建空間觀念促合情推理
——以《剪手拉手的四個(gè)小人》為例

江 瀾

2013人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊出現(xiàn)的《剪手拉手的四個(gè)小人》是修訂后的教材在解決問題方面關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域所作的又一突破——通過讓學(xué)生利用軸對(duì)稱圖形的知識(shí)解決剪出給定圖案的問題。在教學(xué)中，筆者確定了四次動(dòng)手操作的時(shí)機(jī)，以建空間觀念，促合情推理為抓手，促進(jìn)學(xué)生對(duì)本課的學(xué)習(xí)。

【課前“動(dòng)”：清晰概念，鞏固“軸對(duì)稱”表象】

師：昨天老師布置你們在家剪一個(gè)軸對(duì)稱圖形（一棵樹）。你們剪成功了嗎？

作業(yè)中老師設(shè)置了幾個(gè)問題，請(qǐng)你們在組內(nèi)交流一下。

1.為什么要把紙張對(duì)折？

2.要剪出一棵樹，為什么只要剪半棵就可以了？

3.圖案要畫在開口處，還是封口處（對(duì)折線上）,為什么？可以剪一剪，看看兩種情況有何不同。

組1：把紙張對(duì)折是為了找到對(duì)稱軸，保證剪出來的樹是對(duì)稱的。

組2：樹是對(duì)稱的，所以只要剪半棵，另一半是一樣的。

組3：圖案要畫在封口處，如果在開口處，剪出來就是分開的，沒有連在一起。

【設(shè)計(jì)說明：學(xué)生通過剪簡單的軸對(duì)稱圖形，以及對(duì)作業(yè)中問題的思考，對(duì)“軸對(duì)稱圖形”的認(rèn)識(shí)再次深入，對(duì)如何剪出簡單的軸對(duì)稱圖形有更清晰的認(rèn)知?！?/p>

【“第二動(dòng)”:經(jīng)歷推理，體悟“幾次”與“幾份”的關(guān)系】

師：看來大家昨天在剪小樹時(shí)都非常用心，不僅會(huì)剪還知道為什么這么剪，真棒！看看今天我們要挑戰(zhàn)什么！（課件出示：課本主題圖）

師：你知道了什么？

生：要剪出4個(gè)小人，而且要手拉手；每一個(gè)小人都是軸對(duì)稱圖形。

師：要剪出這樣的4個(gè)小人好像有點(diǎn)難，你們打算怎么解決？

生：先剪2個(gè)小人試一試。

師：是啊，我們可以從2個(gè)小人研究起，由易到難。剪一個(gè)小人需把紙張對(duì)折一次，那剪兩個(gè)小人你們覺得要對(duì)折幾次？

生：兩次！

師：用什么辦法驗(yàn)證呢？

生：折折看。

師：請(qǐng)你們用紙張折一折，再打開紙張看一看、想一想，為什么？

（學(xué)生動(dòng)手操作后，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是對(duì)折兩次）

師：能說說為什么嗎？

生：剪一個(gè)小人，紙張對(duì)折一次，把紙張平均分成了兩份。我把紙張對(duì)折兩次，打開后發(fā)現(xiàn)紙張被平均分成了四份，四個(gè)半人合起來就是兩個(gè)小人。

師：那如果對(duì)折三次，你們覺得可以剪出幾個(gè)小人？

（學(xué)生有的說三個(gè)，有的說是四個(gè)）

師：如何驗(yàn)證？

生：再折折看。

師：好，開始吧！（用另外一張紙）

生：對(duì)折三次是剪出四個(gè)小人，因?yàn)榧垙埍黄骄殖闪税朔荩?/p>

師：觀察板書，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：多對(duì)折一次，紙張平均分的份數(shù)就翻倍。剪出的人數(shù)也會(huì)翻倍。

（由于二年級(jí)未學(xué)習(xí)“倍”，故需教師的引導(dǎo)才能說出以上結(jié)論）

師：那么對(duì)折四次呢？

生：紙張平均分成16份，剪出8個(gè)小人！

【設(shè)計(jì)說明：根據(jù)對(duì)板書的觀察，引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理，體悟到對(duì)折幾次與均分幾份、得到幾個(gè)小人三者之間的聯(lián)系——即每增加對(duì)折一次，紙張均分的份數(shù)翻倍，能剪出的小人圖案數(shù)也隨之翻倍。引深思考對(duì)折四次、五次的情況。此時(shí)，學(xué)生已無需再動(dòng)手驗(yàn)證，便能通過合情推理所得的結(jié)論得到答案?！?/p>

【“第三動(dòng)”：暴露盲點(diǎn)，找到隱蔽的關(guān)鍵點(diǎn)】

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們動(dòng)手剪出手拉手的2個(gè)小人。

學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視，收集正例和錯(cuò)例。

交流時(shí)，教師展示錯(cuò)例作品：

師：看，這件作品沒有成功。為什么會(huì)失敗呢？老師手上也有件成功的作品，我把它們都還原成剪之前的樣子。（展示時(shí)連同剪下的紙張部分一起呈現(xiàn)“場景還原”的效果，見下圖）：

師：仔細(xì)觀察，你們發(fā)現(xiàn)了兩種剪法的不同點(diǎn)在哪里？

生：失敗的那個(gè)沒有把小人的手畫到紙張邊緣，成功的那個(gè)有！

（教師打開兩個(gè)作品“廢紙”部分，讓學(xué)生進(jìn)行觀察：沒有把小人的手畫在邊緣處為什么會(huì)失?。?/p>

生：小人的手沒有畫到邊緣，剪下后會(huì)斷開。

師：看來我們要保證剪下來的2個(gè)小人是手拉手的，必須要？

生：把小人的手畫到邊緣！

師：請(qǐng)剛才沒有剪成功的小朋友再嘗試一下。

【設(shè)計(jì)說明：此次動(dòng)手操作充分暴露學(xué)生的思維盲點(diǎn)，學(xué)生疑惑重重，再引導(dǎo)學(xué)生觀察復(fù)原的兩件作品，思考這兩種剪法的不同點(diǎn)在哪里？學(xué)生很快就觀察到：失敗的作品沒有將圖案畫至紙張邊緣處。再打開兩個(gè)作品“廢紙”部分，讓學(xué)生進(jìn)行觀察思考：為什么沒有把圖案畫在邊緣處會(huì)失敗？學(xué)生通過討論，明確了導(dǎo)致剪下來的2個(gè)小人沒有“手拉手”的原因。隨后，筆者又讓嘗試失敗的學(xué)生再次動(dòng)手，給他們以糾錯(cuò)、強(qiáng)化正確認(rèn)知的機(jī)會(huì)。整個(gè)環(huán)節(jié)達(dá)到兩個(gè)目的：（1）讓學(xué)生充分暴露思維盲點(diǎn)，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知需求。（2）利用錯(cuò)例資源促進(jìn)學(xué)生反思錯(cuò)因，完善思維，引發(fā)學(xué)生逐步調(diào)整策略解決問題?！?/p>

【“第四動(dòng)”：完整過程，獲得成功體驗(yàn)】

師：現(xiàn)在我們來理一理思路，你們覺得怎樣能保證成功地剪出4個(gè)手拉手的小人？

生：要對(duì)折三次；小人的圖案要畫在紙張的封口那側(cè)；小人的手要畫到紙張邊緣。

師：你們思路很清晰，好，現(xiàn)在開始動(dòng)手吧！

（學(xué)生進(jìn)行操作，多數(shù)學(xué)生成功剪出作品，驚喜、興奮的心情溢于言表）

師：祝賀大家都成功剪出了4個(gè)小人，仔細(xì)觀察這4個(gè)小人，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：是通過把1個(gè)小人平移得到4個(gè)小人的。

師：你們真厲害，平移的4個(gè)手拉手小人我們會(huì)剪了，想挑戰(zhàn)一下下面的圖嗎？（出示旋轉(zhuǎn)的手拉手的4個(gè)小人圖）

（學(xué)生進(jìn)行拓展嘗試）

【設(shè)計(jì)說明：有了前面的三次動(dòng)手操作，經(jīng)過幾次的解決問題策略調(diào)整，學(xué)生在頭腦里已能清晰地對(duì)如何剪出手拉手的四個(gè)小人有明確的理解，突出了對(duì)幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)知——對(duì)折三次，圖案要畫在對(duì)稱軸一側(cè)，且要畫至紙張邊緣處。學(xué)生對(duì)此了然于心，空間觀念搭建完善，此時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)行第四次動(dòng)手操作，增大了成功的幾率。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上獲得了成功體驗(yàn)，達(dá)成了情感態(tài)度方面的教學(xué)目的。】

【教后思考】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”，調(diào)整后的“圖形與幾何”以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開。修訂后的人教版教材關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域在解決問題方面突破了以往解決問題的例題多安排在“數(shù)與計(jì)算”領(lǐng)域的局限，使得培養(yǎng)學(xué)生的“四能”的素材和案例更為豐富，這一類課型通過讓學(xué)生利用圖形和幾何的知識(shí)解決相應(yīng)的問題。如何在這類課型中處理好動(dòng)手操作與有效思考兩者之間的關(guān)系，達(dá)到建空間觀念，促合情推理的目的呢？

一、在知識(shí)發(fā)生連接時(shí)進(jìn)行動(dòng)手操作

在新版教材里，很多“空間與幾何”領(lǐng)域的“解決問題”課型都需要一些已知知識(shí)作為基礎(chǔ)鋪墊，如本案例中的“剪手拉手的四個(gè)小人”。學(xué)生會(huì)剪簡單的軸對(duì)稱圖形，明白為什么這樣可以剪出軸對(duì)稱圖形，這便是與新知的連接處。再如，一年級(jí)下冊的《平面圖形的拼組》，學(xué)生對(duì)“拼組”的動(dòng)作理解以及對(duì)各平面圖形的特征認(rèn)知便是與新知的連接處，可以讓學(xué)生先進(jìn)行動(dòng)手操作：用同樣長的小棒拼出長方形。因此，需要教師通過解讀教學(xué)重難點(diǎn)，了解新知與舊知的連接點(diǎn)，考慮在課前階段讓學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的動(dòng)手操作任務(wù)，教師還應(yīng)抓住新知與舊知的連接點(diǎn)，設(shè)置一些回顧反思性的問題，引導(dǎo)學(xué)生更好地回顧舊知，做好承前啟后的思維蟄伏和心理準(zhǔn)備，以促進(jìn)新知的遷移。

二、在關(guān)鍵處的推理時(shí)進(jìn)行動(dòng)手操作

《課標(biāo)》中對(duì)空間觀念的要求是：由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物形狀，進(jìn)行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化。實(shí)際上，“圖形與幾何”問題解決過程中的關(guān)鍵處需要學(xué)生經(jīng)歷包括觀察、想象、比較、猜測、推理、驗(yàn)證的過程。低年級(jí)學(xué)生的思維處于具體形象思維階段，往往需要一定的具體直觀形象作支撐，單純的內(nèi)隱思維活動(dòng)可能會(huì)使他們處于停滯不前的狀態(tài)，此時(shí)正需搭建起抽象性的數(shù)學(xué)知識(shí)和形象性的學(xué)生思維之間的“橋梁”——?jiǎng)邮植僮骰顒?dòng)，使學(xué)生邊“思”邊“動(dòng)”，以“動(dòng)”促“悟”。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。此時(shí)的動(dòng)手操作就是為了提供進(jìn)行合理推理所需的“事實(shí)”，如本課例中以動(dòng)手操作輔助學(xué)生探尋對(duì)折“幾次”與均分“幾份”的關(guān)系，經(jīng)歷“操作感知——形成表象——抽象概括”這一過程，使動(dòng)手操作成為促進(jìn)驗(yàn)證推理，有效建構(gòu)空間幾何表象的重要推手。

三、在思維盲區(qū)處進(jìn)行動(dòng)手操作

由于“空間與幾何”知識(shí)領(lǐng)域的特殊性，一些關(guān)鍵點(diǎn)較為隱蔽，無法明顯地發(fā)現(xiàn)。此時(shí)，教師的直接揭示無法給學(xué)生帶來強(qiáng)烈的認(rèn)知沖擊，不動(dòng)不明，學(xué)生永遠(yuǎn)停留在“要我學(xué)”的被動(dòng)地位，沒有認(rèn)知需求，認(rèn)知欲望不強(qiáng)，對(duì)知識(shí)的印記也無法深刻、具體、形象。如本案例中，教師若直接提醒畫小人時(shí)要畫至紙張的邊緣處才能保證四個(gè)小人手拉手，學(xué)生無法透徹理解，“不憤不啟，不悱不發(fā)”，此時(shí)的動(dòng)手操作活動(dòng)才能使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，激起主動(dòng)的探究欲望。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)地通過自己的觀察尋找問題的原因，找到解決問題的關(guān)鍵，并逐步調(diào)整策略。在不斷的操作中領(lǐng)悟解決問題的方法，提高解決問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與挑戰(zhàn)意識(shí)。在這暴露學(xué)生思維的動(dòng)手操作活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“試誤—究因—調(diào)整策略”的解決問題過程，在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積留中逐步建立了空間觀念，得到鮮明、清晰、正確的概念。

四、在脈絡(luò)清晰時(shí)進(jìn)行動(dòng)手操作

很多數(shù)學(xué)問題的解決，一下子由學(xué)生自主探索，難度較大，學(xué)生一次性成功的幾率很小。在學(xué)習(xí)難點(diǎn)、問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)未清晰之前，貿(mào)然進(jìn)行動(dòng)手操作活動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)許多的學(xué)習(xí)難題，而這些問題由于現(xiàn)實(shí)因素并無法一一在課堂上給予擊破，這樣勢必造成課堂教學(xué)節(jié)奏拖沓、層次凌亂，教師手忙腳亂，學(xué)生高耗低能。在前文所述的恰當(dāng)時(shí)機(jī)進(jìn)行動(dòng)手操作后，學(xué)生對(duì)知識(shí)的來龍去脈有了具體清晰的認(rèn)識(shí)，空間觀念得到初步的構(gòu)建，問題解決的難點(diǎn)也得到了明朗，一切脈絡(luò)清晰時(shí)便是最好的操作時(shí)機(jī)，此時(shí)操作水到渠成，學(xué)生有意識(shí)也有能力避開失誤的礁區(qū)，能順利地解決問題，獲得成功的體驗(yàn)。

綜上所述，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的問題解決中，學(xué)生動(dòng)手操作的時(shí)機(jī)確定、決定了其學(xué)習(xí)是否有效，思維能力是否得到提升。因此，教師在研讀教材后，要站在學(xué)生認(rèn)知的角度，思索、確定好學(xué)習(xí)難點(diǎn)、解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，對(duì)全課教學(xué)過程進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃、整體部署，找準(zhǔn)“動(dòng)”機(jī)，使學(xué)生的空間觀念和合情推理能力在充分感知、操作體驗(yàn)、解決問題的策略調(diào)整、實(shí)踐中逐步培養(yǎng)起來。