例談高中數(shù)學(xué)幾種常見的命題失誤*

●黃可旺　(溫州第二高級中學(xué)　浙江溫州　325000)

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例談高中數(shù)學(xué)幾種常見的命題失誤*

●黃可旺(溫州第二高級中學(xué)浙江溫州325000)

摘要:從當(dāng)前高中數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的典型錯(cuò)例出發(fā)，剖析高中數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)的常見失誤及其誘因，提醒廣大教師在命題工作中既要防范出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤，也要注重試題題干語言表述簡潔、規(guī)范、不產(chǎn)生歧義，更要關(guān)注試題設(shè)計(jì)的有效性，體現(xiàn)試題的公平性及對教學(xué)的導(dǎo)向性．

關(guān)鍵詞:命題失誤;誘因;有效性

命題是數(shù)學(xué)教師教學(xué)工作的重要環(huán)節(jié)．一個(gè)高質(zhì)量的試題可幫助學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識，理解數(shù)學(xué)思想方法．對每一位教師來說，命制出高質(zhì)量的習(xí)題、試題為教學(xué)所用，是必備的基本功之一［1］．然而在實(shí)際命題過程中，因?yàn)槊}者的不慎，忽視命題條件的相容性、存在性以及表意的唯一性等原則要求，導(dǎo)致命題失誤的例子時(shí)有發(fā)生．本文以具體實(shí)例來剖析這些命題失誤及其誘因，以引起教師(命題者)的注意，避免在命題中出現(xiàn)類似失誤．

1　忽視條件間的相容性

一道數(shù)學(xué)命題應(yīng)是一個(gè)有機(jī)的整體，它要求組成命題的條件與結(jié)論，以及各條件之間互相獨(dú)立，且不能互相矛盾［2］．

例1已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角平分線所在的直線方程為2x+y－1=0，且頂點(diǎn)為A(－1，1)，B(1，2)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

(浙江省溫州第二高級中學(xué)2015年高二期中考試試題)

分析點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)都不滿足方程2x+y－1=0，因此直線2x+y－1=0是∠ACB的平分線．設(shè)點(diǎn)A(1，2)關(guān)于直線2x+y－1=0的對稱點(diǎn)是A'(a，b)，則點(diǎn)A'在直線BC上，從而

評注上述解法沒有錯(cuò)誤，但此時(shí)點(diǎn)A，B，C共線，這與題設(shè)“點(diǎn)A，B，C是△ABC的頂點(diǎn)”相矛盾．修正方法:調(diào)整點(diǎn)A(或點(diǎn)B)的坐標(biāo)使得點(diǎn)A，B位于直線2x+y－1=0的2側(cè)，且直線AB與直線2x+y－1=0相交但不垂直即可．

2　忽視幾何圖形的存在性

例2設(shè)△AnBnCn的3條邊分別為an，bn，cn，其中n=1，2，3，……，若b1＞c1，b1+c1=2a1，，則角An的最大值是______．

(吉林省延邊州2015屆數(shù)學(xué)高考一模試題)

分析因?yàn)閍n+1=an，所以an=a1．又因?yàn)?，所?/p>

即bn+cn為常數(shù)．又由基本不等式可得

由余弦定理得

故角An的最大值是

這與題干b1＞c1矛盾．故角An不存在最大值．本例出現(xiàn)失誤的原因在于命題者未檢驗(yàn)取得最值時(shí)三角形的存在性．若將本例的設(shè)問改為求角An的取值范圍不失為一道好題．

3　混淆相近的概念

例3在△ABC中，已知AB=2AC．

1)略;

2)若AD是角A的角平分線，且AD=kAC，求k的取值范圍．

(浙江省新昌中學(xué)2015年高三期中考試試題)

評注我們知道:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成2個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線．由此可見，角平分線是一條射線，因此題設(shè)中點(diǎn)D的位置是不明確的．事實(shí)上，三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，聯(lián)結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)與對邊交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線(也叫三角形的內(nèi)角平分線)．本例中，第2)小題應(yīng)將條件修改為“若AD是角A的內(nèi)角平分線”．

4　題干條件贅余

一道數(shù)學(xué)試題中各條件應(yīng)當(dāng)既相互獨(dú)立，又缺一不可．就是說數(shù)學(xué)試題的呈現(xiàn)方式應(yīng)符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，即嚴(yán)謹(jǐn)、精確并且表述言簡意賅，否則會(huì)給人造成拖沓、繁雜之感，影響考生正常作答．忽視這一原則，也會(huì)造成命題失誤．

(浙江省深化課改協(xié)作校2016屆高三期中聯(lián)考文科試題)

分析設(shè)tanC=n，tanB=m，tan∠BAC=p，可得

若C＞90°，n＜0＜p＜m，則m+n+p=mnp＜n，矛盾;若C＜90°，0＜p＜m＜n，則

因此mp＜3．又因?yàn)閙，p∈N*，所以p=1，m=2，n=3．由正弦定理可知

5　語義表述不清

例5某單位安排7位員工在周一至周日值班，每天一人，每人值班一天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰2天，丙不排在周一，丁不排在周日，問:有多少種安排方案?()

種方法．故選C．

評注若值班期限僅有一周，則答案為1008 種;若值班期限不止一周，則把甲、乙排在周日、周一，也符合相鄰2天的要求，此時(shí)共有種排法，故總共有1248種排法．筆者認(rèn)為本題在語言表述上存在歧義，建議將“丁不排在周日”改為“丁不排在周六”可消除歧義．

6　混淆邏輯關(guān)系

例6已知函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2016屆第一次聯(lián)考理科試題)

評注本例給出的參考答案為C．本例中，若默認(rèn)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則選項(xiàng)C，D均正確;否則，取f(x)=x，x∈［1，2］，顯然此函數(shù)不是偶函數(shù)，也不存在，可見本題選項(xiàng)設(shè)置有誤．本例錯(cuò)誤根源在于命題者混淆了邏輯關(guān)系，誤以為命題“函數(shù)f(x)是偶函數(shù)”的否定形式為事實(shí)上，命題“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)”的全部內(nèi)涵是:函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱且對?x∈D，f(－x)= f(x)，故其否定形式應(yīng)為“函數(shù)f(x)的定義域D不關(guān)于原點(diǎn)對稱或?x∈D，f(－x)≠f(x)”．修改方法:題干中增加函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)．

7　偏離考核目標(biāo)

對于一道具體的試題而言，其難度的大小及在整卷中的地位在命題中必須有個(gè)清晰準(zhǔn)確的定位．然后從“試題如何有利于學(xué)生發(fā)揮水平?如何對下一階段的數(shù)學(xué)教與學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用?試題的難度立意是否恰當(dāng)?”等角度進(jìn)行調(diào)整，從而使試題更趨于符合預(yù)先設(shè)定的考核目標(biāo)［3］．否則，容易失去方向，人為地拔高試題難度，超出應(yīng)考查的范圍和難度值，將會(huì)喪失考試的公平性和對教學(xué)的導(dǎo)向性．

例7設(shè)函數(shù)f:N+→N+，且對所有正整數(shù)n，有f(n+1)＞f(n)，f(f(n))=3n，則f(2015)= ()

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2016屆第一次聯(lián)考理科試題)

目前，在天然藥物學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中，中藥口袋標(biāo)本已經(jīng)成為學(xué)生重要的學(xué)習(xí)工具。走進(jìn)藥劑班，就可聞到濃濃的中藥味，課間經(jīng)?？匆妼W(xué)生拿著口袋標(biāo)本在認(rèn)藥，這對提升教學(xué)實(shí)效起到了極大的促進(jìn)作用。但在應(yīng)用過程中也出現(xiàn)了一些問題，有待改進(jìn)。

分析令n=1，得f(f(1))=3;對f(1)的值進(jìn)行討論得f(1)=2，f(2)=3．當(dāng)n∈N+時(shí)，

從而

且

于是

若將本題改為填空題，求f(5)的值，則不失為一道有區(qū)分度的好題．

8　忽視子題間的獨(dú)立性

1)若函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱，求g(x)的解析式．

(第4屆“睿達(dá)杯”高中生數(shù)學(xué)能力競賽高三試題)

評注組委會(huì)公布參考答案如下:

F(x)關(guān)于直線x=1對稱，且F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上遞增，因此

解得0≤a＜1．

我們知道，在大前提中的條件及其所推導(dǎo)出的結(jié)論，各子題都可用;而某個(gè)子題中的條件或推出的結(jié)論，在求解其他并列的子題時(shí)，則不能作為已知條件使用．在本例中，由第1)小題中的條件“函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱”得出的結(jié)論只適用第1)小題，而不適用于第2)小題．若要得到原來的解，筆者認(rèn)為應(yīng)把第1)小題中的條件提到大題干中，或在第2)小題中添加條件“在第1)小題的條件下”．

從上述的幾個(gè)例子可以看出，雖然很多命題的錯(cuò)誤都有一定的隱蔽，但均能找到其產(chǎn)生的根源．因而一道科學(xué)的數(shù)學(xué)題，必須經(jīng)過命題者反復(fù)推敲，反復(fù)論證，確認(rèn)沒有問題后才能交給學(xué)生，不能僅憑經(jīng)驗(yàn)，草率編題、改題．同時(shí)，教師在教學(xué)中也要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)錯(cuò)題的結(jié)構(gòu)及其誘因，找出修正錯(cuò)誤的方法，從而培養(yǎng)其思維的批判性、嚴(yán)密性．

參考文獻(xiàn)

［1］張金良．一份優(yōu)質(zhì)高中數(shù)學(xué)試卷的衡量標(biāo)準(zhǔn)與命制技術(shù)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012(4):2-4．

［2］王從文．例說初中數(shù)學(xué)的幾種命題失誤［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2001(1):36-37．

［3］董建功．如何命好數(shù)學(xué)題［M］．上海:華東師范大學(xué)出版社，2009．

作者簡介:黃可旺(1981－)，男，浙江溫州人，中學(xué)一級教師，教育碩士研究生，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-19;2016-01-19．

中圖分類號:O12

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-31-04