的性態(tài).當(dāng)R0<1時(shí)，疾病會(huì)最終消失，當(dāng)R0>1時(shí)，疾病會(huì)在人群中持續(xù)存在.當(dāng)R0>1且比較大時(shí)，表示該傳染病很難控制，并可能在該地區(qū)爆發(fā)大規(guī)模的流行病.

對(duì)模型(1)，根據(jù)再生矩陣[8]的方法，可寫(xiě)出矩陣生育矩陣F和過(guò)渡矩陣V，其中

V=[p(1-γ)I(t)]

根據(jù)基本再生數(shù)的計(jì)算方法可知：

因此

運(yùn)用參考文獻(xiàn)[9]中的迭代方法，使用數(shù)學(xué)軟件matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，可以得到感染者I(t)與三個(gè)參數(shù)p，β，γ的關(guān)系.給定初值，I(0)=25，S(0)=75在滿足00，0<γ<1的條件下，得到感染者I(t)與三個(gè)參數(shù)p，β，γ的關(guān)系如圖2所示.

圖2 感染者I(t)隨三個(gè)參數(shù)變化趨勢(shì)圖

3 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

證明：首先討論模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性.

當(dāng)p(1-γ+β)>1時(shí)，討論地方病平衡點(diǎn)的存在性，分析模型(2)，取f:[0,1]→[0,1]，則

f(y)=p(1-e-βy)(1-y)+p(1-γ)y

(3)

f′(y)=pe-βy(β(1-y)+1)-pγ

(4)

f″(y)=-pβe-βy(β(1-y)+2)

(5)

(6)

代入p0

其特征多項(xiàng)式為：

|λI-J0|=(λ-p)(λ-p(1+β-γ))，

可得J0的特征多項(xiàng)式的根為λ1=p，λ2=p(1+β-γ)，利用Jury判據(jù)可以知道，當(dāng)p(1-γ+β)<1，模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)p0為局部漸近穩(wěn)定的.

p(1+β-γ)I(t)

以下運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件matlab數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

當(dāng)p(1-γ+β)>1時(shí),參數(shù)Λ=10,p=0.9，β=0.3，γ=0.05,即R0=1.862 07>1，給定初值：

I(0)=25,S(0)=75,

I(0)=50,S(0)=50,

I(0)=75,S(0)=25,

可得到地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值模擬結(jié)果,如圖3所示.

圖3 易感者隨時(shí)間變化趨勢(shì)

4 持久性

下面我們討論模型在R0>1時(shí)，模型(2)是持久[10]的.

定理3 當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)是持久的.

設(shè)M?={(S(0),I(0))∈?X0|Φt(S(0),I(t))∈?X0,?t≥0,t∈N}，則M?={(S,0)∈?X0|S≥0}.事實(shí)上，{(S,0)∈?X0|S≥0}?M?，對(duì)于?(S(0),I(0))∈M?，可以判定I(t)=0,?t≥0,t∈N恒成立.否則，存在T≥0，使I(t)>0,t≥T,t∈N.也就是，當(dāng)取初值(S(0),I(0))∈M?，則(S(t),I(t))?M?.根據(jù)以上分析，M?={(S,0)∈?X0|S≥0}成立，M?中僅包含一個(gè)平衡點(diǎn)p0，且p0是漸近穩(wěn)定的.

S1(t+1)=Λ+pS1(t)+pγε

(7)

對(duì)于給定的參數(shù)數(shù)值可得到地方病平衡點(diǎn)p1，且p1是集合X中的孤立不變集，并滿足Ws(p1)∩X0=?，則集合M?中的每一條軌道都趨近p1，并且p1在集合M?中是非循環(huán)的.故存在δ>0，對(duì)?(S(0),I(0))∈X0，滿足：

5 小結(jié)

本文依據(jù)多個(gè)傳染病模型[10-14]研究結(jié)果，給出了合理的模型假設(shè)，并對(duì)模型進(jìn)行了分析和研究，得到SIS模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)，對(duì)無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性給出了判斷.而由于方程求解的局限性，只能給出地方病平衡點(diǎn)存在唯一性.本文利用再生矩陣的方法，定義了基本再生數(shù)R0.當(dāng)R0=1是系統(tǒng)的閾值，會(huì)根據(jù)分支理論再進(jìn)一步討論.本文主要論證系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)在R0>1和R0<1時(shí)的存在性和穩(wěn)定性.

[1] Mena Lorca J,Hethcote H W.Dynamic models of infections diseases as regulators of population sizes[J].Journal of Mathematical Biology,1992,30(7):693-716.

[2] Capasso V,Serio G.A generalization of the kermack mcked rick deterministic epidemic model[J].Mathematical Biosciences,1978,42(1/2):43-61.

[3] 周義倉(cāng)，曹 慧，肖燕妮.差分方程及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2014.

[4] Carlos Castillo Chavez，Abdul AzizYakubu.Dispersal, disease and life-history evolution[J].Mathematical Biosciences,2001，173:35-53.

[5] 劉純英.幾類高階差分方程的動(dòng)力學(xué)行為[D].蘭州：蘭州理工大學(xué)，2008.

[6] 龔德恩.經(jīng)濟(jì)控制論[M].北京：高等教育出版社，2009:65-68.

[7] Linda J.S.Allen，P.van den Driessche.The basic reproduction number in some discrete-time epidemic models[J].Journal of Difference Equations and Applications,2008,14:1 127-1 147.

[8] Cao H,Zhou Y C.The discrete age-structured SEIT model with application to tuberculosis transmission trends[J].Mathematical and Computer Modelling,2012，55:215-228.

[9] 藺小林.現(xiàn)代數(shù)值分析方法[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[10] 曹 慧,王玉萍.具有飽和治愈率的離散SIS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013，31(5):147-150.

[11] 曹 慧，周義倉(cāng).具有飽和治療的離散SEIS結(jié)核病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014,44(18):209-216.

[12] 楊俊仙，閆 萍.一類具非線性發(fā)生率的SIQS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2015,42(3)：271-275.

[13] 陳 輝，徐 瑞.一類具有飽和發(fā)生率的離散型SIS傳染病模型[J].軍械工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2014,26(5):70-74.

[14] 王 蕾，王 凱，張學(xué)良，等.具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和因病死亡率的離散SIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014,44(19)：310-316.

【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

The dynamics of discrete-time SIS model with exponential occurrence rate

MAO Hong-yan, CAO Hui, LIN Xiao-lin

(School of Arts and Sciences， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

In this paper,the discrete-time SIS epidemic model with exponential occurrence rate is investigated.Using the renewable matrix method,we defined the basic reproductive number;The existence and stability conditions of equilibria and the persistence of SIS model are discussed.Numerical simulations are conducted to demonstrate our theoretical results.

SIS model; differential equation; equilibrium point; asymptotic stability

2016-03-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301314); 陜西省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014JQ1025); 陜西科技大學(xué)學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(2013XSD39)

毛紅艷(1989-)，女，河南葉縣人，在讀碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用

1000-5811(2016)05-0174-05

O151.21

A