用本促真　　貼地前行*——一道高二考題的思考?xì)v程

●李學(xué)軍　(平湖中學(xué)　浙江平湖　314200)

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用本促真貼地前行*——一道高二考題的思考?xì)v程

●李學(xué)軍(平湖中學(xué)浙江平湖314200)

摘要:數(shù)學(xué)教師不僅要研究解題，更要研究學(xué)生的解題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題，去體會(huì)、體驗(yàn)在解題過程中的糾結(jié)和成功之后的快樂，實(shí)現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．本文結(jié)合一道學(xué)生似乎無法入手的考題，展示出筆者的思考?xì)v程，得到6種解法，并進(jìn)行一定的拓展．

關(guān)鍵詞:本真;迷茫;反思;拓展

學(xué)生在做數(shù)學(xué)題的過程中，大多數(shù)是尋找曾經(jīng)做過的題目的味道，對(duì)于呈現(xiàn)他們面前的數(shù)學(xué)試題，不能很好地思考試題的根本考點(diǎn)、考查的基本數(shù)學(xué)方法，當(dāng)在遇到陌生的數(shù)學(xué)試題時(shí)，有時(shí)會(huì)有一種無助的感覺．當(dāng)遇到暫時(shí)無法入手的試題時(shí)，我們是否真正地想到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，真正想起了用數(shù)學(xué)思維去思考需要解決的問題．章建躍也曾說過:“要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習(xí)慣．”作為一線教師，筆者認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)過程中，更應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，用數(shù)學(xué)思維去思考數(shù)學(xué)問題．下面筆者以所任教學(xué)校2015年高二期中考試中的一道填空題為例，將這道試題的思考?xì)v程呈現(xiàn)如下．

例1已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2≠0，過點(diǎn)M(－1，0)作直線ax+by+2b－a=0的垂線，垂足為N，點(diǎn)P(1，1)，則的最大值為______(答案:

1　不識(shí)廬山真面目——迷茫

初識(shí)此題，似乎無處著手，糾結(jié)于已知條件到底要告訴我們什么信息，因此，在這個(gè)猶豫徘徊的過程中有大量的時(shí)間從我們身邊悄悄溜走，與其臨淵羨漁，不如退而結(jié)網(wǎng)，我們完全可以從結(jié)論入手，要想求|PN|的最大值，必須要表示出|PN|，因此，非常自然就產(chǎn)生了如下的解法．

視角1函數(shù)思想

解法1過點(diǎn)M(－1，0)并且與直線ax+by+ 2b－a=0垂直的直線方程為

從而

當(dāng)b=0時(shí)，N(1，0)，此時(shí)|PN|=1，

令t－3=n，則

則

解后反思這種解法對(duì)于學(xué)生來說，“痛處”在于較大的計(jì)算量，僅僅算出點(diǎn)的坐標(biāo)就已經(jīng)讓一部分學(xué)生感覺心生怯意了，接下來存在一定技巧的數(shù)據(jù)處理即二元變量到一元變量的轉(zhuǎn)化也是一部分學(xué)生無法掌握并且熟練運(yùn)用的，第3層操作的障礙就是函數(shù)最值的處理，總體說來這種解法對(duì)于學(xué)生來說困難重重，算對(duì)實(shí)屬不易．

2　小荷才露尖尖角——清晰

在計(jì)算出|PN|2之后，發(fā)現(xiàn)表達(dá)式中有題目已知條件當(dāng)中的a2+b2≠0，這難道是一種巧合還是另有玄機(jī)呢?這個(gè)形式卻可以讓我們聯(lián)想到圓的方程，因此，圓的參數(shù)方程的引入的想法也就產(chǎn)生了，就有了如下的解法．

視角2三角函數(shù)思維

解法2令a2+b2=r2(其中r＞0)，設(shè)a= rcosθ，b=rsinθ，則

解后反思這種解法的產(chǎn)生來源于對(duì)圓的參數(shù)方程的深入理解及結(jié)構(gòu)形式的深入認(rèn)識(shí)，以及對(duì)試題中所提供的已知條件能夠充分的銜接，能夠很好地考查學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和運(yùn)用的能力，存在一定的技巧性．

視角3軌跡法

解法3事實(shí)上點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足關(guān)系式也就是以字母a，b為參數(shù)的參數(shù)方程，如果通過消參化成普通方程，就能夠比較清楚地認(rèn)識(shí)點(diǎn)N的軌跡方程，對(duì)于研究|PN|的最大值是非常有幫助的．因?yàn)?/p>

設(shè)點(diǎn)N(x，y)，則

設(shè)(x－1)2+(y－1)2=m，由

從而

因?yàn)殛P(guān)于y的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以

解后反思對(duì)于同樣的一組數(shù)據(jù)，觀察的角度不同，就會(huì)產(chǎn)生不一樣的想法．對(duì)于已經(jīng)解出的點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足關(guān)系式

我們可以把它們看成是關(guān)于參數(shù)a，b的參數(shù)方程．但是，對(duì)于這組參數(shù)進(jìn)行整體消參還是具有較大的難度，需要較高的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)．通過把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，就能夠比較清楚地認(rèn)識(shí)點(diǎn)N的軌跡是一個(gè)圓，然后再利用圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．

3　橫看成嶺側(cè)成峰——再思

通過上述多種方法，已經(jīng)探討出點(diǎn)N的軌跡方程是一個(gè)圓，那么這個(gè)問題就可以轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值問題，接下來利用圓的相關(guān)知識(shí)和方法對(duì)解法進(jìn)行如下優(yōu)化．

視角4換元法

解后反思當(dāng)我們已經(jīng)知道點(diǎn)N的軌跡是一個(gè)圓的時(shí)候，就比較容易聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，從而把問題轉(zhuǎn)化為求相關(guān)三角函數(shù)的最值問題．

視角五幾何法

解法5如圖1，設(shè)x2+(y+1)2=2的圓心C(0，－1)，直線PC交⊙C于點(diǎn)A，B，則

推薦理由:本書是數(shù)年難得一遇的思想巨制，是一本集經(jīng)管、科普、社科、新思維于一身的作品，可以幫你化繁為簡，重審世界，將世間萬事的發(fā)展邏輯化作簡單、可預(yù)測、可推演的規(guī)模法則。利用規(guī)模法則，不僅可以了解身體機(jī)能，甚至可以重新審視生活節(jié)奏、居住環(huán)境、就業(yè)情況以及國家的未來。本書傾注了作者在物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等跨學(xué)科領(lǐng)域的畢生研究。

解后反思對(duì)于圓的問題一定關(guān)注圓心，利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造三角不等式，從而能夠快速地得出想要的結(jié)果．

圖1

圖2

視角6特殊到一般

在講評(píng)的過程中，和學(xué)生進(jìn)行溝通時(shí)發(fā)現(xiàn):如圖2，大多數(shù)學(xué)生都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了直線ax+by+2ba=0經(jīng)過定點(diǎn)Q(1，－2)，然而學(xué)生不知道該如何利用這個(gè)定點(diǎn)的條件．事實(shí)上，學(xué)生在考試的過程中的確很難發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)N的軌跡是一個(gè)圓，但是學(xué)生在思考的過程中真正缺少的卻是數(shù)學(xué)思考的基本思維方式:歸納、猜想、論證．學(xué)生僅僅畫出一個(gè)交點(diǎn)，根本就沒有辦法歸納出結(jié)論，但是只要多畫幾個(gè)交點(diǎn)N，然后再進(jìn)行觀察，直觀感覺完全是可以猜測出點(diǎn)的軌跡有可能一個(gè)圓，然后充分利用好直角的關(guān)系，很快就可以得到點(diǎn)N的軌跡就是一個(gè)圓．

余下解法同上．

4　絕知此事要躬行——拓展

一道試題研究到這里，應(yīng)該算是非常圓滿了，但是似乎還有些許意猶未盡的感覺．加涅曾經(jīng)說過:“問題解決并不是簡單的就先前習(xí)得的規(guī)則的運(yùn)用，它也是一個(gè)產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)的過程．”因此，筆者嘗試了進(jìn)行如下拓展．

解如圖3，由圓的知識(shí)知點(diǎn)N的軌跡是以線段QM為弦的圓所對(duì)的劣弧，QM: x+y+1=0，過線段QM的中點(diǎn)C的垂線方程為x－y－1=0．設(shè)圓心(t，t－1)，則

圖3

求出2段圓弧所在的圓的方程分別為

又因?yàn)?/p>

所以

解略，答案為:

拓展3已知點(diǎn)M(－1，0)，點(diǎn)Q(1，－2)且∠QNM=α(其中0＜α＜π)，點(diǎn)P(1，1)，求|PN|的取值范圍．

圖4

圖5

圖6

圖7

4)當(dāng)時(shí)(如圖7)，此時(shí)點(diǎn)N的軌跡為以線段MQ為弦所在圓的2段劣弧，2個(gè)圓的圓心分別為A，B，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA＞1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB＜－1，所在圓的半徑為r，因此

解后反思對(duì)一類問題的思考既要知其然，更要知其所以然．在思考數(shù)學(xué)問題的過程中可以將有規(guī)律的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更深層次的挖掘、探究．這樣可以遵循數(shù)學(xué)的思維方式，即由特殊到一般的思考方式，并且以問題串的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，問題難度由易到難，循序漸進(jìn)，思維水平也是由低到高，拾階而上．

結(jié)束語偉大數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是在不斷地提出問題和解決問題的過程中發(fā)展的．波利亞也說過:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題．”學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，領(lǐng)悟基本知識(shí)、基本方法的運(yùn)用，通過引導(dǎo)學(xué)生歸納解題方法、技巧、規(guī)律和思想方法，促進(jìn)知識(shí)向能力轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)自我完善，爭取做一題通一法，會(huì)一類通一片的效果，讓我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠腳踏實(shí)地的“高傲”的前行．

作者簡介:李學(xué)軍(1976－)，男，吉林省德惠市人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-11;2016-01-22．

中圖分類號(hào):O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-27-04